微專題38同構(gòu)函數(shù)

3知識拓展

同構(gòu)法在近幾年的?？贾蓄l繁出現(xiàn)，首先將題目中的等式或不等式經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼?/p>

理變形，表示成兩側(cè)具有相同結(jié)構(gòu)，然后利用這個結(jié)構(gòu)式構(gòu)造相對應(yīng)的函數(shù)，再

利用函數(shù)單調(diào)性解題.

題型聚焦分類突破研題型求突破

類型一地位同等同構(gòu)型

I核心歸納

含有地位同等的兩個變量XI,X2或x,y或α,b的等式或不等式，如果進(jìn)行整理(即

同構(gòu))后，等式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)

單調(diào)性解決.

例1(1)若0<xι<Λ2<l,則()

A.ex2-exι>lnX2-Inx↑B.e?vι-ex2>l∏凌-Inx?

C,%2e町>xιe"2D,X2e町<x?e殳

(2)(2022?石家莊調(diào)研)若OVXlVX2V。，都有X2Inx?—??lnX2≤xι~X2成立，則a的

最大值為()

A，2B.1

C.eD.2e

答案(I)C(2)B

解析(I)A選項，e*2-e?rι>lnx2-InXlOeX2—InX2>e*ι-lnXi,設(shè)yCx)=ev-Inx.

設(shè)g(x)=xev-1,則有g(shù)<x)=(x+l)ex>O恒成立,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因為g(0)=—1<0,g(l)=e-1>0,從而存在XO∈(0,1),使得g(xo)=O.

由單調(diào)性可判斷出,x∈(0,xo),g(x)<O=/'(x)<0;

XG(Xo,1),g(x)>0W(x)>0,所以兀X)在(0,1)上不單調(diào)，不等式不會恒成立，A

不正確；

B選項，eλI—eΛ2>1Πx2-InΛI(xiàn)<=>er∣+Inx∣>eΛ2+1∏Λ2,設(shè)函數(shù)4r)=ex+lnx,

可知/U)單調(diào)遞增，所以∕u∣)勺(X2),B錯誤；

vvx

e∣e2eχ(X-I)e

C選項，xiex∣>xιeΛ'2?=>->—,構(gòu)造函數(shù)fix)=—,/(x)=------□-------,

√?-1?A?∕人?Λ<

則/(x)<0在x∈(0,1)恒成立，所以HX)在(O,1)上單調(diào)遞減,所以加1)次⑵成立,

C正確，D錯誤.

(2)由X2InXi-Xiln%2≤xι-X2,

HuLlMWlnxiInX211

兩邊同除以為尢2得/B---------≤-,

XlX2X2X?

叫InXIlVInXZI

WlI'I,

XlXlX2X2

令啟)=￥+；，則兀V)在(O,。)上為增函數(shù).

?√v

—InX

.?T(x)20在(O,α)上恒成立,而八X)=下一，可知火x)在(0,1)上為增函數(shù),

.?.aWl,.?.α的最大值為1,故選B.

規(guī)律方法含有二元變量XI,尤2的函數(shù)，常見的同構(gòu)類型有以下幾種：

(1)g(xi)-g(X2)>%[∕(X2)—/UI)]=g(xi)+〃Ul)>g(?X2)+祖X2),構(gòu)造函數(shù)S(X)=g(x)+

機X)；

f(XI)—f(X2)

(2/-------------—^>k(x?<r2)<≠√(xι)-f(xι,)<kx?—AΛ^2<=>∕(XI)-Axi<fi,xι)~kx2,構(gòu)造函

Xl-X2

數(shù)φ(x)=J[x}-kx↑

f(XI)—f(X2)k?Ck(XI—X2)kk?.kn

⑶TΞΞΞ<京(x∣42)<≠√U1)-X%2)>—=三一1=八如)+工次X2)

√V1人2√Vl?Λ?N?I√VZ人N?1?1

+~,構(gòu)造函數(shù)Sa)=/(X)+￡

訓(xùn)練1(1)若2o+log2a=4〃+21og4。，則()

Axt>2bB.a<2b

CGb2D.a<b2

ViIn??—??lnTl

;

⑵(2022?濟(jì)南模擬)若對任意的幻，χ2∈(m,+8),且為Vχ2,；_；<2,

?X2Xl

則m的最小值是()

A.e2B.e

C.lD.e-

答案(I)B(2)D

解析(1)由指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)可得

2"÷l0g2O=4'+21og4?=22ft÷l0g2?.

