專(zhuān)題6.4數(shù)列求和【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC數(shù)列數(shù)列的概念√對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問(wèn)題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問(wèn)題.等差數(shù)列√等比數(shù)列√【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1．等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10項(xiàng)和為_(kāi)_______．【解析】易知eq\f(Sn,n)＝n＋2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10項(xiàng)和為10×3＋eq\f(10×9,2)×1＝75.2．?dāng)?shù)列eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，eq\f(25,8)，eq\f(65,16)，…，eq\f(n·2n＋1,2n)的前n項(xiàng)和為_(kāi)___________．【解析】易知an＝eq\f(n·2n＋1,2n)＝n＋eq\f(1,2n)，∴前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,21)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,22)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,23)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2n)))＝(1＋2＋3＋…＋n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(（n＋1）n,2)＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(n（n＋1）,2)－eq\f(1,2n)＋1.3．?dāng)?shù)列1，eq\f(1,1＋2)，eq\f(1,1＋2＋3)，…，eq\f(1,1＋2＋…＋n)的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．【解析】易知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n（n＋1）)，分裂為兩項(xiàng)差的形式，即an＝2eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝21－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).4．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝____________(x≠0且x≠1)．題組二常錯(cuò)題5．已知Sn＝eq\f(1,\r(2)＋1)＋eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,2＋\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，若Sm＝10，則m＝________．【解析】因?yàn)閑q\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),n＋1－n)＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以Sm＝eq\r(2)－eq\r(1)＋eq\r(3)－eq\r(2)＋…＋eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\r(m＋1)－1.由已知得eq\r(m＋1)－1＝10，所以m＝120.6．?dāng)?shù)列eq\f(2,2)，eq\f(4,22)，eq\f(6,23)，…，eq\f(2n,2n)，…的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．【解析】設(shè)Sn＝eq\f(2,2)＋eq\f(4,22)＋eq\f(6,23)＋…＋eq\f(2n,2n)，①則eq\f(1,2)Sn＝eq\f(2,22)＋eq\f(4,23)＋eq\f(6,24)＋…＋eq\f(2n,2n＋1)，②①－②，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))Sn＝eq\f(2,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(2,23)＋eq\f(2,24)＋…＋eq\f(2,2n)－eq\f(2n,2n＋1)＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n,2n＋1)，∴Sn＝4－eq\f(n＋2,2n－1).題組三?？碱}7．等差數(shù)列{an}的公差是3，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.【解析】由題意，得a2，a2＋6，a2＋18成等比數(shù)列，即(a2＋6)2＝a2(a2＋18)，解得a2＝6，故a1＝3，所以Sn＝3n＋eq\f(n（n－1）,2)×3＝eq\f(3,2)n(n＋1)．8．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．【解析】因?yàn)閍1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以S1＝－1，Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列，所以eq\f(1,Sn)＝－n，所以Sn＝－eq\f(1,n).9．已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,3)b3＋…＋eq\f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*)．記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tn＝______________.【解析】由an＋1＝2an可得eq\f(an＋1,an)＝2，即數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)【知識(shí)清單】數(shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【考點(diǎn)深度剖析】江蘇新高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查要求較高，整個(gè)高中共有8個(gè)C能級(jí)知識(shí)點(diǎn)，本章就占了兩個(gè)，高考中以填空題和解答題的形式進(jìn)行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學(xué)生基本概念及基本運(yùn)算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識(shí)結(jié)合考查，如與函數(shù)、方程、不等式、平面解析幾何知識(shí)結(jié)合考查.【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1數(shù)列求和【題組全面展示】【1-1】數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則=.【答案】【解析】由數(shù)列的通項(xiàng)公式可知,數(shù)列的項(xiàng)依次為，數(shù)列每四項(xiàng)和為，故，所以．【1-2】已知函數(shù)，且則.【答案】-100【1-3】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則在數(shù)列中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為.【答案】43【解析】，∴為有理項(xiàng)，∴且，∴有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為43項(xiàng).【1-4】已知數(shù)列若，求=_______.（用數(shù)字作答）【答案】923【解析】，．【1-5】已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根，則數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】綜合點(diǎn)評(píng)：這些題都是數(shù)列求和，做這一類(lèi)數(shù)列求和的題，，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和．【方法規(guī)律技巧】1．公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來(lái)求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：類(lèi)似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．3．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令，則兩式錯(cuò)位相減并整理即得.4．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱(chēng)為裂項(xiàng)相消法.適用于類(lèi)似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法：（1），特別地當(dāng)時(shí)，；（2），特別地當(dāng)時(shí)，；（3）（4）（5）5．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類(lèi)數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列，則可以將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.6．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，.7.