2023-2024學(xué)年皖豫聯(lián)盟體數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率］（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫V（單位：℃）

存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測(cè)人員根據(jù)如表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了y關(guān)于X的線性回歸方程y=0.25%+左，則

下列說(shuō)法不正確的是。

X（次數(shù)/分鐘）2030405060

y（℃）2527.52932.536

A"的值是20

B.變量x,V呈正相關(guān)關(guān)系

C.若X的值增加1,則y的值約增加0.25

D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃

2.在等差數(shù)列｛叫中，/+。8+%3=9,S“表示數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，貝?。﹥?（）

A.43B.44

C.45D.46

22

3.已知橢圓工+斗=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、工，點(diǎn)P在橢圓上，若忸制=6,則△尸石耳的面積為（）

251611

A.8B.8V2

C.16D.16V2

4.直三棱柱A3C—431G中，AA3C為等邊三角形，AAi=AB,M是小0的中點(diǎn)，則AM與平面5CG4所成角的

正弦值為（）

7RV15

A.—15.--------

1010

「底

----D

10-f

5.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線f=4y

的焦點(diǎn)為尸，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)M(L2)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)3射出,

則經(jīng)點(diǎn)5反射后的反射光線必過(guò)點(diǎn)()

A.(-l,2)B.(-2,4)

C.(-3,6)D.(-4,8)

6.函數(shù)/(x)=lnx-x在(0,e］上的最大值為()

A.-1B.1

C.0D.e

7.函數(shù)/(x)=e*+l在［-LU的最大值是()

A.eB.—c+1

C.e+1D.e-1

8.方程(尤2+2^—4)、&=0表示的曲線是。

A.一個(gè)橢圓和一個(gè)點(diǎn)B.一個(gè)雙曲線的右支和一條直線

C.一個(gè)橢圓一部分和一條直線D.一個(gè)橢圓

22

9.已知直線/：丁=6(尤+。)過(guò)橢圓=+與=1(。〉5〉0)的左焦點(diǎn)廠，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,0為線段

ab

PF的中點(diǎn)，若:,則橢圓的離心率為()

A9T

B.V3-1

2

「也1

L?----D..

22

3°

10-已知拋物線則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為。

A?fn皿3)B?1(而3QJ

c[?0)D.[o]

1

11.等比數(shù)列｛%｝中，q+%—Lg+%——8,貝！1-()

1

A.-8B.-4

C.2D.4

12.已知等比數(shù)列｛昕｝的前〃項(xiàng)和為S,若。2。3=2。1，且。2+。4=1。，則§3等于（）

A.28B.26

C.28或-12D.26或-10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢

2

圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓C:二+y=l（a〉心＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（四,1），

ab2

b

則當(dāng)e+—取得最大值時(shí)，橢圓的面積為

a

14.直線/：4龍-3y+12=0與兩坐標(biāo)軸相交于A,B兩點(diǎn),則線段A3的垂直平分線的方程為.

15.函數(shù)/'（%）=6*852兀的導(dǎo)函數(shù)/'（￡）=.

16.某甲、乙兩人練習(xí)跳繩，每人練習(xí)10組，每組不間斷跳繩計(jì)數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結(jié)論中所有正確的序號(hào)是

①甲比乙的極差大；

②乙的中位數(shù)是18；

③甲的平均數(shù)比乙的大；

④乙的眾數(shù)是21.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）某情報(bào)站有4B、C、D、E.五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末

使用的四種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種.設(shè)第一周使用A密碼，號(hào)表示第上周使用A密碼的概率

⑴求當(dāng)2，月,巴；

（2）求證：g］為等比數(shù)列，并求人的表達(dá)式

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，點(diǎn)Ag,l在拋物線C：y2=2°x上

(1)求P的值;

(2)若直線/與拋物線C交于P(X"J,。(九2,%)兩點(diǎn)，乂為＜°，且OP-OQ=3,求聞+2國(guó)的最小值

19.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S,=2/+〃，九e可*,數(shù)列出｝滿足??=4log,bn+3,n^N\

⑴求a“和4的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列的前n項(xiàng)和T“.

20.(12分)已知圓O：必+丁=1與圓。(％-3)2+/=相

(1)在①加=3,②加=4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答

若,判斷這兩個(gè)圓位置關(guān)系；

(2)若加=5,求直線x+y-1=0被圓C截得的弦長(zhǎng)

注：若第(1)問(wèn)選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)作答計(jì)分

21.(12分)已知橢圓。的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于：，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線/=4百y的焦

點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線犬=夜與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，A、3是橢圓上位于直線x=夜兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線A3的斜率為

求四邊形APBQ面積的最大值.

22.(10分)已知等差數(shù)列｛4｝前"項(xiàng)和為S,,%=4,§5=30,若S“N8”+X對(duì)任意的正整數(shù)“成立，求實(shí)

數(shù)X的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】根據(jù)樣本中心過(guò)經(jīng)過(guò)線性回歸方程、正相關(guān)的性質(zhì)和線性回歸方程的意義進(jìn)行判斷即可.

