高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第一、二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，所以圍成的三角形的面積為．故選：C2.某地氣象局天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，則4次預(yù)報(bào)中恰有3次準(zhǔn)確的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，4次預(yù)報(bào)中恰有3次準(zhǔn)確的概率．故選：B.3.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，解得，則，，所以直線的斜率為．故選：D4.同一個(gè)宿舍的8名同學(xué)被邀請(qǐng)去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個(gè)人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）A.32種 B.128種 C.64種 D.256種〖答案〗C〖解析〗若甲、乙都去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．故選：C.5.某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（）參考數(shù)據(jù)：，，．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，，所以．故選：A6.如圖，在三棱柱中，M為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B. C.D.〖答案〗A〖解析〗連接，如下圖所示，因?yàn)?，，所以，所以．故選：A.7.小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，X的取值可能為，，，因?yàn)?，，，所以，故．故選：B.8.已知直線與圓心在x軸上的圓M相切，圓M與圓N：外切，則圓M的半徑為（）A.或 B.C. D.或〖答案〗D〖解析〗如圖，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為P，設(shè)圓M的半徑為r，直線的傾斜角為45°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，則有，即，解得；若點(diǎn)M（記為）在點(diǎn)N右側(cè)，垂直于，則，即，解得；所以的值為或，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A.該展開(kāi)式中共有6項(xiàng) B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1C.常數(shù)項(xiàng)為 D.只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，即有，所以，則該展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；令，得該展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，B正確；通項(xiàng)，令，得，，C錯(cuò)誤；二項(xiàng)式系數(shù)最大是，它是第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，D正確．故選：BD.10.某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法C.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D.若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，有種排法，故A正確；對(duì)于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；對(duì)于C，采用插空法，有種排法，故C正確；對(duì)于D，有種排法，故D錯(cuò)誤．故選：ABC11.如圖，在正方體中，P為的中點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，PQ與CD所成角余弦值為D.當(dāng)時(shí)，平面〖答案〗ABC〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，所以，，所以，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，又平面，平面，從而平面，B正確；當(dāng)時(shí)，，，所以PQ與CD所成角的余弦值為，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D錯(cuò)誤．故選：ABC.12.已知橢圓C：，直線與C交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A. B. C.3 D.4〖答案〗CD〖解析〗由，得．因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以消去得，解得．因?yàn)橹本€斜率存在為，所以，所以，顯然，解得．故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x/萬(wàn)元1.82.235銷(xiāo)售額y/萬(wàn)元t71416根據(jù)上表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為，則________．〖答案〗3〖解析〗依題意，得，，所以，解得.故〖答案〗為：3.14.在一個(gè)布袋中裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸取1個(gè)球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個(gè)數(shù)為X．若，則________，________．〖答案〗①1②〖解析〗由題意知．因?yàn)?，所以，解得，所以．故〖答案〗為：?15.有6道不同的數(shù)學(xué)題，其中有4道函數(shù)題，2道概率題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.在第一次抽到函數(shù)題的條件下，第二次還是抽到函數(shù)題的概率是________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件表示“第一次抽到函數(shù)題”，表示“第二次抽到函數(shù)題”，則，，所以.故〖答案〗為：.16.已知某人每次投籃的命中率為，投進(jìn)一球得1分，投不進(jìn)得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗由題意可知，X服從兩點(diǎn)分布，可得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.某高?！毒€性代數(shù)》課程的老師隨機(jī)調(diào)查了該課程學(xué)生的專(zhuān)業(yè)情況，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：?jiǎn)挝唬喝藬?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)總計(jì)男生ef120女生60g80總計(jì)160h200（1）求e，f，g，h的值，并估計(jì)男生中是非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的概率；（2）能否有90%的把握認(rèn)為選數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)？附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可知，，，，，故男生中是非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的概率.（2）由題意可知．又因?yàn)?，而且查表可得，由于，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為選數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)．18.已知直線，，圓，l過(guò)定點(diǎn)A，l與圓C相交于點(diǎn)M，N，且________．從①；②為等邊三角形；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入題中的橫線上，并解答問(wèn)題．（1）求k的值；（2）求的面積．解：（1）選①：直線l：過(guò)定點(diǎn)，圓，圓心為，因?yàn)?，所以軸，設(shè)，則，解得或，所以直線l的斜率或；選②：直線l：過(guò)定點(diǎn)，圓，圓心為，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以圓心C到直線l的距離，所以，解得；選③：直線l：過(guò)定點(diǎn)，圓，圓心為，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)A到弦MN的中點(diǎn)的距離為，此時(shí)，所以，所以直線l的傾斜角為或，則；（2）由，即直線為，聯(lián)立方程組，消去x得，整理得，解得或，不妨設(shè)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，則軸，，所以.19.已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．（1）若線段AB的中點(diǎn)為，求l的斜率；（2）證明：以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．解：（1）當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，直線與拋物線C有一個(gè)交點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，故斜率不為.設(shè)直線l的方程為，，．聯(lián)立，消去x，得，所以，．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，解得，因?yàn)橹本€l的方程為，所以l的斜率為2．（2）由（1）知，，，，所以．由，得，所以，所以，故，故以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．20.為了推動(dòng)足球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某足球比賽允許不同俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員參加．現(xiàn)有來(lái)自甲俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員4名，其中知名選手2名；乙俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員5名，其中知名選手3名．從這9名運(yùn)動(dòng)員選擇5名參加比賽．（1）求選出的5人中恰有2人是知名選手，且這2名知名選手來(lái)自同一俱樂(lè)部的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量X為選出的5人中知名選手的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)“選出的5人中恰有2人是知名選手且這2名知名選手來(lái)自同一俱樂(lè)部”為事件A，則；（2）由題意可知，X的取值可能為1，2，3，4，5．，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X12345P.21.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面．（1）證明：．（2）棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角余弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）如圖所示：連接，因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，可得，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得，由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即，故棱上存在一點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.22.已知雙曲線C：（，）右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與C的一條漸近線垂直，垂足為N，且．（1）求C的方程．（2）過(guò)點(diǎn)的直線交C于，兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交y軸于點(diǎn)G，H，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得？若存在，