PAGEPAGE2高中數(shù)學(人教A版)必修4同步試題1．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－bA．0 B．2eq\r(2)C．4 D．8解析|2a－b|2＝4a2－4a·b＋∴|2a－b|＝2eq\r(2).答案B2．已知|a|＝6，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則a·b等于()A．6＋eq\r(3) B．6－eq\r(3)C．6 D．7解析a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.答案C3．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，則向量a與b的夾角為()A．30° B．60°C．150° D．120°解析cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,2×4)＝－eq\f(1,2)，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故選D.答案D4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為eq\f(3,2)，則a·b＝()A．3 B.eq\f(9,2)C．2 D.eq\f(1,2)解析由題意，得|a|cos〈a，b〉＝eq\f(3,2)，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).答案B5．若非零向量a與b的夾角為eq\f(2π,3)，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，則向量a的模為()A．2 B．4C．6 D．12解析(a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b＝a2＋a·b－2b2＝－32，又a·b＝|a||b|coseq\f(2π,3)＝|a|×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2|a|，∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．答案A6．若平面向量a＝(－1,2)與b的夾角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，則b＝________.解析設b＝(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x，,x2＋y2＝45.))∴x2＝9.∴x＝±3，又a＝(－1,2)與b方向相反．∴b＝(3，－6)．答案(3，－6)7．設向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．若a與b的夾角為60°，則k＝________.解析由|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝eq\f(1,2)，∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.答案17．已知兩點A(2,3)，B(－4,5)，則與eq\o(AB,\s\up15(→))共線的單位向量是________．解析Aeq\o(B,\s\up15(→))＝(－6,2)，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(－62＋22)＝2eq\r(10)，∴與eq\o(AB,\s\up15(→))共線的單位向量為±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)，\f(\r(10),10))).答案(－eq\f(3\r(10),10)，eq\f(\r(10),10))或(eq\f(3\r(10),10)，－eq\f(\r(10),10))8．若向量a，b滿足|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，則向量a，b的夾角的大小為________．解析∵|a|＝eq\r(2)，a·(a＋b)＝1，∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.∴a·b＝－1.設a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×1)＝－eq\f(\r(2),2)，又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(3π,4).答案eq\f(3π,4)9．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，求a與b的夾角的取值范圍．解依題意，Δ＝|a|2－4a·b≥∴|a|2≥4a·b.設a與b的夾角為θcosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)≤eq\f(\f(1,4)|a|2,\f(1,2)|a|2)＝eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).即a與b的夾角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).10．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，求：(1)a與b的夾角；(2)a－b與a＋b的夾角的余弦值．解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，∴|a|2－|b|2＝eq\f(1,2).∵|a|＝1，∴|b|＝eq\r(|a|2－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).設a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1·\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝eq\f(1,2)，∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2).∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝eq\f(5,2)，∴|a＋b|＝eq\f(\r(10),2).設a－b與a＋b的夾角為α，則cosα＝eq\f(a－b·a＋b,|a－b||a＋b|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(5),5).教師備課資源1.設a，b，c是三個向量，以下命題中正確的有()①若a·b＝a·c，且a≠0，則b＝c；②若a·b＝0，則a＝0，或b＝0；③若a，b，c互不共線，則(a·b)c＝a(b·c)；④(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析①，②，③均錯，④正確．答案A2．△ABC中，eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))<0，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形答案C3．已知|a|＝4，|b|＝6，a與b的夾角為60°，則向量a在b方向上的投影是________，向量b在a方向上的投影是________．解析向量a在b方向上的投影是|a|cos60°＝4×eq\f(1,2)＝2，向量b在a方向上的投影是|b|cos60°＝6×eq\f(1,2)＝3.答案234．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，則|a＋b|＝________.解析由|a－b|＝2，得|a|2－2a·b＋|b|2又|a|＝1，|b|＝2，∴2a·b∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2∴|a＋b|＝eq\r(6).答案eq\r(6)5．已知a，b為兩個單位向量，則下面說法正確的是()A．a(chǎn)＝bB．如果a∥b，那么a＝bC．a(chǎn)·b＝1D．a(chǎn)2＝b2解析∵a與b是單位向量，∴|a|＝|b|，∴a2＝b2.答案D6．已知兩點A(2,3)，B(－4,5)，則與eq\o(AB,\s\up15(→))共線的單位向量是________．解析eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－6,2)，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(－62＋22)＝2eq\r(10)，∴與eq\o(AB,\s\up15(→))共線的單位向量為±eq\b\lc\(\rc\)(\