-1

【詳解】由題意，得x=w(20+30+40+50+60)=40,

—1

y=-(25+27.5+29+32.5+36)=30,

則上=7—0.257=30—0.25x40=20,故A正確；

由線性回歸方程可知，b=0,25>0-變量%，丁呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；

若X的值增加1,則y的值約增加0.25,故C正確；

當(dāng)％=52時(shí)，>=0.25x52+20=33,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

2、C

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得小=3,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列｛““｝中，滿足。3+%+%3=9,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得3g=9,所以為=3,則兒%)="下=45.

故選：C.

3^B

【解析】求出|尸月可知鳥(niǎo)為等腰三角形，取夕鳥(niǎo)的中點(diǎn)“，可得出”￡，「耳，利用勾股定理求得|能利|,

利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.

22

【詳解】在橢圓會(huì)+春=1中，a=5,6=4,則0="2_廿=3,所以，閨耳|=2c=6,

由橢圓的定義可得儼閭=2a-|P4|=4,

取P8的中點(diǎn)河，因?yàn)閨必|=|甲訃則犯，尸月，

所以，

^APFIF2=1|P^|-|M^|=|X4X4A/2=8A/2.

故選：B.

4、B

【解析】取AC的中點(diǎn)D,以。為原點(diǎn)，3D,DC,DM所在直線分別為X軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即

可根據(jù)線面角的向量公式求出

【詳解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，3。,DCDM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AC=2,則4（0,-1,0）,〃（0,0,2）,川-君,0,0）小［—呼,一；,2

I22J

（吏31

所以AM=（0,1,2）,平面3CC4的一個(gè)法向量為〃=^,--,0

（22J

設(shè)AM與平面5CG片所成角為a，向量AM與〃所成的角為6，

IAM-nl:715

所以sina二Icos0\="j~~=]----=—7=—產(chǎn)-----,

11\AM[\n\V5XV310

即AM與平面BCC&I所成角的正弦值為正

10

故選：B

5、D

【解析】求出A、歹坐標(biāo)可得直線A戶的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出5,根據(jù)選項(xiàng)可得答案,

【詳解】把x=l代入k=4＞得y=；,所以F（0,l）

1-13

所以直線A廠的方程為14即丫=一一x+1,

y-1=———x4

0-1

y——x+1y=4、

與拋物線方程聯(lián)立.4解得__4,所以B(Tz,4),

x2=4y[x

因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確，

故選:D

6、A

【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值

11—V

【詳解】由/(x)=lnx—x,得f(x)=——1=一,

XX

當(dāng)0<%<1時(shí)，/(%)>0,當(dāng)1<X46,/(%)<0,

所以/'(乃在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,0上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，/'(x)取得最大值/⑴=In1—1=-1,

故選：A

7、C

【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)>=1是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=el+1也是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/(x)max=Al)=ei+l=e+l.

故選：C

8、C

22

【解析】由(必+2/—4)?=0可得，亍+q_=i(x20)或％=0,再由方程判斷所表示的曲線.

【詳解】由(丁+2/—4)?=0可得，/+2/_4=0或4=0,即=+§=1(x20)或x=0,則該方程表示

一個(gè)橢圓的一部分和一條直線.

故選：C

9、D

【解析】由直線/的傾斜角為60。，可得NPFM=60。，結(jié)合|。。|=C,可推得APFM是等邊三角形，可得2。=2c+2c,

計(jì)算可得離心率

22

【詳解】直線/：過(guò)橢圓二+當(dāng)=1(?！?〉0)的左焦點(diǎn)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為“，

ab

所以NPWVf=60。，

又。是府的中點(diǎn)，。是PR的中點(diǎn)，所以|。。|=3尸河|,

又|OQI=c,所以|PM|=2c,又|赦|=2c,所以小M是等邊三角形，

所以|PF|=2c,又p在橢圓上，所以|PM|+|PR|=2a=2c+2c,

c1

所以2〃=4c,所以離心率為￡=—=—,

a2

故選：D

10、D

【解析】將拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)形式后得到焦準(zhǔn)距P=:,可得結(jié)果.

3o442

【詳解】由丁二^/得/9=§＞，所以2〃=§,所以p二§,

所以拋物線x2=1y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題關(guān)鍵.

11、D

【解析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)特點(diǎn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】■+4=1,%+4=-8，

八包±%=—8,

%十%

:.q——2,

...^±^=42=4.

?5+?6

故選：D

12、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S即可.

【詳解】由a2a3=2%可得=2%,即q/=2,所以%=2,

又為+%=10，解得出=8,

a,11

所以上=了="2，即4=土一，

a242

當(dāng)4=5時(shí)，q=16,%=4,所以S3=28,

當(dāng)夕=—；時(shí)，a1=-16,%=-4,所以S3=T2,

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2后

b

【解析】利用基本不等式得出e+-取得最大值時(shí)的條件結(jié)合b2+c2=a2可知儲(chǔ)=2b2,

a

再利用點(diǎn)尸（、/5,1）在橢圓方程上，故可求得。、b的值，進(jìn)而求出橢圓的面積.

