2020年懷化市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分；每小題的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，請將正確選項(xiàng)的代號填涂

在答題卡的相應(yīng)位置上）

1.下列數(shù)中，是無理數(shù)的是（)

C.1

A.13B.0D.√7

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.α2÷a3=a5B.a6÷a2=a4

C.（2α?）3=6α3?3D.a2,蘇=*

3.《三國演義》《紅樓夢》《水滸傳》《西游記》是我國古典長篇小說四大名著.其中2016年光

明日報出版社出版的《紅樓夢》有350萬字，則“350萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.5×106B.O.35×IO7

C.3.5X102D.350×104

4.已知多邊形的內(nèi)角和為1080。，則該多邊形的邊數(shù)為（)

A.6B.7C.8D.9

5.如圖，已知直線”,匕被直線C所截，且〃〃"若Na=40。，則/用的度數(shù)為（）

A.140°

第5題圖第7題圖

6.小明到某公司應(yīng)聘，他想了解自己入職后的工資情況,他需要關(guān)注該公司所有員工工資的（）

A.眾數(shù)B.中位數(shù)

C.方差D.平均數(shù)

7.在RrZXABC中,ZB=90o,AO平分NBAC,交BC于點(diǎn)D,DELAC,垂足為點(diǎn)E,若BD=3,則

DE的長為（）

B.|

A.3C.2D.6

8.已知一元二次方程/一區(qū)+4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（）

A.k=4B.女=—4

C.?=÷4DM=±2

9.在矩形ABC。中，AC、8。相交于點(diǎn)0,若aAOB的面積為2,則矩形ABC。的面積為（）

A.4B.6

10.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)力=4x+b與反比例函數(shù)”=與（X>O）的圖象如圖所示，則當(dāng)

時，自變量X的取值范圍為（）

A.x<↑B.x>3

C.0<x<?D.l<r<3

二、填空題（每小題4分，共24分；請將答案直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上）

11.若提=有意義，則X的取值范圍是______.

√χ-l

12.因式分解：x3-χ=.

13.某校招聘教師，其中一名教師的筆試成績是80分，面試成績是60分，綜合成績筆試占60%,面

試占40%,則該教師的綜合成績?yōu)榉?

14.如圖，在AABC和AAOC中，AB^AD,BC=DC,NB=I30。，則/O=°.

第14題圖第15題圖第16題圖

15.如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個幾何體的側(cè)面積是（結(jié)果保留吟.

16.如圖，AOBiAi,”都是一邊在軸上的等邊三角形，點(diǎn)Bi,

?AIB2A2,AA2B3A3,TBnAX

B2,B3,--%都在反比例數(shù)y=乎（x>0）的圖象上，點(diǎn)4,A2,小，…，4都在X軸上，則A“的坐標(biāo)為

三、解答題（本大題共8小題，共86分）

17.（本題滿分8分）

計算：√8+2^2-Icos45o+|2—也|

18.（本題滿分8分）

先化簡，再求值：（L一一?÷?,然后從一1,0,I中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

XlXI1X1

19.（本題滿分IO分）

為了豐富學(xué)生們的課余生活，學(xué)校準(zhǔn)備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A.書畫類、B.

文藝類、C?社會實(shí)踐類、D.體育類”.現(xiàn)隨機(jī)抽取了七年級部分學(xué)生對報名意向進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)

果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表信息回答下列問題：

(1)本次被抽查的學(xué)生共有名，扇形統(tǒng)計圖中“A.書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為

________度；

(2)請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)全；

(3)若該校七年級共有600名學(xué)生，請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校學(xué)生選擇“C.社會實(shí)踐類”的學(xué)生共

有多少名？

(4)本次調(diào)查中抽中了七(1)班王芳和小穎兩名學(xué)生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項(xiàng)目的

概率.

20.(本題滿分10分)

如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一棵古樹的高度，在距離古樹A點(diǎn)處測得古樹頂端。的仰角為30。，然

后向古樹底端C步行20米到達(dá)點(diǎn)8處，測得古樹頂端力的仰角為45。，且點(diǎn)A、B、C在同一直線上.求

古樹CD的高度.

(已知：√2^1.414,√3?=1.732,結(jié)果保留整數(shù).)

第20題圖

21.(本題滿分12分)

定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是(填序號)

①平行四邊形②矩形③菱形④正方形

(2)圖形判定：如圖①，在四邊形ABe。中，AD∕∕BC,AClBD,過點(diǎn)。作8。的垂線交BC的延長線

于點(diǎn)E,且/Z)BC=45。.證明：四邊形48C。是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.