令yU)=2?JHog2Λ,則火X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

2fc2z,2z,

又V2+log2?<2+log2?+1=2+log2(2/?),

a2ft

Λ2+log2A<2+log2(2?),即加)勺(26),."<24故選B.

(2)對任意的X1,%2∈(m,+∞),且XlVX2,?x"r*-X-_x」nxι<2,易知機已。,

則xιlnX2~x2?n%∣<2xι-2x?,

所以，Xi(InX2÷2)<%2(lnxι+2),

?lnXi÷2InX2+2

即M------->-------,

X?X2

令∕χ)=m：+2,則函數(shù)TU)在(機，+8)上為減函數(shù),

因為/(x)=-—F-，由/(x)<0,可得χ>g,

所以函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為+∞),

所以，(m,+∞)?^,+8),

所以，

因此，實數(shù)機的最小值為3.故選D.

類型二指對跨階同構(gòu)型

I核心歸納

1.對于一個指數(shù)、直線、對數(shù)三階的問題可以通過跨階函數(shù)的同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為兩階

問題解決，通常在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、證明不等式中應(yīng)用跨階同

構(gòu)來快速解題.跨階同構(gòu)需要構(gòu)造一個母函數(shù)，即外層函數(shù)，這個母函數(shù)需要滿足:

①指對跨階，②單調(diào)性和最值易求.

2.為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需要對指對式進(jìn)行“改頭換面”，

常用的方法有：x=elnr,xer=e'n-r+x,x2ev=e2lnx+v,y=e-|nv+x,Inx+lnα=ln(tzx),

γ

Inx-I=In?有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.

例2(1)(2022.南通質(zhì)檢)若關(guān)于X的不等式e?r-"21nx+α對一切正實數(shù)X恒成立，

則實數(shù)α的取值范圍是()

A.(—8,￡|B.(-∞,e]

C.(-∞,1]D.(-∞,2]

(2)若不等式e(w-1)A+3mxex≥3evlnx+7XeX對任意x∈(0,+8)恒成立，則實數(shù)m

的取值范圍是.

答案(I)C(2∫2+p+∞)

解析(I)Te*"21nx+a,

.*.ex^a+χ-a≥x+Inx,

vαlnv

Λe^+χ-β≥e÷lnx9

設(shè)人。=u+/,則/(f)=U+l>O,

.?.yω在R上單調(diào)遞增，

λ-αlnx

故e+(χ-a)^e+lnx,

即於一〃)//(Inx),

即χ-β≥lnX9即d!≤χ-In%,

設(shè)g(x)=x-lnx,

1Y—1

則^,(x)=l--=—-)

令g")>0,x>?,

.?.g(x)在(1,+8)上遞增，在(O,D上遞減,

故g(x)min=g(l)=l,故aWl,故選C.

(2)e""-Dx+3mxex?3eAlnx+7xe'=e""-2)x+3∕%x23Inx+7x=e'"一2)X+3(m—

2)x23InXJΓX.

構(gòu)建g(x)=e'+3x,

則可得g(("z-2)x)2g(lnx),

???g(x)=e*+3x在R上單調(diào)遞增，

]nX

則(m—2)X2Inx<^>m—2,

構(gòu)建F(X)=乎，

…I-Inx

則尸(X)=F―,

令尸(X)>0,

則0<r<e,

故F(X)在(0,e)上單調(diào)遞增，(e,+8)上單調(diào)遞減，

則F(%)≤F(e)=^,

即加一22；,即加22+土

規(guī)律方法指對跨階同構(gòu)的基本模式有：

(1)積型：tzea≤?lnb,一般有三種同構(gòu)方式：

①同左：QeaW∕?InZ?OqeaW(Infe)elnz,,構(gòu)造函數(shù)危)=Xeλ;

②同右：6zefl≤?lnb<=>e"lnefl≤Mnb,構(gòu)造函數(shù)/(x)=xln九；

③兩邊同取自然對數(shù):α+lna≤lnft+ln(lnb)9構(gòu)造函數(shù)Kr)=X+In%.

