考向14函數(shù)的基礎(chǔ)知識

【考點(diǎn)梳理】

【函數(shù)的有關(guān)概念】

(?)常量與變量

在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量。

(2)函數(shù)與函數(shù)值

一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量X與y,并且對于X的每一個(gè)確定的值，y都有唯

一確定的值與其對應(yīng)，那么就說X是自變量，y是X的函數(shù)。如果當(dāng)x=a時(shí)，y=b,那么b叫做當(dāng)自

變量的值為a時(shí)的函數(shù)值。

點(diǎn)撥對于函數(shù)的理解應(yīng)分以下幾個(gè)方面：

(1)函數(shù)首先指在一個(gè)變化過程中；

(2)只能有兩個(gè)變量；

(3)每一?個(gè)X對應(yīng)唯一■的一`個(gè)y值，而一■個(gè)y值不必對應(yīng)唯一■的X值，如函數(shù)y=x?中，y是X的

函數(shù)，每一個(gè)X對應(yīng)唯一的y值，而一個(gè)y可以對應(yīng)不同的X的值。

【函數(shù)自變量的取值范圍】

函數(shù)自變量的取值范圍是指使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。確定自變量的取值范圍時(shí)，不

僅要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實(shí)際意義。

(1)當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量取任意實(shí)數(shù)(即全體實(shí)數(shù))。

(2)當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)。

(3)當(dāng)函數(shù)的解析式是開平方的無理數(shù)時(shí)，自變量取值是使被開方的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)。

(4)當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)零次累或負(fù)整數(shù)次易的底數(shù)中時(shí)，自變量取值是使底數(shù)不為零的實(shí)

數(shù)O

當(dāng)函數(shù)解析式是上述情況的組合時(shí)，自變量的取值范圍是其公共部分。

【函數(shù)的解析式】

像y=50-0.1x這樣用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系,是描述函數(shù)的常用方

法這種式子叫做函數(shù)的解析式.

【函數(shù)的圖像】

(1)函數(shù)圖像的定義

一般地,對于一個(gè)函數(shù)如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)那么坐標(biāo)平面

內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形,就是這個(gè)函數(shù)的圖像。

（2）描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的一般步驟

第一步:列表一一表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值；

第二步:描點(diǎn)一一在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo)相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)

值對應(yīng)的各點(diǎn)；；

第三步:連線一一按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來。

【函數(shù)的表示方法】

方法定義優(yōu)點(diǎn)不足

把自變量X的一系列

只能列出部分自變量與

值和函數(shù)y的對應(yīng)值列能明顯地呈現(xiàn)出自變量函數(shù)的對應(yīng)值，難以看出自

列表法

與對應(yīng)值的函數(shù)值變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)

成一個(gè)表來表示函數(shù)

律

關(guān)系的方法叫做列表

法___________________

用含有自變量的代

解析式簡明扼要，規(guī)范準(zhǔn)確，便有些函數(shù)關(guān)系，不能用解

數(shù)式表示函數(shù)的方法

法于分析推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)析式表示

叫做解析式法

所畫的圖像是近似的、局

用圖像表示函數(shù)關(guān)形象直觀,能清晰地呈現(xiàn)

圖像法部的，從圖像上觀察的結(jié)果

系的方法叫做圖像法函數(shù)的一些性質(zhì)

也是近似的_______________

【題型探究】

題型一：常量和變量

A

L（2023?廣東佛山??？家荒＃┣虻捏w積是V,球的半徑為R,則V=（∕R3,其中變量和常量分別是（）

44

A.變量是V,R；常量是彳，πB.變量是A,π；常量是彳

33

4

C.變量是V,R,π；常量是§D.變量是V,K；常量是4

2.（2022.廣東.統(tǒng)考中考真題）水中漣漪（圓形水波）不斷擴(kuò)大,記它的半徑為八則圓周長C與〃的關(guān)系式為。=2”.下

列判斷正確的是（）

A.2是變量B.兀是變量C.r是變量D.C是常量

3.（2022.湖北宜昌?統(tǒng)考一模）在國內(nèi)投寄到外地質(zhì)量為80g以內(nèi)的普通信函應(yīng)付郵資如下表:

信件質(zhì)量m/g0<m<2020<m≤4040<m≤6060<m<80

郵資y/元1.202.403.604.80

某同學(xué)想寄一封質(zhì)量為15g的信函給居住在外地的朋友，他應(yīng)該付的郵資是（）

A.4.80B.3.60C.2.40D.1.20

題型二：函數(shù)的概念

6.（2020.廣東?統(tǒng)考一模）下列各式中，能表示y是l的函數(shù)的是（）

A.y=>∣x-2+Vl-xB.y=x3

C.y=-yj-x2D.y=±?∣x

題型三：自變量和函數(shù)值

X]

7.（2。22?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）函數(shù)kE+7ΞT的自變量X的取值范圍是（）

A.*κ-3且XxlB.X>-3J1JC≠1C.x>-3D.x≥-3j?x≠l

8.（2022?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y=[x]叫做高斯函數(shù)，其中X為任意實(shí)數(shù)，lx]表示不超過X的最大整數(shù).定

義{x}=xTx],則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①il]=-4;

②{3.5}=0.5；

③高斯函數(shù)y=[xl中，當(dāng)y=-3時(shí)，X的取值范圍是_34x<—2；

④函數(shù)y={x}中，當(dāng)2?5<X≤3.5時(shí)，0≤y<l.

