高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省百師聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期開年摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（全國卷）（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，即，解得，所以，由，可得，解得，所以，所以.故選：B2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.3.在某知識(shí)競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，10位選手的得分情況如下表：得分678910人數(shù)12421則這10位選手得分的方差為（）A.12 B.8 C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，所以方差.故選：D4.實(shí)數(shù)滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗可行域表示的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故選：A.5.若雙曲線的實(shí)軸長為2，離心率為，則雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知得，解得，則雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線，故雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A.6.已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長為，故梯形的高為，則該圓臺(tái)的體積為.故選：D.7.已知實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又為減函數(shù)，所以，即，又，故，所以，故選：D.8.若能被整除，則正整數(shù)的最小值為（）A.53 B.54 C.55 D.56〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋渲校?，因?yàn)槟鼙徽瑒t只需能被整除，所以的最小值為.故選：C9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在處取得極大值，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，其向左平移個(gè)單位長度得，又若在處取得極大值，則，則，解得，又，所以的最小值為.故選：C.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,當(dāng)時(shí),有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，，則，所以.故選：B.11.在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)椋詾殇J角，所以，所以.故選：A12.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù),且對,都有,定義在上的函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則以下結(jié)論一定正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C. D.為偶函數(shù)〖答案〗D〖解析〗對于選項(xiàng)A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則有，故為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，又，故，即函?shù)周期為4，則，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，即，?因?yàn)椋?，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知，，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.二、填空題13.已知單位向量滿足，則_______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閱挝幌蛄繚M足，兩邊平方得，又，所以，故〖答案〗為：.14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的值為2，則輸出的的值為_______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)輸入的值為2時(shí)，第一次執(zhí)行，第二次執(zhí)行，滿足，退出循環(huán)，則，輸出的值為.故〖答案〗為：15.已知，若，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗將視為的函數(shù)，故，其中，，所以當(dāng)時(shí)的最大值為1，設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故〖答案〗為：.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相切于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則向量與的夾角為_______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，設(shè)，由可得，則，所以直線的斜率，則直線的方程為，令，解得，所以，所以，，解得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，則，所以向量與的夾角為，同理當(dāng)時(shí)向量與的夾角也為，故向量與的夾角為.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17已知數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，解得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因，所以，所以，設(shè)，，則，所以，整理得，同理可得，所以.18.如圖，在三棱臺(tái)中，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、、，因?yàn)?，所以，又，，，所以，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，又，所?（2）解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，連接，由（1）平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，由，，可得，，，，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，所以、、三條直線兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎(jiǎng)區(qū)印有從10個(gè)數(shù)字1，2，3，…，10中隨機(jī)抽取的3個(gè)不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)規(guī)則為：若3個(gè)數(shù)的積為3的倍數(shù)且不為5的倍數(shù)時(shí)，中三等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中二等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時(shí)，中一等獎(jiǎng)；其他情況不中獎(jiǎng).（1）隨機(jī)抽取一張彩票，求這張彩票中獎(jiǎng)的概率；（2）假設(shè)每張彩票售價(jià)為元，且獲得三、二、一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分別為5元，10元，50元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．解：（1）若獲得三等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①、、；②、、中出現(xiàn)個(gè)，、、、、五個(gè)中出現(xiàn)個(gè)；③、中出現(xiàn)個(gè)，、中出現(xiàn)個(gè)，還有一個(gè)；④、、；⑤、、中出現(xiàn)個(gè)，、、、四個(gè)中出現(xiàn)個(gè)；則獲得三等獎(jiǎng)的概率，若獲得二等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①、中出現(xiàn)個(gè)，、、、、五個(gè)中出現(xiàn)個(gè)；②、中出現(xiàn)個(gè)，、、、、五個(gè)中出現(xiàn)個(gè)；則獲得二等獎(jiǎng)的概率，若獲得一等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①一個(gè)，、中出現(xiàn)個(gè)，、中出現(xiàn)個(gè)；②一個(gè)，一個(gè)，、、、四個(gè)中出現(xiàn)個(gè)；則獲得一等獎(jiǎng)的概率，所以隨機(jī)抽取一張彩票，則這張彩票中獎(jiǎng)的概率.（2）一張彩票的獎(jiǎng)金的取值可能為、、、元，其分布列為：所以，所以若盈利，則，又，所以的最小值為.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），面積的最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，記的斜率分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由已知得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)斜率為零時(shí)，，設(shè)，則，解得，此時(shí)，當(dāng)斜率不為零時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，則，，因?yàn)?，所以得得所以，，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.21.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若直線與曲線相切，試判斷函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，設(shè)切點(diǎn)為，則，易知，所以，又，即，即，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以，所以，則，令，即，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，所以，所以方程無實(shí)根，所以函數(shù)與的圖象無交點(diǎn).（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若為曲線上到直線的距離最小的點(diǎn)，求點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．解：（1）對于直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)得，即直線的普通方程為；對于曲線的極坐標(biāo)方程為，利用變形得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，消去得令得或，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為曲線上到直線的距離最小的點(diǎn)，解方程得，此時(shí)即點(diǎn)