Qctb

(2)商型：工<記焉，一般也有三種同構(gòu)方式：

JIpa?lnbpx

①同左：一<j_~7<≠>-<；―7,構(gòu)造函數(shù)於)=一；

a?nbaInb9八'x

②同右：3i?=品<含，構(gòu)造函數(shù)於)=竟；

③兩邊同取自然對數(shù)：Q-Inavlnb-In(Inb),構(gòu)造函數(shù)“r)=x—In尤.

(3)和差型：e"±α>力±ln∕?,一般有兩種同構(gòu)方式：

①同左：ea±a>b±?n?<=>e^±Λ>e*n?lnb,構(gòu)造函數(shù)fix)=ex±x;

②同右：e"±α>8±lnbQe"±Inea>b±Inb,構(gòu)造函數(shù)fix)=x÷lnx.

InY

訓(xùn)練2(l)(2022?廣州調(diào)研)已知J(x)=ekx-2-τ~+1(?≠0),函數(shù)g(%)=xlnx,若

KJC

優(yōu)x)22g(x),對Vx∈(O,+8)恒成立，則實數(shù)攵的取值范圍為()

A.[l,+∞)B.[e,+∞)

c?[?+s)D?[∣,+8)

m

(2)若VX∈[e,+∞),滿足2x3lnχ-mex≥O恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

答案(I)D(2)(-∞,2e]

一Inγ

λ-fcv2

解析(I)MX)22g(x),即?e^~2^+^≥2xlnx,Axe-21nx+Ax≥2xlnx9

hce^÷?x≥x2lnx2÷lnΛ2,

*lne"+Ine^≥x2lnΛ2÷1ΠX2,

2

令h(t)=t?nr÷lnt9則∕ι(e^)≥Λ(x),

Ar(O=lnr÷l÷γ,

則A,,(∕)=γ-^,

淤⑺=：T=0,Z=I,

當(dāng)0<r<l,〃"⑺<0,當(dāng)“1,〃"⑺>0,

∕z'(f)min=∕z'(I)=O+l+l>0,

2

.?.∕z⑺單調(diào)遞增，由版評)》〃。),

得ehex2,丘21n∕,k^~~,

.,、21nX“2—21nx

令9(X)=二夕(X)=-p—，

令9<x)=0,解得x=e,

當(dāng)(Kr<e時，d(x)>0;

當(dāng)x>e時，"(x)<0,

所以9(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以s(x)max=s(e)=豈芋=|,

2

.?k^~,選D.

(2)①當(dāng)加WO時，顯然成立；

典m典

②當(dāng)m>0時,2x3lnx-mex20=>2x2Inx≥γex,

m—m

β21nx

..(21nχ)e≥?ex,

由ZU)=尤e?r在［e,+8)上為增函數(shù),

即7(21nx)X?),

/72

.?.21nx21,

X

.?.m≤2dnx恒成立，x∈[e,+o°),

由g(x)=2xlnx在[e,+8)上為增函數(shù)，

g(x)min=2e,?.0<∕"W2e,

綜上，m≤2e,故答案為(-8,2e].

類型三零點同構(gòu)型

例3(1)(2022.鹽城質(zhì)檢)已知函數(shù)yU)=xet—a(x+lnx)有兩個零點，則實數(shù)a的取

值范圍是.

(2)已知Xo是函數(shù)/(x)=x2e'2+inx—2的零點，則e2飛+lnxo=.

答案(l)(e,+∞)(2)2

解析(1IAX)=xex~a(jc÷lnx)=evlnx-α(九+Inx),

令r=x+lnx,f∈R,顯然該函數(shù)單調(diào)遞增.

由e，一G=O有兩個根，

ez

pty=~,

即a=*即t有兩個交點，

[y=a

可畫出函數(shù)圖象得到”的范圍是(e,+∞).

(2)Λ2ev^2+lnχ-2=0,

可得x2e,2=2-Inx,

即岑=2一Inx,

?2e?e?

x2ev=2e2-e2lnx,xex=———Inx,

XX

即xex=~?n

XX

兩邊同取自然對數(shù)，

(e2Ae2

Inx+x=lnlIn?l+ln?

所以lng=x,即2—InX=x,

即lnx=2-X,

.β.e2~x=x,Λe2^xθ÷lnXo=XO+lnXO=2.