A.0B.1C.2D.3

9.（2022春?湖北恩施?九年級專題練習(xí)）函數(shù)>=^?+（x-5）-2中自變量X的取值范圍是（）

A.且x23且x≠5B.且x>3且XW5C.x>3D.x>3

題型四：函數(shù)的圖像問題

10.（2022?重慶璧山?統(tǒng)考一模）小明和爸爸從家里出發(fā)，沿同一路線到圖書館，小明勻速跑步先出發(fā)，2分鐘后，

爸爸騎自行車出發(fā)，勻速騎行一段時(shí)間后，在途中商店買水花費(fèi)了5分鐘，從商店出來后，爸爸的騎車速度比他之

前的騎車速度增加60米/分鐘，結(jié)果與小明同時(shí)到達(dá)圖書館.小明和爸爸兩人離開家的路程,（米）與小明出發(fā)的

時(shí)間f（分鐘）之間的函數(shù)圖像如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.a=l7B.小明的速度是150米/分鐘

C.爸爸從家到商店的速度是200米/分鐘D./=9時(shí)，爸爸追上小明

11.（2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡.雅西高速

是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學(xué)者公認(rèn)為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、科技含量最高的

山區(qū)高速公路之一，全長240km.一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，線段?！北硎矩涇囯x西昌

距離M（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系：折線OABN表示轎車離西昌距離外（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，則

以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

.ι(km)

240

75

Mh)

A.貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇

B.貨車從西昌到雅安的速度為60km∕h

C.轎車從西昌到雅安的速度為IlokmZh

D.轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有60km

12.（2022?廣東廣州?廣州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）3月23日早晨，“母親河畔的奔跑-2013重慶國際馬拉松賽”在

南濱公園門口鳴槍開跑，甲、乙兩選手的行程y（千米）隨時(shí)間X（時(shí)）變化的圖象（全程）如圖所示.有下列說

法：其中，錯(cuò)誤的說法是（）

A.起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面B.第1小時(shí)兩人都跑了21千米

C.甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)D.兩人都跑了42.195千米

題型五：函數(shù)的三種表示方法

13.（2022春?北京,九年級統(tǒng)考專題練習(xí)）對于溫度的計(jì)量，世界上大部分國家使用攝氏溫標(biāo)（C）,少數(shù)國家使

用華氏溫標(biāo)（°F）,兩種溫標(biāo)間有如下對應(yīng)關(guān)系：

攝氏溫標(biāo)（℃）01020304050

華氏溫標(biāo)（oF）32506886104122

則攝氏溫標(biāo)（C）與華氏溫標(biāo)（OF）滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

14.（2021?陜西西安?交大附中分校校考模擬預(yù)測）在實(shí)驗(yàn)課上，小亮利用同一塊木板，測得小車從不同高度/7（cm）

下滑的時(shí)間f（s）,得到如下數(shù)據(jù):

支撐物高∕z（Cm）1020304050

下滑時(shí)間/（s）3.253.012.812.662.56

以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)∕2=10時(shí)，f為3.25秒

B.隨支撐物高度增加，下滑時(shí)間越來越短

C.估計(jì)當(dāng)〃=80時(shí)，f一定小于2.56秒

D.高度每增加IOCm,下滑時(shí)間就會減少0.24秒

15.（2021秋?北京?九年級北京市第五中學(xué)分校?？茧A段練習(xí)）風(fēng)寒效應(yīng)是一種因刮風(fēng)所引起的使體感溫度較實(shí)際氣

溫低的現(xiàn)象，科學(xué)家提出用風(fēng)寒溫度描述刮風(fēng)時(shí)的體感溫度，并通過大量實(shí)驗(yàn)找出了風(fēng)寒溫度和風(fēng)速的關(guān)系.下表

中列出了當(dāng)氣溫為5℃時(shí)，風(fēng)寒溫度7^^和風(fēng)速僅匕口/切的幾組對應(yīng)值，那么當(dāng)氣溫為5℃時(shí)，風(fēng)寒溫度T與風(fēng)

速V的函數(shù)關(guān)系最可能是（）

風(fēng)速U（單位：km∕h）O10203040

風(fēng)寒溫度7（單位：℃）531-1-3

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系C.二次函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系

題型六：動點(diǎn)函數(shù)問題

16.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖1,在ABC中，2B90?,BC=12,動點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以每

秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)5以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，且當(dāng)其中

