第四章因式分解3公式法素養(yǎng)集訓(xùn)2.與因式分解有關(guān)的常見應(yīng)用?

利用因式分解的結(jié)果求參數(shù)1.【2023·重慶南開中學(xué)期末】在x3＋5x2＋7x＋k中，若有一個因式為（x＋2），則k的值為（

A

）A.2B.－2C.6D.－6A12345678910點(diǎn)撥：設(shè)x3＋5x2＋7x＋k＝（x＋2）（x2＋mx＋n），

∵（x＋2）（x2＋mx＋n）＝x3＋mx2＋nx＋2x2＋2mx＋2n＝x3＋（m＋2）x2＋（n＋2m）x＋2n＝x3＋5x2＋7x＋k，∴m＋2＝5，n＋2m＝7，k＝2n，解得m＝3，n＝1，k＝2.123456789102.【2023·紹興一中期末】甲乙兩個同學(xué)分解因式x2＋ax＋b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x＋2）（x＋4），乙看錯了a，分解結(jié)果為（x＋1）（x＋9），則2a＋b＝_______

.點(diǎn)撥：∵分解因式x2＋ax＋b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x＋2）（x＋4）＝x2＋6x＋8，∴a＝6.21∵乙看錯了a，分解結(jié)果為（x＋1）（x＋9）＝x2＋10x＋9，∴b＝9，∴2a＋b＝12＋9＝21.12345678910?

利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡算

2123456789104.【2023·嘉興】觀察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…（1）寫出192－172的結(jié)果.解：（1）192－172＝8×9＝72；12345678910（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）.解：（2）（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n；（3）請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.解：（3）（2n＋1）2－（2n－1）2＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n＋1）＝4n×2＝8n.12345678910利用因式分解判斷三角形形狀5.若a，b，c是△ABC的三邊，且滿足b2＋bc－ba－ca＝0，a2＋ab－cb－ac＝0，則△ABC的形狀為（

D

）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形D12345678910又∵a、b、c是△ABC的三邊，∴b＋c≠0，a＋b≠0，∴b－a＝0，a－c＝0，∴b＝a，a＝c，∴a＝b＝c，∴該三角形是等邊三角形.點(diǎn)撥：∵b2＋bc－ba－ca＝0，a2＋ab－cb－ac＝0，∴（b＋c）（b－a）＝0，（a＋b）（a－c）＝0.123456789106.已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2＋b2－6a－8b＋25＋｜4－c｜＝0，請問△ABC是什么形狀的三角形？請說明理由.12345678910解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵a2＋b2－6a－8b＋25＋｜4－c｜＝0，∴（a2－6a＋9）＋（b2－8b＋16）＋｜4－c｜＝0，∴（a－3）2＋（b－4）2＋｜4－c｜＝0.∵（a－3）2≥0，（b－4）2≥0，｜4－c｜≥0，∴a－3＝0，b－4＝0，4－c＝0，∴a＝3，b＝4，c＝4.∴c＝b≠a.∴△ABC是等腰三角形.12345678910?

與因式分解有關(guān)的代數(shù)式求值7.已知x2＋x＝1，那么x4＋2x3－x2－2x＋2023的值為（

C

）A.2020B.2021C.2022D.2023點(diǎn)撥：∵x2＋x＝1，∴x4＋2x3－x2－2x＋2023＝x4＋x3＋x3－x2－2x＋2023＝x2（x2＋x）＋x3－x2－2x＋2023C12345678910＝x2＋x3－x2－2x＋2023＝x（x2＋x）－x2－2x＋2023＝x－x2－2x＋2023＝－x2－x＋2023＝－（x2＋x）＋2023＝－1＋2023＝2022.12345678910和配方法結(jié)合求最值8.閱讀材料：我們把多項式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式.如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.12345678910配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等.例如：分解因式x2＋2x－3＝（x2＋2x＋1）－4＝（x＋1）2－4＝（x＋1＋2）（x＋1－2）＝（x＋3）（x－1）；又例如：求代數(shù)式2x2＋4x－6的最小值：2x2＋4x－6＝2（x2＋2x－3）＝2（x＋1）2－8，∵（x＋1）2≥0，∴當(dāng)x＝－1時，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8.12345678910根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：（1）分解因式：a2－4a－5＝___________________

_____.點(diǎn)撥：原式＝a2－4a＋4－9＝（a－2）2－9＝（a－2＋3）（a－2－3）＝（a＋1）（a－5）.（a＋1）（a－5）12345678910解：（2）∵a2－4a＋b2－12b＋40＝0，∴（a2－4a＋4）＋（b2－12b＋36）＝0，∴（a－2）2＋（b－6）2＝0，∴a－2＝0，b－6＝0，∴a＝2，b＝6.∵a，b，c是△ABC的三邊長，∴4＜c＜8.又∵c是正整數(shù)，∴c可以取5，6，7，∴邊長c的最小值是5.（2）已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2－4a＋b2－12b＋40＝0，求邊長c的最小值.12345678910（3）當(dāng)x，y為何值時，多項式－x2＋2xy－2y2＋6y＋7有最大值？并求出這個最大值.解：（3）－x2＋2xy－2y2＋6y＋7＝－（x2－2xy＋y2）－（y2－6y＋9）＋9＋7＝－（x－y）2－（y－3）2＋16，∵（x－y）2≥0，（y－3）2≥0，∴－（x－y）2－（y－3）2＋16≤16，∴當(dāng)x－y＝0，y－3＝0時，即x＝y(tǒng)＝3時，－x2＋2xy－2y2＋6y＋7取得最大值為16.12345678910?

因式分解的實(shí)際問題結(jié)合的應(yīng)用9.生活中我們經(jīng)常用到密碼，如手機(jī)解鎖.為方便記憶，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，其原理是：將一個多項式分解成多個因式，如多項式x4－1因式分解后的結(jié)果是（x2＋1）（x＋1）（x－1），當(dāng)取x＝10時，各個因式的值是：x2＋1＝101，x＋1＝11，x－1＝9.于是就可以把“101119”作為一個六位數(shù)的密碼.類似地，對于多項式x8－y8，當(dāng)取x＝3，y＝－2時，用上述方法可以產(chǎn)生的六位數(shù)的密碼為（

A

）AA.971315B.891315C.971015D.13971512345678910?

因式分解在新定義問題中的應(yīng)用10.【2023·泉州洛江區(qū)期中】閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于－1，記為i2＝－1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位.那么形如a＋bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫做這個復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似.例如計算：（2＋i）＋（3－4i）＝5－3i.12345678910（1）填空：i3＝_______

?，2i4＝_______?.點(diǎn)撥：∵i2＝－1，∴i3＝i2·i＝－1·i＝－i，2i4＝2i2·i2＝2×（－1）×（－1）＝2.－i212345678910（2）計算：①（2＋i）（2－i）；②（2＋i）2.解：（2）①（2＋i）（2－i）＝－i2＋4＝1＋4＝5；②（2＋i）2＝i2＋4i＋4＝－1＋4i＋4＝3＋4i；12345678910（3）若兩個復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x＋3y）＋3i＝（1－x）－yi（x