應(yīng)用：在圖②中，面積為24的垂等四邊形A8CZ)內(nèi)接于。。中，/BC￡>=60。.求。。的半徑.

圖①圖②

第21題圖

22.(本題滿分12分)

某商店計劃采購甲、乙兩種不同型號的平板電腦共20臺，已知甲型平板電腦進(jìn)價1600元，售價2000

元；乙型平板電腦進(jìn)價為2500元，售價3000元.

(1)設(shè)該商店購進(jìn)甲型平板電腦X臺，請寫出全部售出后該商店獲利y與X之間函數(shù)表達(dá)式.

⑵若該商店采購兩種平板電腦的總費(fèi)用不超過39200元，全部售出所獲利潤不低于8500元，請設(shè)計出

所有采購方案，并求出使商店獲得最大利潤的采購方案及最大利潤.

23.(本題滿分12分)

如圖，在。。中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長AB到點(diǎn)。，使CD=CA,且/0=30。.

(1)求證：C。是。。的切線.

(2)分別過A、B兩點(diǎn)作直線CQ的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G

求證：CG2=AEBF.

第23題圖

24.(本題滿分14分)

如圖所示，拋物線y=χ2-2χ-3與X軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn),連接CN.求aBCN面積的最大值及此時點(diǎn)N的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)。是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)G是拋物線上的動點(diǎn).是否存在以點(diǎn)8、C、D、G為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

(4)直線CM交X軸于點(diǎn)E,若點(diǎn)尸是線段EM上的一個動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)尸、E、。為頂點(diǎn)的三角形

與aABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第24題圖

2020年湖南省懷化市中考數(shù)學(xué)真題解析

1.D【解析】一3,0,g是有理數(shù)，幣是無理數(shù).

2.B【解析】4、/與〃不是同類項(xiàng)，不能合并，；.本選項(xiàng)計算錯誤，不符合題意：B、af>÷a2^a4,

2i5

本選項(xiàng)計算正確,符合題意;C、(2α力3=8〃匕37?6O?3,r.本選項(xiàng)計算錯誤,不符合題意;D、a?a=a

W*,.?.本選項(xiàng)計算錯誤，不符合題意.

3.A【解析】350萬=350X104=3.5XlO2χι04=3?5Xl()6.

4.C【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,由n邊形的內(nèi)角和等于180o(∏-2),即可得方程180(〃-2)

=1080,解得：〃=8.故選C.

5.D【解析】如解圖，；/。=40。，.?.∕1=Na=40。，.?.∕6=Nl=40o,

第5題解圖

6.B【解析】根據(jù)題意，小明到某公司應(yīng)聘，了解這家公司員工的工資情況，就要全面的了解中間員

工的工資水平，故最應(yīng)該關(guān)注的數(shù)據(jù)是中位數(shù)，

7.A【解析】：￡>E_LAC,ΛZAED=ZB=90o,。平分/BAC,ΛZBAD^ZEAD,又

AD,；.AABD也AAED.：.DE=BD=3.

8.C【解析】由題意可得：/=(-A)2—16=0,解得％=±4.

9.C【解析】；四邊形ABC。是矩形，對角線4C、8。相交于點(diǎn)O,.?.4C=BD,KOA=OB=OC

-ODi:?SAADo=S"co=SACDo=SAABo=2，.?.矩形42CZ)的面積為4SAABO=8.

IO-D【解析】由圖象可得：兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是：1,3,...當(dāng)χ>v時，.??l<xv3.

ILX>1【解析】由題意得χ-l>0,解得：x>l.

12.X(X+1)(Λ-1)【解析】Λ3-X=X(X2-1)=x(x+1)(χ-1).

13.72【解析】根據(jù)題意知，該名老師的綜合成績?yōu)?0X60%+60X40%=72(分).

14.130【解析】?'AB^AD,BC=DC,AC=AC,：.?ABC^ΔADC(SSS),,/0=/8=130°.

15.24〃【解析】先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是4+2=2,高是6,圓柱的側(cè)面展開

圖是一個長方形，長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的高，且底面周長為2kX2=4%,.?.

這個圓柱的側(cè)面積是4nX6=24”.