一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動到終點(diǎn)停止，設(shè)y=PQ°+C產(chǎn)，出發(fā)時(shí)間為X（秒），圖2是》關(guān)于X的圖像，則。

的值為（）

圖1圖2

A.98B.105C.IlOD.116

17.（2022?山東濟(jì)寧?三模）如圖，在正方形ABCQ中，AB=3cm,動點(diǎn)M自A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以每秒ICm的速

度運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N自A點(diǎn)出發(fā)沿折線Az）-DC-CB以每秒3cm的速度運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動同時(shí)停止.設(shè)AMN

的面積為y（cm2）.運(yùn)動時(shí)間為X（秒），則下列圖象中能大致反映y與X之間函數(shù)關(guān)系的是（）

DC

18.（2022?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCΦ,BC=6,BC邊上的高為3,點(diǎn)D,E,”分別在邊8C,ABf

AC上，EF//BC.設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為X,AOEF的面積為乃則y關(guān)于X的函數(shù)圖象大致是（）

A.B.

【必刷基礎(chǔ)】

一、單選題

19.（2022.山東莉澤.荷澤一中校考模擬預(yù)測）函數(shù)y=√^二T中X的取值范圍是（）

20.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？家荒＃┮?guī)定國表示不大于X的最大整數(shù)，例如[2.3]=2,[3]=3,

卜2.5]=-3.那么函數(shù)y=[x]的圖象為（）

21?（2022?重慶銅梁?銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，已知矩形ABC。中，點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，

沿B→O→A→B以Iem/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B,到達(dá)點(diǎn)B后停止.圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，PEC的面積y（cm2）隨

運(yùn)動時(shí)間MS）變化的關(guān)系圖像，則圖2中“，b的值為（）

圖1圖2

A.a=3,?=12B.a=4,?=12

C.a=3,t>=14D.a=4,t>=14

22.（2022?重慶?模擬預(yù)測）甲、乙兩車分別從相距280千米的A,8兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)1小時(shí)，并

以各自的速度勻速行駛，途徑C地；甲車到達(dá)C地停留1小時(shí)，因有事按原路原速返回4地；乙車從8地直達(dá)A

地，兩車同時(shí)到達(dá)A地.甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與甲車出發(fā)所用的時(shí)間X（小時(shí)）的關(guān)系如圖

所示.下列說法：①乙車的速度是35千米/時(shí)；②甲車從C地返回A地的速度為70千米/時(shí)；③f=3；④當(dāng)兩車相

距35千米時(shí)，乙車行駛的時(shí)間是2小時(shí)或6小時(shí).其中正確的有（）

23.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）汽車油箱中有汽油30L,如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行

駛路程X（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為QlLTkm.當(dāng)0≤x<300時(shí)，y與X的函數(shù)解析式是（）

A.y=0.1xB.y=-0.1x÷30C.y=——D.y=-0.Ix2+30x

X

24.（2022?青海?統(tǒng)考中考真題）2022年2月5日，電影《長津湖》在青海劇場首映，小李一家開車去觀看.最初以

某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了十幾分鐘，為了按時(shí)到達(dá)劇場，小李在不違反交通規(guī)則的前提下加快了速

度，仍保持勻速行駛.在此行駛過程中，汽車離劇場的距離y（千米）與行駛時(shí)間r（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的大致圖象

是（）

25.（2023?陜西西安?交大附中分校?？家荒＃┤鐖D1,小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從食堂吃完早

餐，接著騎自行車去圖書館讀書，然后以相同的速度原路返回家.如圖2中反映了小明離家的距離y（m）與他所用時(shí)

間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）小明家與圖書館的距離為m,小明騎自行車速度為m/min；

（2）求小明從圖書館返回家的過程中，了與X的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)小明離家的距離為100Om時(shí)，求X的值.

26.（2023?陜西西安?陜西師大附中?？家荒＃┘滓覂傻胤謩e對本地各40萬人接種某種疫苗，甲地在前期完成5萬

人接種后，甲、乙兩地同時(shí)以相同速度接種，甲地經(jīng)過。天后接種人數(shù)達(dá)到25萬人，由于情況變化，接種速度放

緩，結(jié)果100天完成接種任務(wù)，乙地80天完成接種任務(wù)，在某段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地的接種人數(shù)y（萬人）與各自

接種時(shí)間X（天）之間的關(guān)系如圖所示.

（2）當(dāng)甲地接種速度放緩后，求），關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式;

（3）當(dāng)乙地完成接種任務(wù)時(shí)，求甲地未接種疫苗的人數(shù).