訓(xùn)練3已知/U)=xlnx+*x2+l,若關(guān)于X的方程XeL"=∕(x)一表2+αr-1有兩個

不同的實數(shù)解，求α的取值范圍.

解由xtχ-a—fix)—^r2÷6zχ-l(x>O),

xeva=x?nx+cυc,

即ex~a=?nx+a,

a

即^~+x~a=x+?nx9

A

，ln(eLa)+9廠"=Inx+x9

令h(x)=lnx÷x(x>0),

則/z(e?La)=〃(x),

Y(X)=/+l>O,

.?.%(x)在(0,+8)上遞增，

Λe'^fl=x,

則χ-a=lnx9Q=X-InMX>0),

因為關(guān)于X的方程XeXa=/(1)一?2+6-1有兩個不同的實數(shù)解,

則方程a=χ-?nXa>0)有兩個不同的實數(shù)解.

令φ(x)=x-?nX9

?X-J

則ζθ,(x)=l--=?-)

當(dāng)OVXVl時，d(x)V0,

當(dāng)x>l時，"(x)>0,

所以函數(shù)9(X)=X—Inx在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，

所以夕(X)min=S(I)=],

當(dāng)X-O時，^(Λ)→+∞,

當(dāng)Xf+8時，<p(χ)f+OO,

所以α>l,

綜上，α的范圍為(1,+∞).

高分訓(xùn)練對接高考重落實迎嗝

一、基本技能練

1.設(shè)α,?∈R,則"α>∕?”是“α∣α∣>加加”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案C

[x2,Xe0,

解析設(shè)函數(shù)/U)=XIX∕Λ)=Λ∣Λ∣=12C

[―Jr,x<0,

可得7U)為增函數(shù)，

所以a>bo艮G>fij)),

即α>∕7=α⑷>例例，所以是充要條件.

2.若2Λ-2?V<3~Λ-3^>',則()

A.ln(y-χ+l)>OB.ln(y-χ+1)<0

C.ln∣Λ-γ∣>0D.1Π∣Λ-γ∣<0

答案A

解析設(shè)函數(shù)/U)=2?v-3飛

因為函數(shù)y=2r與y=-3r在R上均單調(diào)遞增，

所以_Ax)在R上單調(diào)遞增，

原已知條件等價于2x-3-x<2y-3~>?,

即危)〈加)，

所以XVy,即y—x>0,所以A正確，B不正確.

因為|x-M與1的大小不能確定，所以C,D不正確.

3.(2022?杭州模擬)已知b>α>0,且滿足Hn力=blna,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則

()

A.tze<eu<ez,B.eh<βe<eu

C.eh<eα<αcD.eα<<ae<ez,

答案A

解析因為y=e?r在R上單調(diào)遞增，b>a>O,所以e，>e",BC錯；

構(gòu)造函數(shù)4X)=乎(x>0),

-1-InX

貝I,f(x)—=0，冗=e,

當(dāng)x∈(0,e)時，/(x)>0,於)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(e,+8)時，/α)V0,加)單調(diào)遞減,

因為ɑln。=匕Inα,即人4）=√S）,又b>a>O,

所以O(shè)VqVe,b>e,Inb>0,a?nb=b?na>0,所以IVaVeV〃，

所以岬elna<cdne,InaeVln<,即

所以ac<ea<eb,A正確.故選A.

4.（2022?合肥模擬）已知次是方程2x2e2x+?nX=O的實根，則關(guān)于實數(shù)xo的判斷正

確的是（）

AjoNln2BXOV,

e

C.2xo+lnXo=OD.2evθ+ln項）=0

答案C

解析由2x2e2?v+lnx=0得

一II111

4λ一—111-1一.

2xe=XInX=X-In^X^=lnXelnX

構(gòu)造函數(shù)fix）=xex,其中x>0,

則/（χ）=（χ+iQ>o,

所以，函數(shù)yu）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

根據(jù)題意，若Xo是方程2x2e2r÷lnx=0的實根，

11

則2x-ln

2Λoe-θ=lnXOe?7o,

即42xo）=*ng,

所以2xo=In尤—（）=—Inxo,

因此2xo+InM）=0.