16.(2√^,0)【解析】如解圖，過點(diǎn)BI作BlCJ_x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)良作B2。，X軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)&作

%E_Lx軸于點(diǎn)E,；Z?O4Bι為等邊三角形,ΛZB∣OC=60o,ItanNBQC=嚎=小,B∣C=√3OC,設(shè)

OC的長度為X,則S的坐標(biāo)為(x,小x),代入函數(shù)關(guān)系式可得：√3x2=√3,解得，x=l或x=-1(舍去),

.?.OA∣=2OC=2,.?.A∣(2,0)；設(shè)的長度為y,同理，B?D為島的坐標(biāo)表示為(2+y,√3.y),代入

函數(shù)關(guān)系式可得(2+)h/5y=S，解得：y-y∣2-1或),=—也一1(舍去).'.Aιf>=啦-1,AIA2=2吸一2,OA2

=2+2√2-2=2√2,.?.A2(2√2,0)；設(shè)4E的長度為z,同理，&E為√5z,&的坐標(biāo)表示為(2√5+z,√3z),

代入函數(shù)關(guān)系式可得(26+Z>?∕5Z=Λ∕5,解得：Z=S—5或z=一木—小:(舍去)，；.A正=木一巾,A2A3

=2√3-2√2,(9A3=2√2+2√3-2√2=2√3,ΛA3(2√3,0).綜上可得：AltQ幣,0).

17.解：原式=2√5+/—2X乎+2—啦

=2√2+^-√2+2-√2

_9

^^4,

.x+1-(x-1)無+2

18.解π：原式=(X—])，+])÷(X一])G+D

x÷l-x÷l(χ-1)(x+1)

=--------------------------X--------------------------

(x—1)(x+1)x+2

_________2_______(X-1)(X+1)

(x-1)(x+1)Xx+2

_2

x+2，

Vx+IWO且x—1WO且x+2≠0,

.φ.x≠-1且XHl且XW—2,

當(dāng)X=O時，分母不為0,代入

2

原式=UTΞ=L

19.解：(1)50,72；

【解法提示】本次被抽查的學(xué)生共有：20÷40%=50(名)，扇形統(tǒng)計圖中“A.書畫類”所占扇形的圓心角

的度數(shù)磷X360°=72°；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如解圖；

第

19題解圖

【解法提示】B類人數(shù)是：50—10—8—20=12(名)

(3扁X600=96(名)，

答：估計該校選擇“C.社會實(shí)踐類”的七年級學(xué)生共有96名;

(4)所有可能的情況如下表所示:

王芳小穎ABCD

____________A_____________(A，4)(A，B)(A，C(4,D)

____________B_____________(B,A)(BB)(B,C(B,D)

____________C____________(CA)(C,B)(CC(CD)

____________D____________(D，A)(D,2)(O,C(。D)

由表格可得：共有16種等可能的結(jié)果，其中王芳和小穎兩名學(xué)生選擇同一個項(xiàng)目的結(jié)果有4種，.?.王

芳和小穎兩名學(xué)生選擇同一個項(xiàng)目的概率=4亡=；1.

20.解：由題意可知，AB=20,NQAB=30。，ZC=90o,NQBC=45。，二ZkBCO是等腰直角三角形，

.πoCDCDX??∕3

設(shè)B=Cz)=X,S"30=通=AB+CB=20+X=3'

解得Λ=10√3+10?=10×1.732+10=27.32≈?27,

ΛCD=27.

答：古樹的高度C。為27米.

21.(1)解：④；【解法提示】①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等；②矩形對角線相等但不

垂直；③菱形的對角線互相垂直但不相等；④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

(2)證明：?'AC±BD,EDLBD,

.?AC∕∕DE.

又?：ADMBC,

：.四邊形ADEC是平行四邊形.

：.AC=DE.

又'.?∕OBC=45°,

/XBDE是等腰直角三角形.

：.BD=DE.

：.BD=AC.

：.四邊形ABCD是垂等四邊形.

(3)解：如解圖，過點(diǎn)。作OELBQ,

Y四邊形ABCZ)是垂等四邊形，

：.AC=BD.

又：垂等四邊形的面積是24,

根據(jù)垂等四邊形的面積計算方法得：

AC=BD=4??β,

又?：ZBCD=60°,

ZDOE=60°.

設(shè)半徑為〃根據(jù)垂徑定理可得：

在aOCE中，OD=r,DE=2√3,

?DE25/

."FF=近=4.

2

???。0的半徑為4.

第21題解圖

22.解：(1)由題意得：y=(2000-1600)Λ?+(3000-2500)(20-χ)=-IOOx+10000,

???全部售出后該商店獲利y與X之間函數(shù)表達(dá)式為γ=-I00Λ+10000；

[1600x+2500(20-χ)≤39200

(2)由題意得：、、，

[400xι+500(20-χ)28500

解得12≤x≤15,

為正整數(shù)，

Λx=12,13、14、15.