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

27.（2022?廣西河池?統(tǒng)考中考真題）東東用儀器勻速向如圖容器中注水，直到注滿為止.用，表示注水時(shí)間，y表

示水面的高度，下列圖象適合表示了與，的對應(yīng)關(guān)系的是（）

28.（2022秋?重慶秦江?九年級?？迹窐泛徒憬阋黄鸪鋈ミ\(yùn)動，兩人同時(shí)從家出發(fā).沿相同路線前行，途中姐姐有

事返回.樂樂繼續(xù)前行.5分鐘后也原路返回，兩人恰好同時(shí)到家，樂樂和姐姐在整個(gè)運(yùn)動過程中離家的路程M（米）,

力（米）與運(yùn)動時(shí)間X（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.兩人前行過程中的速度為180米/分B.機(jī)的值是15,"的值是2700

C.姐姐返回時(shí)的速度為90米/分D.運(yùn)動18分鐘時(shí)，兩人相距800米

29?（2022?北京?統(tǒng)考中考真題）下面的三個(gè)問題中都有兩個(gè)變量：

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間無

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間x；

③用長度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長X,其中，變量y與變量尤之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如

圖所示的圖象表示的是（）

Crx

A.①②B.①③C.②③D.①②③

30?（2022?廣西桂林?統(tǒng)考中考真題）桂林作為國際旅游名城，每年吸引著大量游客前來觀光.現(xiàn)有一批游客分別乘

坐甲乙兩輛旅游大巴同時(shí)從旅行社前往某個(gè)旅游景點(diǎn).行駛過程中甲大巴因故停留一段時(shí)間后繼續(xù)駛向景點(diǎn)，乙大

巴全程勻速駛向景點(diǎn).兩輛大巴的行程S（km）隨時(shí)間f（h）變化的圖象（全程）如圖所示.依據(jù)圖中信息，下列

說法錯(cuò)誤的是（）

A.甲大巴比乙大巴先到達(dá)景點(diǎn)B.甲大巴中途停留了0.5h

C.甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴D.甲大巴停留前的平均速度是60km∕h

31.（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模）一輛汽車的速度隨時(shí)間的變化如圖所示，直接根據(jù)圖像判斷下列說法:

①從10至20分鐘時(shí)，汽車在勻速行駛;

②從20至30分鐘時(shí)，汽車在減速行駛;

③第50分鐘時(shí)，汽車的速度是40千米/小時(shí);

④從0至60分鐘時(shí)，汽車的最高速度是80千米〃J、時(shí).

其中正確的有（）個(gè).

速度（千米〃卜時(shí)）

80

60

40

20時(shí)間（分）

0102030405060

A.1B.2C.3D.4

32.（2022.河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖1,在ABC中，ZA8C=60。，點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P從.ΛBC的頂點(diǎn)

A出發(fā)，沿A→3→O的路徑以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)D線段。尸的長度），隨時(shí)間X變化的關(guān)系

圖象如圖2所示，點(diǎn)N是曲線部分的最低點(diǎn)，則ABC的面積為（）

V

D?￥

A.4B.4√3C.8

33.（2022?河南許昌?統(tǒng)考二模）如圖1,點(diǎn)尸是ABC的中線8。上的一動點(diǎn)，點(diǎn)。是CP的中點(diǎn)，連接AQ,設(shè)BP=x,

則機(jī)的值為（）

二、填空題

34.（2022.黑龍江哈爾濱??？级＃┖瘮?shù)y=-Qr的自變量X的取值范圍是__________.

2x+l

2

35.（2023?山西太原?山西大附中?？家荒＃τ诤瘮?shù)y=J當(dāng)x>-2,V的取值范圍是

X

36.（2022?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）某日上午，甲、乙兩人先后從A地出發(fā)沿同一條道路勻速行走前往B地，甲8點(diǎn)出

發(fā)，如圖是其行走路程s（千米）隨行走時(shí)間《小時(shí)）變化的圖象.乙在甲出發(fā)02小時(shí)后追趕甲，若要在9點(diǎn)至10點(diǎn)

之間（含9點(diǎn)和10點(diǎn)）追上甲，則乙的速度以單位：千米/小時(shí)）的范圍是.

37.（2022.山東濟(jì)南.濟(jì)南育英中學(xué)?？寄M預(yù)測）一輛貨車從A地勻速駛往相距35Okm的8地，當(dāng)貨車行駛1小時(shí)

經(jīng)過途中的C地時(shí)，一輛快遞車恰好從C地出發(fā)以另一速度勻速駛往B地，當(dāng)快遞車到達(dá)8地后立即掉頭以原來

的速度勻速駛往A地.（貨車到達(dá)B地，快遞車到達(dá)A地后分別停止運(yùn)動）行駛過程中兩車與B地間的距離y（單

位：km）與貨車從出發(fā)所用的時(shí)間X（單位：）間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.則貨車到達(dá)B地后，快遞車再行駛h

到達(dá)A地.

38.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）小淇利用繪圖軟件畫出函數(shù)y=-gx（x-l）（x+D（-2≤x≤2）的圖像，下列關(guān)于該

函數(shù)性質(zhì)的四種說法：①圖像與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；③最大值是3,最小值是-3；④當(dāng)x>l

時(shí)，y隨X的增大而減小.其中，所有正確說法的序號是—.