在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意：(1)在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)．對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和的問(wèn)題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和．應(yīng)用公式法求和時(shí)，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式．使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式．8.[易錯(cuò)提示]利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問(wèn)題，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過(guò)程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤．應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意：①給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；②在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù)，不一定為n.【新題變式探究】【變式一】對(duì)于函數(shù)，部分與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：123456789375961824數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則的值為.【答案】7549【變式二】若在數(shù)列中，對(duì)任意正整數(shù)，都有（常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為“等方和數(shù)列”，稱(chēng)為“公方和”，若數(shù)列為“等方和數(shù)列”，其前項(xiàng)和為，且“公方和”為，首項(xiàng)，則的最大值與最小值之和為.【答案】2【解析】由得，兩等式相減得：.又“公方和”為，首項(xiàng)，所以.所以的最大值為1007，最小值為-1005，其和為2.【綜合點(diǎn)評(píng)】這兩個(gè)題都是數(shù)列求和,第一題是函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合,解題突破口為根據(jù)函數(shù)數(shù)據(jù),找出數(shù)列滿(mǎn)足的規(guī)律,然后利用合項(xiàng)法求和,第二個(gè)題是根據(jù)新定義求和,緊扣定義找出實(shí)質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)2數(shù)列綜合【題組全面展示】【1-1】已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值正負(fù)為 .【答案】正【解析】同理，，，…，，又，以上各式相加，得.【1-2】設(shè)函數(shù)，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】.【1-3】已知，已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則最大值為.【答案】6030【1-4】已知，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，則數(shù)列自第2項(xiàng)到第項(xiàng)的和_____________.【答案】【解析】已知，則有，所以，，所以，所以.【1-5】對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令，則.【答案】.【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，它與軸交于點(diǎn)，則有，，.綜合點(diǎn)評(píng)：這些題都是數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題要抓住一個(gè)中心——函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問(wèn)題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理．【方法規(guī)律技巧】1.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是近年來(lái)的高考熱門(mén)問(wèn)題，與不等式相關(guān)的大多是數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題，對(duì)于這種問(wèn)題，在解答時(shí)需要利用化歸的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，要掌握常見(jiàn)的解決不等式的方法，以便更好地解決問(wèn)題．?dāng)?shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類(lèi)題：一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值；二是與數(shù)列中的求和問(wèn)題相聯(lián)系，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍，此類(lèi)問(wèn)題通常是抓住數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍．以數(shù)列為背景的不等式恒成立問(wèn)題，或不等式的證明問(wèn)題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，或利用放縮法證明.解決數(shù)列和式與不等式證明問(wèn)題的關(guān)鍵是求和，特別是既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，要利用不等式的放縮法，放縮為等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和，最終歸結(jié)為有限項(xiàng)的數(shù)式大小比較．?dāng)?shù)列與不等式綜合的問(wèn)題是常見(jiàn)題型，常見(jiàn)的證明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③綜合法；④分析法；⑤放縮法.2.數(shù)列與解析幾何交匯問(wèn)題主要是解析幾何中的點(diǎn)列問(wèn)題，關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后借助數(shù)列的知識(shí)加以解決．3.處理探索性問(wèn)題的一般方法是：假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或其中的一部分結(jié)論成立，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理．若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用．還可以根據(jù)已知條件建立恒等式，利用等式恒成立的條件求解．4.解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解．5.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)．等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見(jiàn)的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，它們與函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對(duì)能力要求的進(jìn)一步增加，這一部分內(nèi)容也將受到越來(lái)越多的關(guān)注．eq\a\vs4\al\co1(數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題)，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意把握以下兩點(diǎn)：(1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義；(2)明確等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式的特征．【新題變式探究】【變式一】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,且對(duì)任意,函數(shù)滿(mǎn)足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】【變式二】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，….如果n為正整數(shù)，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＋eq\o(P3P4,\s\up6(→))＋eq\o(P5P6,\s\up6(→))＋…＋P2n－1P2n的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】eq\f(2,3)(4n－1)【解析】PkPk＋1＝(k＋1－k,2k＋1－2k)＝(1,2k)，于是eq\o(P1P2,\s\up6(→))＋eq\o(P3P4,\s\up6(→))＋eq\o(P5P6,\s\up6(→))＋…＋P2n－1P2n的縱坐標(biāo)為2＋23＋25＋…＋22n－1＝eq\f(21－4n,1－4)＝eq\f(2,3)(4n－1)．【綜合點(diǎn)評(píng)】第一題是函數(shù)與數(shù)列結(jié)合，此類(lèi)問(wèn)題常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等．第二題是數(shù)列與新背