數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法鄧飛一．通項(xiàng)公式求法1.迭乘法：型例1數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，那么，故所以?shù)列的通項(xiàng)公式為2.迭加法：型例2在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：,那么，，……，逐項(xiàng)相加得：.故.3.待定系數(shù)法：型――轉(zhuǎn)化為型?！驳缺刃汀忱?數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 比擬系數(shù)得所以 又，那么數(shù)列是以9為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，那么，故。4.待定系數(shù)法：型――轉(zhuǎn)化為型?！驳缺刃汀忱?數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 比擬系數(shù)得所以 又，那么數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，那么，故。5.待定系數(shù)法：型――轉(zhuǎn)化為型?！驳炔钚汀忱?數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，那么，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。6.待定系數(shù)法：型―――轉(zhuǎn)化為型?！驳缺刃汀忱?在數(shù)列{}中，，求數(shù)列{}通項(xiàng)公式.解：設(shè)，比擬系數(shù)得。任取。那么得。又=2-2〔-1〕=4，那么是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.∴.〔即為第4型〕。易求得：.7.取倒數(shù)法例7數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時(shí)，，求通項(xiàng)公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.8.取對(duì)數(shù)法例8假設(shè)數(shù)列{}中，=3且〔n是正整數(shù)〕，求它的通項(xiàng)公式是．解由題意知＞0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.二．?dāng)?shù)列求和常用方法常用求和公式①②③④⑤求和法有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.假設(shè)將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并.例1：求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和：解：設(shè)當(dāng)a=1時(shí)，Tn=n;當(dāng)a≠1時(shí)，Tn=設(shè)Cn=1+4+7+…+(3n-2)=所以,2.錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中,分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是采用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)的．例2.求值：解：分a=1和a≠1兩種情況.當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a≠1時(shí)，①將上式兩邊同乘以，得②①-②得即綜上可得：3.倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(倒序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，假設(shè)有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，那么這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.等差數(shù)列的求和公式就是用倒序相加法推導(dǎo)出來(lái)的.例3求和解：①②①+②得：所以：4.裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終到達(dá)求和的目的.“裂項(xiàng)法”一般適用于分式型求和，和式中的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)一般是：(其中{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列)，利用變形后,一些項(xiàng)相抵消，注意前后各有哪些項(xiàng)保存