39.（2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖1,AABC中，NABC=60。，。是8C邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重

合），DE//AB,交AC于點(diǎn)E,EF//BC,交AB于點(diǎn)F.設(shè)8。的長為x,四邊形BDE尸的面積為y,y與X的函數(shù)

圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）,則AB的長為.

圖2

三、解答題

40.（2022?黑龍江綏化??？级＃┘住⒁覂扇搜毓P直公路勻速由A地到B地，甲先出發(fā)30分鐘，到達(dá)B地后原路

原速返回與乙在C地相遇.甲的速度比乙的速度快25knVh,甲、乙兩人與A地的距離y（km）和乙行駛的時(shí)間x（h）之

間的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）甲車速度為km/h,a的值為.

（2）求甲車到達(dá)B地后y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求BC兩地相距的路程是多少千米.

41.（2022.河南南陽.模擬預(yù)測）某水果批發(fā)市場香蕉采取分段計(jì)價(jià)的方式，其價(jià)格如下表:

購買香蕉數(shù)M千克）不超過25千克的部分25千克以上但不超過40千克的部分40千克以上的部分

每千克價(jià)格（元）1086

（1）小強(qiáng)購買香蕉X千克，用去了y元.寫出了與X的關(guān)系式；

（2）計(jì)算出小強(qiáng)一次性購買60千克的價(jià)格比分兩次共購買60千克（每次都購買30千克）的價(jià)格少多少元？

42.（2022.浙江寧波??？既＃┲苣?，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從A地出發(fā)前往6地進(jìn)行騎行

O

訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘.乙騎行25分鐘后，甲以原速的￡繼續(xù)騎行，經(jīng)

過一段時(shí)間，甲先到達(dá)8地，乙一直保持原速前往6地.在此過程中，甲、乙兩人相距的路程V(單位：米)與乙

騎行的時(shí)間X(單位：分鐘)之間的關(guān)系如圖所示.

(1)求甲、乙兩人出發(fā)時(shí)的速度分別為多少米/分？

(2)甲、乙兩人相遇時(shí)，甲出發(fā)了幾分鐘？

⑶乙比甲晚幾分鐘到達(dá)B地？

43?(2022?江蘇揚(yáng)州??？既?孔子曰：溫故而知新，可以為師矣.根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，小蘇同學(xué)發(fā)現(xiàn)對所學(xué)

知識點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，學(xué)習(xí)效果會更好.某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí).假設(shè)他用于學(xué)習(xí)的時(shí)間X(單位:

分鐘)與學(xué)習(xí)收益量)，的關(guān)系如圖甲所示，用于復(fù)習(xí)的時(shí)間X(單位：分鐘)與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖乙所示(其

中04是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)).

(1)求該同學(xué)的學(xué)習(xí)收益量y與用于學(xué)習(xí)的時(shí)間X之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量X的取值范圍：

(2)求該同學(xué)的學(xué)習(xí)收益量y與用于復(fù)習(xí)的時(shí)間X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)該同學(xué)應(yīng)如何分配學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？(學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益

量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量)

44.(2022?北京海淀??？既?有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y=；(X-I)(X-2)(x-3)+x的性質(zhì).

(1)先從簡單情況開始探究：

①當(dāng)函數(shù)為y=g(χ-ι)+χ時(shí)，y隨X增大而(填"增大減“減小”)；

②當(dāng)函數(shù)為y=g(χ-I)(X-2)時(shí)，它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為；

⑵當(dāng)函數(shù)為y=g(x-l)(x-2)(x-3)+x時(shí)，如表為其V與X的幾組對應(yīng)值，貝IJa=.

359

X01234

^^2222

1132737177

y-312a7

T676^16^

①如圖，在平面直角坐標(biāo)系XQy中，描出了該函數(shù)部分對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，請大致畫出該函數(shù)的圖象;

-1^I1234567?

-2-

3

4

5-

6-

7L

②結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)方程g(x-l)(x-2)(x-3)+x=6的解可能為

參考答案：

1.A

【分析】所謂變量是指變化的量，常量是指固定不變的量，根據(jù)變量、常量的含義即可作出

判斷.

【詳解】解：球的體積是V,球的半徑為R,則U=g"R3,

4

其中變量是V,R;常量是π，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量與變量，知道其含義是關(guān)鍵.

2.C

【分析】根據(jù)變量與常量的定義分別判斷，并選擇正確的選項(xiàng)即可.

【詳解】解：2與萬為常量，C與,?為變量，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查變量與常量的概念，能夠熟練掌握變量與常量的概念為解決本題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】當(dāng)0<mW20時(shí)，郵資y=1.20元，據(jù)此可得結(jié)論.

【詳解】由題可得，當(dāng)0<m≤20時(shí)，郵資y=1.2O元，

.?.同學(xué)想寄一封質(zhì)量為15g的信函給居住在外地的朋友，他應(yīng)該付的郵資是1.20元，

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分段函數(shù)，在解決分段函數(shù)問題時(shí)，要特別注意自變量取值范圍的

劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際.