5.已知對任意的m"∈R都有（〃一〃汨廠。2加/一〃恒成立，則實數(shù)λ的值為（）

A.eB.1

C.0D.-e

答案B

解析（h-a）eb~a^be~b-λa

=S—a）e"，一加b+λa^O

=（〃一α）e""~S—。）+（一加"）一"一。）2O,

構(gòu)造/U)=xeκ~λx,

問題轉(zhuǎn)化為大匕-α)+.*一方)20,

由于”,〃為任意實數(shù)，

.?√(x)20=√(x)=x(e'-2)≥0,

①當(dāng)尤=O時，顯然成立，

②當(dāng)x<0時，22e<恒成立，221,

③當(dāng)x>0時，/LWe'恒成立，可得2W1,

綜上可得2=1,故選B.

6.已知a,?∈(√2,+∞),且滿足點一拉In則a,b,的大小關(guān)系是.

答案a>y[ab>b

解析點―/>m人―ma'

^?+lna>?+lnb,

ab^

令g(x)=J+InX,x>√2,

21f―2

g,(-V)=-p+-=~^->0,g(X)在(血，+8)上單調(diào)遞增.

??g(α)>g(b),?cob,

又*/y[cι?[cι>?∣7r∕b>?β,?∣b,

.?.a>y[ab>b.

7.若關(guān)于X的不等式A-2e3-t>(?+3)x+21n%+1對任意x>0恒成立，則k的取值范

圍是.

答案(一8,0]

解析原不等式可變形為e2ln-r^3v-(3x÷21nx)≥Ax÷1,e2lnλ^3a-(3x÷21nX)—

l》kx,利用ex2x+l,可得依WO,又x>0,故左WO.

8.若對于任意實數(shù)x>0,不等式2祀2'—Inx+ln恒成立，則α的取值范圍是

答案出+8)

X

解析法一將2ae2x-?nx÷ln變形為2tze2x≥ln

Iγ

則2e2?,刃n-.

γY

兩邊同時乘以X得2xe2v≥-ln

即2屁2,2乂卜~=eln-ln-.(*)

設(shè)g(f)=fe”>O),

則g")=(l+f)U>0,

所以g⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Y

故由(*)得2x2In

則InQeInx~2x.

令∕z(x)=InX-2X9X>0,

則"(尤)=；—2,

易知當(dāng)尤∈(θ,0時，/Z(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)X∈g,+8)時，/Z(χ)單調(diào)遞減，

故A(x)max=/?(1)=—In2—1,

所以Ina2—In2—1,

即02+,故α的取值范圍為［=,+∞).

2vln2v2

法二將2αe-Inx÷ln0≥0變形為e(0?'-lnx+lna≥0,

即eln(2a)+2x_|_∣n(2α)≥l∏(2x),

ln(2A)

貝IJe∣n(2fl)+2x+2尤+ln(2tz)≥2x+ln(2x)=e+ln(2x).

設(shè)g(t)=e'+t,

易知g⑺單調(diào)遞增，故2x+ln(2α)21n(2x),以下同法一.

9.(2022-長沙調(diào)考)已知函數(shù)於)=e?-ɑlnx(其中a為參數(shù)),若對任意x∈(0,+8),

不等式7U)>Hna恒成立，則正實數(shù)Cl的取值范圍是.

答案(0,e)

解析由y(x)>αlnα,

e?'

得"一In0>lnx,

|n

即er-?-lnn>lnx,

兩邊同時加X得

x,ΠΛlnx

e+X-Inβ>e+lnx.

令g⑺=U+f,

則g(χ-lna)>g(↑nx)9

因為g⑺為單調(diào)增函數(shù)，

所以χ-lnα>lnX,

即Ina<χ-?nx,

令h(x)=χ-?nX,

?—]

則/Z,(x)=-

所以〃(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，

在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/z(?)min=A(1)=1,

所以Ina<1,解得0<4<e.

10.已知/U)="e?ri—gx+ln小若人尤)>],求Q的取值范圍.

解同構(gòu)構(gòu)造Λ(x)=xev,

h?x)=(x+l)ev,當(dāng)Q-I時，"(x)>0恒成立，

∕z(%)在(一1,+8)上單調(diào)遞增.

aev^?—Inx+In≥1=>aex~?≥In"=XeA2"In"=In-eln即∕z(x)2∕z(In既

ciaaa?c/,

ex

.?x≥ln—a=1÷lnχ-Ina,

令g(x)=l+lnx—x(x>0),

.11-χ

則rt1gω=~-ι=^7^.