.??共有四種采購方案：

①甲型電腦12臺，乙型電腦8臺，

②甲型電腦13臺，乙型電腦7臺，

③甲型電腦14臺，乙型電腦6臺，

④甲型電腦15臺，乙型電腦5臺，

Vy=-IOOx+10000,且一100<0,

.?.y隨X的增大而減小.

，當(dāng)X取最小值時，y有最大值.

即X=12時，y最大值為一IOoX12+10000=8800,

.?.采購甲型電腦12臺，乙型電腦8臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是8800元.

23.證明：(1)如解圖①，連接OC,

第23題解圖①

"：CA=CD,且No=30°,

ΛZCAD=ZD=30o.

"：OA=OC,

：.ZCAD=ZACO=30o.

.?.NCOD=ZCAD+NACo=300+30°=60°.

.?.ZOCD=I80o-ZD-ZCOD=180°-30°-60°=90°.

，OCVCD.

又?.?OC是。。的直徑，

,CD是。。的切線.

(2)如解圖②，連接OC,BC,

第23題解圖②

由(1)得NCOB=60。，S.OC=OB,

.?.△0CB為等邊三角形，ZCBG=60°.

XCGLAD,：.ZCGB=90o,

：.NGCB=NCGB-NCBG=30。.

又NGCD=60。，

.?.CB是/GCZ)的角平分線，且BFdLCD,BGLCG.

：.BF=BG.

又BC=BC,

Λ?BCG^?BCF.

：.CF=CG.

VZD=30o.AEVED,ZE=90°,

.?.ZEAD=60o.

又NCAO=30°,

,AC是NE4G的角平分線，J.CELAE,CGLAB.

.'.CE=CG.

"：NE=∕8FC=90°,ZEAC=30o=ZBCF,

，?AEC^ΔCFB.

ApCF

.?.算=笠，即AEBF=CFCE

CFBr

又CE=CG,CF=CG,

：.AE?BF=CG2.

24.解：(1)令>=/-2x—3中X=0,此時y=-3,故C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—3),

又?.?二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一或b，A--C?ic—-),代入數(shù)據(jù)解得M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),

.?.C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)；

(2)過N點(diǎn)作X軸的垂線交直線BC于。點(diǎn)，連接CN,如解圖①所示：

第24題解圖①

令y=N—2χ-3中y=0,解得8(3,0),4(一1,0),

設(shè)直線BC的解析式為：y=ax+h,代入C(0,—3),8(3,0),

,即直線BC的解析式為：y=χ-3.

6=-3

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(〃，層―2〃-3),故。點(diǎn)坐標(biāo)為(〃，〃-3),其中OV〃<3,

則S.，6CN=SINQC+S.SN06=；*QN?(xρ-xc)÷9βQN?(XB~XQ)

=2*QN?(XQ—XC+XB—XQ)

=；?QN?(切一尤c)，其中x°,xcr沖分別表示Q，C,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo),

且QN=(〃-3)一(層一2〃-3)=一/+3〃，XB—Xc=^t

1393327

故SABCN=B?(—Tt2+3H)?3=-?/?2÷?/?=—?(n-?)2+V,其中。<〃<3，

3

.?.-1<o,.?.拋物線開口向下，

327

3當(dāng)〃=：時，S,BCN有最大值，最大值為W，

Zo

3is

此時N的坐標(biāo)為(5，一*屋),

(3)設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,f),G點(diǎn)坐標(biāo)為(，〃，，”2-2m一3),且8(3,O),C(0,-3).

分類討論如下：

情況①：當(dāng)。G為對角線時，則另一對角線是BC,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：

心mcz>v,?4■.上AkL口/X。+XGyp+>,G,1+?2t+m2-2ιn-3

1τhπ

線段。G的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一5—,'2),即(一丁，-----?----------),

-

AJgCCU_1”,%β+xc7Vs÷fVcπr,3+0O3

線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一?—,2),即(f-,-?-),

此時DG的中點(diǎn)與BC的中點(diǎn)為同一個點(diǎn),

{1+/773

2=2[m=2

??,.解得，

f+加一2/"—331f=0a

2=一2

檢驗(yàn)此時四邊形OCGB為平行四邊形，此時G坐標(biāo)為(2,-3)；

情況②：當(dāng)DB為對角線時，則另一對角線是GC,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:

線段。B的中點(diǎn)坐標(biāo)為("&,吟今，g∣](1y2,r+0

亍)，

線段GC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(空，中)，即(空，〃1「3：

此時DB的中點(diǎn)與GC的