4.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，對于自變量X的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，即可判斷.

【詳解】解：A、對于自變量X的每一個(gè)值，y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以不能表示y

是X的函數(shù)，故A不符合題意；

B、對于自變量X的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以能表示y是X的函數(shù)，故B

符合題意；

C、對于自變量X的每一個(gè)值，y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以不能表示y是X的函數(shù)，

故C不符合題意；

D、對于自變量X的每一個(gè)值，y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以不能表示y是X的函數(shù)，

故D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的概念：在某一變化過程中，有兩個(gè)變量x、y,一個(gè)量X變化，另

一個(gè)量y隨之變化，當(dāng)X每取一個(gè)值，另一個(gè)量y就有唯一值與之相對應(yīng)，這時(shí)，我們把X

叫做自變量，y是X的函數(shù)，理解自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是正確判斷的前提.

5.C

【分析】設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量X與y,對于X的每一個(gè)確定的值，），都有唯一的

值與其對應(yīng)，那么就說y是X的函數(shù)，X是自變量.根據(jù)函數(shù)的意義即可求出答案.

【詳解】解；顯然A、B、D選項(xiàng)中，對于自變量X的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng),

y是X的函數(shù)：

C選項(xiàng)對于X取值時(shí)，y都有2個(gè)值與之相對應(yīng)，則y不是X的函數(shù)；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義.解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的定義，在定義中特別要注意,

對于X的每一個(gè)值，y都有唯一的值與其對應(yīng).

6.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，滿足對于X的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng).

【詳解】解：AC選項(xiàng)無論X取何值時(shí)，表達(dá)式無意義，D選項(xiàng)y值不唯一.

根據(jù)函數(shù)的定義可知：只有函數(shù)y=r',當(dāng)X取值時(shí)，V有唯一的值與之對應(yīng)；

故選：B.

【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)的定義.函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量X,V,對

于X的每一個(gè)取值，》都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y是X的函數(shù)，X叫自變量.

7.B

【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案.

【詳解】解：依題意，<fx+3,>八O

[Λ-1≠0

x>-3且XHl

故選B

【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是

解題關(guān)鍵.

8.D

【分析】根據(jù)㈤表示不超過X的最大整數(shù)，即可解答.

【詳解】解：①1-4」=-5,故原說法錯(cuò)誤；

②{3.5}=3.5-[3.5]=3.5—3=0.5,正確，符合題意；

③高斯函數(shù)y=5中，當(dāng)產(chǎn)-3時(shí)，X的取值范圍是—34x<-2,正確，符合題意；

④函數(shù)y={x}中，當(dāng)2?5<X43.5時(shí)，0≤y<l,正確，符合題意；

所以，正確的結(jié)論有3個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是明確國表示不超過X的最大整

數(shù).

9.B

【分析】綜合二次根式以及分式和負(fù)整數(shù)指數(shù)累的定義分別確定即可.

【詳解】解：由題意，y=ξ?+(χ-5尸

JX-3(X-S)?)

∫x-3>0

"[x-5≠0'

解得：x>3S,x≠5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍問題，熟記分式，二次根式等常見的代數(shù)式有意義

的條件是解題關(guān)鍵.

10.D

【分析】利用到商店時(shí)間+停留時(shí)間可確定A,利用爸爸所用時(shí)間+2分與路程3300米可求

小明速度可確定B,利用設(shè)爸爸開始時(shí)車速為X米/分，列方程求解即可確定C,利用小明

和爸爸行走路程一樣，設(shè)f分爸爸追上小明，列方程求解可知D.

【詳解】解：A.α=12+5=17,故A正確，不合題意；

B.小明的速度為3300÷22=150米/分，故B正確，不合題意；

C.設(shè)爸爸開始時(shí)車速為X米/分，

(12-2)x+5(x+60)=3300,

解得x=200米/分，故爸爸從家到商店的速度為200米/分鐘正確，不合題意；

D.設(shè)y分爸爸追上小明，

150(y+2)=200y,

解得：y=6,

故f=9時(shí)，爸爸追上小明，選項(xiàng)不正確，符合題意

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查行程問題的函數(shù)圖像，會看圖像，能從中獲取信息，掌握速度，時(shí)間與路

程三者關(guān)系，把握基準(zhǔn)時(shí)間是解題關(guān)鍵.

11.D

【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷，即可得出答案.

【詳解】解：由題意可知，

貨車從西昌到雅安的速度為：140÷4=60(km∕h),故選項(xiàng)B不合題意；

轎車從西昌到雅安的速度為：(240-75)÷(3-1.5)=110(km∕h),故選項(xiàng)C不合題意；

2

轎車從西昌到雅安所用時(shí)間為：240÷110=2-(小時(shí))，

3-22-?-9（小時(shí)），即A點(diǎn)表示「9h,

設(shè)貨車出發(fā)X小時(shí)后與轎車相遇，根據(jù)題意得：

60x=110^x—-J,解得X=I.8,

二貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇，故選項(xiàng)A不合題意；

轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安的距離為：60x3瀘=40（km）,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合

題意.