當(dāng)x>l時，g'(x)<O,當(dāng)O<x<l時，g'(x)>0,

故g(x)=l+lnX-X在(0,1)上單調(diào)遞增，

在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)≤g(l)=O,

則Inae0,解得α21.

11.已知函數(shù)兀T)=X-InX,

(1)求函數(shù)/U)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)出，證明：T1?e+l;

(3)若不等式x+alnx+p：2d對x∈(l,十8)恒成立，求實數(shù)。的最小值.

⑴解/(x)=χ-Inx,

1X—?

/W=1--=-^u>θ),

令/(X)=0,解得x=l,

則當(dāng)0令<1時，/(x)<0;

當(dāng)x>l時，/(Λ)>0,

所以4X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

A?V—|—Inγ-1—1

⑵證明要證：一7一2+1，

即證：ev+lnex2ex+x=>eA-Xeex-Inex=>er-Ine'ex—Inex,

又?.?ev2ex>l,

由(1)可得：Kr)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故/(e?')2∕(ex),故原不等式成立.

(3)解x+αln?lnx=>e?v-Inex^xa-alnx

=>er-Ine_*W~-lnxα

nfer亍出卻,

又因為0<eΛ<1,

KC)在(0,1)上單調(diào)遞減,

r

xa2-

.*.e~^x=>a≥-TInX.

Y

令g(χ)=一危KX>1)，

1-Inx

g3=(InX)2'

令g'(x)=O,得尤=e.

當(dāng)Ia<e時，g,(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時，g%x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(x)的最大值為g(e)=一氏=-e,

所以42-?e,所以α的最小值為一e.

二'創(chuàng)新拓展練

12.已知函數(shù)/U)=?jτ片，則不等式y(tǒng)u)>e'的解集為()

A?(0,1)BGI)

C.(l,e)D.(l,+∞)

答案B

,r-er2exevel^lnχev

f斛t7析i-

7IΞ-H∏n-X>e=>71T+^l;n—x>~x≠>Γ1÷Tl;nx>~x,

.(χ-1)ev

貝nIJg'(χ)=-------------，g'(χ)=o,

解得x=l,

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增,

又∕U)>exQg(1+lnx)>g(x),

當(dāng)x>l時，lnx+l>l,

于是得1+lnx>x,

即1+lnx—x>0,

令/z(?)=1+lnχ-χ,

當(dāng)Ql時，Ia)=1<0,

函數(shù)∕z(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

Vx>l,Λ(x)<A(l)=O,

因此，l+lnx>x無解.

當(dāng)%x<l時，0<lnx+l<l,

于是得l+lnx<x,

即1+lnx—x<0,此時/(X)=：—1〉0,

函數(shù)/I(X)在Q，1)上單調(diào)遞增，

Vx∈g1),∕2(x)<∕2(l)=O,

不等式l+lnx<x的解集為g,1),

所以不等式/U)>ex的解集為g,1)?

InY

13.已知函數(shù)y(x)=一1，g(x)=x?er,若存在xι∈(O,+∞),X2∈R,使得兀⑴=

g(X2)=MAVO)成立，則(W)?e*的最大值為()

A.e2B.e

c

?D??

答案C

解析函數(shù)/U)的定義域為(0，+8),

1-Inx

/(X)=~p-，

所以當(dāng)x∈(0,e)時，f(x)>O,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈(e,+8)時，/(χ)<0,y(x)單調(diào)遞減，

又41)=0,所以x∈(0,1)時，於)<0；

當(dāng)x∈(l,+8)時，χx)>0,

JfIne?

同時g(x)=￡==χ眇)，

若存在xi￡(0,+o°),X2∈R,

使得/??)=g(%2)=k(k<6)成立，

則O<rι<l且人￥1)=8(12)=竟已”2),

所以Xl=eχ2,即X2=In尤1,

r,InXi..%2Inxi,

又Z=-----,所￡c以n一=---=k,

X?XlXl

故(亮)?e"=廬?M(Z<O),

令?j(x)=x2ev(x<O),

則”(x)=x(尤+2)e?:

令d(x)<O,解得一2<x<0;

令