高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第二次模擬考試（江蘇專用）數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，對于A選項(xiàng)，，A錯；對于B選項(xiàng)，，則，B錯；對于C選項(xiàng)，，C錯；對于D選項(xiàng)，，D對，故選：D.2．已知向量滿足，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2〖答案〗C〖解析〗，故選：C3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，若，則（

）A． B．2 C． D．4〖答案〗C〖解析〗對應(yīng)的點(diǎn)為，其中關(guān)于的對稱點(diǎn)為，故，故，故選：C4．如圖，是自行車前輪外邊沿上的一點(diǎn)，前輪半徑為，若單車向前直行時(shí)（車輪向前順時(shí)針滾動，無滑動），下列描述正確的是（

）

A．點(diǎn)在前輪的左下位置，距離地面約為B．點(diǎn)在前輪的右下位置，距離地面約為C．點(diǎn)在前輪的左上位置，距離地面約為D．點(diǎn)在前輪的右上位置，距離地面約為〖答案〗C〖解析〗自行車在向前直行的過程中，點(diǎn)在前輪上按照順時(shí)針的方向在旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，以前輪的圓心為原點(diǎn)，以向前的方向?yàn)榈恼较?，建立平面直角坐?biāo)系，以軸的正半軸為始邊，以射線的初始位置為終邊的角為則向前直行后，射線轉(zhuǎn)到圖中的位置，其中，

故點(diǎn)在前輪的左上位置，距離地面約為.故選：C.5．若隨機(jī)變量，，若，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，，解得，則，所以.故選：A.6．已知直線與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)（

）A．或2 B．或4 C． D．〖答案〗A〖解析〗的圓心，半徑，因?yàn)橹本€與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則圓心到直線的距離為，即，整理得，解得或，故選：A.7．已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，，∴，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，該圓內(nèi)含于橢圓，即，，，．故選：A．8．雙曲余弦函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)之一.定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，所以，所以不等式等價(jià)于，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榈膱D象連續(xù)不斷，所以在上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，得，所以不等式的解集為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題9．某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從800名職工中抽取了一個容量為80的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為5:3，下列說法正確的是（

）A．樣本為該單位的職工 B．每一位職工被抽中的可能性為C．該單位職工平均體重61千克 D．單位職工體重的方差為169〖答案〗BCD〖解析〗樣本為該單位抽取的80名職工的體重，A錯誤；每一位職工被抽中的可能性為，B正確；單位職工平均體重為，C正確；單位職工體重的方差為，D正確.故選：BCD10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗，，由于，所以，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤.，當(dāng)時(shí)，得，所以關(guān)于對稱，C選項(xiàng)正確，，當(dāng)時(shí)，得在上遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．在棱長為2的正方體中，與交于點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角為D．三棱錐的體積為〖答案〗ABD〖解析〗∵平面平面平面，A對；因?yàn)橛制矫?，平面，所以平面平面，B對；因?yàn)槠矫媾c平面所成角為因?yàn)?，C錯；因?yàn)?，D對.故選：.12．己知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．線段的中點(diǎn)到x軸的距離為2〖答案〗AC〖解析〗由拋物線，可得焦點(diǎn)，則直線過拋物線的焦點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得到，顯然，設(shè)，可得，對于A中，由拋物線的定義，可得，所以A正確；對于B中，由，所以與不垂直，所以B錯誤；對于C中，由，可得，由拋物線定義，可得，則，所以C正確；對于D中，線段的中點(diǎn)的到軸的距離為，所以D錯誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題13．若是奇函數(shù)，則.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以有，即，即，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，14．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則．〖答案〗〖解析〗由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．15．寫出一個同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式＝．①；②〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于①，所以，由于②，所以，所以符合題意.16．已知：若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則.又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式，則，.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，令，即，所以；又，所以，所以，所以所以四、解答題17．在①成等比數(shù)列，②，③這三個條件中任選兩個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足__________，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計(jì)分.解：(1)若選①②，設(shè)公差為，則，解得：，；選①③，設(shè)公差為，，解得：，；選②③，設(shè)公差為，，解得：，；(2)，.18．在中，的對邊分別為.(1)若，求的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)，求長度的取值范圍.解：(1)已知，由正弦定理可得，，，，，即，.(2)由(1)知，由，則.設(shè)，，，，.19．第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWorldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊(duì)通過扣人心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男生進(jìn)球的概率為，女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.解：(1)列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)(2)3人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為，的分布列如下：0123的數(shù)學(xué)期望.20．在三棱柱中中，為中點(diǎn)，平面平面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.(1)證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；(2)解：在平面內(nèi)過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，，，由，所以，所以，顯然平面的一個法向量可以為，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；21．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).(1)解：當(dāng)軸時(shí)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；(2)證明：方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn)，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)；方法二：設(shè)方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn).設(shè)以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).22．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意得，求導(dǎo)得，設(shè)，求