故選D?

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能夠從函數(shù)圖象中獲取相

關(guān)信息.

12.C

【分析】由圖象可知起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面；在跑了1小時(shí)時(shí)，乙追上甲，此時(shí)都

跑了21千米；乙比甲先到達(dá)終點(diǎn)；根據(jù)縱坐標(biāo)，可得兩人跑的距離，則可求得答案.

【詳解】解：根據(jù)圖象得：

起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

在跑了1小時(shí)時(shí)，乙追上甲，此時(shí)都跑了21千米，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

乙比甲先到達(dá)終點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；

兩人都跑了42.195千米，故選項(xiàng)D正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意理解各段函數(shù)圖象的實(shí)際

意義，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過程.

13.B

【分析】從表格可看出，攝氏溫標(biāo)每增加1（ΓC,華氏溫標(biāo)增加18。凡即攝氏溫標(biāo)（℃）與

華氏溫標(biāo)（。用成一次函數(shù)關(guān)系.

【詳解】解：從表格可看出，攝氏溫標(biāo)每增加10。。，華氏溫標(biāo)增加18。凡即攝氏溫標(biāo)（℃）

與華氏溫標(biāo)（。乃成一次函數(shù)關(guān)系.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)，根據(jù)已知得出y與X的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

14.D

【分析】根據(jù)表格中數(shù)量的變化情況，分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由表格知：Λ=10,r=3.25.

故A結(jié)論正確.

由表格知：隨著高度的增加，下滑時(shí)間越來越短.

故B,C結(jié)論正確.

當(dāng)支撐物高度從IOcm升高到20C7”,下滑時(shí)間的減少0.24s,

從20cm升高到30c,"時(shí)?，下滑時(shí)間就減少0.2s,

從30cm升高到40c,〃時(shí)，下滑時(shí)間就減少0.15s,

從40Cvn升高到50CVn時(shí)，下滑時(shí)間就減少0.1s,

因此，“高度每增加了10cm,時(shí)間就會減少0.24秒”的說法是錯(cuò)誤的，

故選項(xiàng)。結(jié)論錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的概念，函數(shù)的定義：設(shè)X和y是兩個(gè)變量，對于每個(gè)值方變量

y按照一定的法則有一個(gè)確定的值y與之對應(yīng)，稱變量y為變量X的函數(shù).本題理解表格中

兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系是正確判斷的前提.

15.B

【分析】利用描點(diǎn)法畫出圖象解題.

【詳解】解：根據(jù)表格描點(diǎn)得到下圖，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象，涉及一次函數(shù)圖象，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是

解題關(guān)鍵.

16.D

【分析】由已知得，AQ=7>x,BP=2x,則PC=I2-2x,由圖像中的x=4可知，AB=3×4=I2,

又當(dāng)x=2時(shí)，AQ=6,BP=4,即可求出〃的值.

【詳解】解：由已知得，AQ=3x,BP=1χ,

貝IJPC=?2-2x,

由圖像中的x=4可知AB=3x4=12,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，AQ=6,BP=A,

-BQ=G,PC=8,

.?.a=PQ2+CP2

=BQ2+BP2+PC2

=62+42+82

=116.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象確定X的運(yùn)動時(shí)間與面積之間的關(guān)

系是解本題的關(guān)鍵.

17.B

【分析】根據(jù)題意，分三段(O<X<1,l≤x<2,24x<3)分別求解y與X的解析式，從

而求解.

【詳解】解：當(dāng)OVX<1時(shí)，M、N分別在線段AB、AN,

此時(shí)AM=3xcm,AN=XCm

2

y=sΛMN=^×AM×AN=^X,為二次函數(shù)，圖象為開口向上的拋物線;

當(dāng)l≤x<2時(shí)，M、N分別在線段5C、AN,

此時(shí)AV=Xem,AWN底邊AN上的高為AB=3cm,

13

y=sMIN=-×AN×AB=-X,為一次函數(shù)，圖象為直線;

當(dāng)2≤x<3時(shí)，M、N分別在線段C0、AN,

此時(shí)⑷V=Λcm,AMN底邊4V上的高為。M=(9-3x)cm,

11329

y=Sλmn=~×AN×DM=-x(9-3x)-^x+^x,為二次函數(shù)，圖象為開口向下的拋物線;

結(jié)合選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)符合題意，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題；根據(jù)自變量不同的取值范圍得到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)

系式是解決本題的關(guān)鍵.

