14三月2024高等數(shù)學微積分下課件華南理工大學192

重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限.

定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間.

而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應用.序言3問題的提出二重積分的概念二重積分的性質小結思考題作業(yè)doubleintegral第一節(jié)二重積分的概念

與性質4一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的?回想立體的體積、旋轉體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個模型.可作為5曲頂柱體體積=特點1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面以頂是曲面且在D上連續(xù)).?曲頂頂是曲的6柱體體積=

特點分析?曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創(chuàng)造條件使?

解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對矛盾互相轉化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限.底面積×高7步驟如下用若干個小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域，近似表示曲頂柱體的體積，8(1)

分割相應地此曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.(2)

取近似第i個小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個子域的面積).將域D任意分為n個子域在每個子域內任取一點9(3)求和即得曲頂柱體體積的近似值:(4)

取極限λ)趨于零,求n個小平頂柱體體積之和令n個子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積102.非均勻平面薄片的質量(1)將薄片分割成n個小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似任取小塊設有一平面薄片,求平面薄片的質量M.11也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和

①②③12積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素這和式則稱此零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④13曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質量即在薄片D上的二重積分,14

2.在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負.則面積元素為D152.二重積分的存在定理設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時,則都假定被積函數(shù)在相應的16(2)3.二重積分的幾何意義(3)

(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,17例1設D為圓域?二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：RD18性質１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類似的性質)三、二重積分的性質19以1為高的性質2將區(qū)域D分為兩個子域性質3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.

對積分區(qū)域的可加性質.D又可看成是D的面積.20特殊地性質4(比較性質)設則21解22幾何意義以m為高和以M為高的兩個性質5(估值性質)則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.23解估值性質區(qū)域D的面積在D上例3不作計算,24性質6(二重積分中值定理)體積等于顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點使得則曲頂柱體以D為底為高的平頂柱體體積.將性質5中不等式各除以有25的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點的值證畢.即是說,確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點使得函數(shù)在該與這個確定的數(shù)值相等,即26選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.例427利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點是圓域內的一點.28

補充在分析問題和算題時常用的設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關于坐標y為偶函數(shù).oxyD1性質7則D1為D在第一象限中的部分,對稱性質坐標y為奇函數(shù)則設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關于29設f(x,y)關于y為偶函數(shù),D1oxy

證則??得30坐標y為奇函數(shù)自證!則設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關于31這個性質的幾何意義如圖:OxyzOxyz區(qū)域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為偶函數(shù)區(qū)域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為奇函數(shù)32如果函數(shù)f(x,y)關于坐標x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)f(x,y)關于坐標x則為偶函數(shù)則類似地,設區(qū)域D關于y軸對稱,且D1為D在第一象限中的部分,33設D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域?34

解由性質得

例35為頂點的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.AD1是D在第一象限的部分,練習36D1D2D3D4記I=則I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1與D2關于y軸對稱D3與D4關于