18.A

【分析】過點(diǎn)A向8C作AH，BC于點(diǎn)H,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF,進(jìn)而求

出函數(shù)關(guān)系式，由此即可求出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)A向8C作AH，BC于點(diǎn)”，

即EF3-x

63

解得：EF=2(3-x),

139

則△DEF的面積y=5x2(3-x)x=-x2+3x=-(x--)2+—,

故y關(guān)于X的函數(shù)圖象是一個(gè)開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(；3，：9)的拋物線.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與X的函數(shù)關(guān)系

式是解題的關(guān)鍵.

19.D

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于O知：2Λ-1≥0,可求出X的范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得：2x-l≥0,

解得χ<,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，函數(shù)自變量取值范圍，其中熟知被開方數(shù)

大于等于0是解題的關(guān)鍵.

20.A

【分析】根據(jù)［x］的定義可將函數(shù)進(jìn)行化簡，即可得解.

【詳解】解：由己知得：當(dāng)O≤x<l時(shí)，y=[χ]=O,

當(dāng)l≤x<2時(shí)，y=[χ]=l,

當(dāng)2≤X<3時(shí)，y=?x?=2,

當(dāng)-14x<O時(shí)，y=[x]=-l,

當(dāng)-2≤x<-l時(shí)，y=[x]=-2,

由以上可得B、C、D不符合題意，A選項(xiàng)符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是正確理解[x]的定義，然后對函數(shù)進(jìn)行化簡，

本題屬于中等題型.

21.A

【分析】根據(jù)面積的分段函數(shù)圖像，結(jié)合速度，求出線段8￡>、Az）的長度，從而求出A8,

根據(jù)三角形面積公式代入求值即可.

【詳解】解：結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動，根據(jù)圖2可知，BD=5,AD=9-5=4,

.?.BC=AD=A,

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

.*.EC=2,

在矩形ABCO中，ZA=90o,

由勾股定理可知，ΛB=3f

CD=AB=3；

."=9+3=12；

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)，y=-ECCD=^×2×3=3.

即α=3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合動點(diǎn)問題考查了三角形面積、勾股定理以及分段函數(shù)；根據(jù)分段函數(shù)、動

點(diǎn)問題求出線段長度是解題的關(guān)鍵.

22.C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和已知條件，判斷①②③④是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】由圖象可得，乙車的速度為35÷1=35（千米/時(shí)），故①正確；

甲車從開始最后回到A地用的時(shí)間為（280-35）÷35=7（小時(shí)），則甲車從C地返回A地的

速度為210÷τ=70(千米/時(shí))，故②正確；

由圖可得，/=2m10=3,故③正確；

若乙車行駛的時(shí)間是2時(shí)，則甲、乙兩車相距280-(35x2+70*1)=140(千米)，故④錯(cuò)誤;

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想找出所求問題需要的

條件.

23.B

【分析】由剩余的油量等于原來的油量減去耗油量，從而可得函數(shù)解析式.

【詳解】解：由題意可得：y=30-0.1x(0≤x<300),

即y=-0.lx+30(0≤x<300),

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是列函數(shù)關(guān)系式，掌握“剩余油量=原來油量-耗油量”是解本題的關(guān)鍵.

24.B

【分析】首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據(jù)實(shí)際情況：汽車行駛的路程y與行駛的時(shí)

間f之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得函數(shù)圖像分為三段：第一段由左向右呈下降趨勢，第二段與X軸平

行，第三段由左向右呈下降趨勢，且比第一段更陡，故選項(xiàng)B符合，

隨著時(shí)間的增多，汽車離劇場的距離越來越近，即離X軸越來越近，排除A、C、D；

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)分析得出函數(shù)的類型

和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論.

25.(1)2000,200

(2)y=-200x+9200(36≤x≤46)

(3)1或41

【分析】(1)根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出小明家與圖書館的距離，然后根據(jù)圖象中的

數(shù)據(jù)，即可計(jì)算出小明騎自行車的速度；

(2)先求出小明從圖書館回到家用的時(shí)間，然后即可得到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)，再設(shè)出函

數(shù)解析式，根據(jù)點(diǎn)(36,2000)和圖象與X軸的交點(diǎn)，即可計(jì)算出y與X的函數(shù)解析式；

(3)分兩種情況，分別求出X的值即可.

【詳解】(1)解：由圖象可得，小明家與圖書館的距離為2000m,

小明騎自行車的速度為：(2000-800)÷6=200(m∕min),

故答案為：2000,200；

(2)解：小明從圖書館回到家用的時(shí)間為：2000÷200=10(min),

36+10=46(min),

小明從圖書館返回家的過程中，設(shè)y與X的函數(shù)解析式為y=丘+?；?0),

???點(diǎn)(36,2000),(46,0)在該函數(shù)圖象上，

∫36?+?=2000

"[46k+b=0

解,得/A=9—2000，

即小明從圖書館返回家的過程中，y與X的函數(shù)解析式為：?=-200x+9200(36≤x≤46);

(3)解：當(dāng)小明從食堂去圖書館離家的距離為IOoOm時(shí)，

此時(shí)他距離食堂20Om,所用的時(shí)間X=200+200=1

小明從圖書館返回家的過程中，