，當(dāng)且僅當(dāng)沙=。時(shí)取得最大值,

由〃+°2="可知儲(chǔ)=2尸,

?.?橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸.?.標(biāo)+，=1,解得a=2,b=y/2,

則橢圓的面積為S=71ab=2A/2TI?

故答案為：2?

14、6x+8y-7=0

【解析】由直線/的方程求出直線/的斜率以及A,5兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線段的垂直平分線的斜率以及線段A3

的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.

4

【詳解】由直線/：4x—3y+12=?？傻茫?耳％+4,

43

所以直線的斜率為二，所以線段的垂直平分線的斜率為-二，

34

令1=0可得y=4；令y=。可得％=—3；即A(0,4),3(—3,0),

所以線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為1一|,2)

3(3、

所以線段的垂直平分線的方程為y-2=-］元+3,

4\2)

整理得6x+8y—7=0.

故答案為：6x+8y-7=0.

15、QXcos2x—2eAsin2x

【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的乘法公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求解

【詳解】W=(e")cos2x+ex(cos2x)f=e'cos2x-2e'sin2x

故答案為：eTcos2x—2eTsin2x

16、①③④

【解析】根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的極差、中位數(shù)、均值、眾數(shù)再判斷

【詳解】由莖葉圖，甲的極差是37—8=29,乙的極差是23—9=14,甲極差大，①正確;

乙中位數(shù)是生歲=18.5,②錯(cuò)；

8+12+13+20+22+24+25+26+27+37

甲平均數(shù)是:

10

9+11+13+14+18+19+20+21+21+23

乙的平均數(shù)為:=16.9<21.4,③正確;

乙的眾數(shù)是21,④正確

故答案為：①③④

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

13

17、(1)《=1,P=0,8=—,P&=—

23416

(2)證明見(jiàn)解析，片

【解析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0,第三周使用A密碼的概率為!，以此類

4

推；

⑵根據(jù)題意可知第k+1周從剩下的四種密碼中隨機(jī)選用一種，恰好選到A密碼的概率為工，進(jìn)而可得

4

弓+1結(jié)合等比數(shù)列的定義可知-g1為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

113

《=1,P=O,P^=-,^=(l-/^)x-=—

2344V37416

【小問(wèn)2詳解】

第Z+1周使用A密碼，則第左周必不使用A密碼(概率為1-鳥(niǎo))，然后第左+1周從剩下的四種密碼中隨機(jī)選用一種，

恰好選到A密碼的概率為

4

故4+1=：。-4)，即4+i一「一：［久一

故］為等比數(shù)列且公比q=_：

18、(1)1(2)4>/3

【解析】(1)將點(diǎn)代入即可求解;

(2)利用向量數(shù)量積為3求出乂%=-6,再對(duì)式子變形后使用基本不等式進(jìn)行求解最小值.

【小問(wèn)1詳解】

將代入拋物線C:/=2px,解得：p=l.

【小問(wèn)2詳解】

°(工2，%)在拋物線C上，故卜

、%=2%

12

OPOQ=xix2+yxy2=-(yiy2)+yxy2=3,解得：％%=_6或2,

因?yàn)?%<0，所以%為=-6,即|外國(guó)=6,

故|%|+2|%|=。+2昆|22^^^^=46,

當(dāng)且僅當(dāng)亡=2|%|,即|%|=石時(shí)等號(hào)成立，

故+的最小值為4G.

1

19、(1)an=4n—l”N*；bn=2"-；(2)7；=(4〃—5)2"+5

【解析】（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式主要利用a求解，分情況求解后要驗(yàn)證〃=1是否滿足“22

n2)

的通項(xiàng)公式，將求得的｛q｝代入=41og2bn+3,整理即可得到勾的通項(xiàng)公式；(2)整理數(shù)列的通項(xiàng)公式得

anbn=(4〃-依據(jù)特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求和

試題解析：(1)；Sa=2”2+〃,〃eN",.,.當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=3.

22

當(dāng)“22時(shí)，ai,=Sll-Sn_l=2n+n-[2(n-l)+(n-V)]=4n-l.

=1時(shí)，％=3滿足上式，=4〃一1,“eN*.

又...4=4題2々+3,“€^,...4〃-1=41082年+3,解得：2=2。

故4=4〃—1,,b“=2"i,〃cN*.

(2)???。―，b,,=2"T,neN*

n2_1

：.Tn=a1bl+a2b2++a也=3x20+7x21++(4/i-5)x2-+(4/i-1)x2"@

27；=3x1+7x2?++(4〃-5)X2"T+(4〃-1)x2"②

由①-②得：一1=3+4x21+4x2?++4x2"T—(4"—l)x2"

2Q-2%

=3+4x-(4n-l)x2"=(5-4n)x2"-5

1-2

??.7；=(?5)x2"+5,neN*.

考點(diǎn)：1.數(shù)列通項(xiàng)公式求解；2.錯(cuò)位相減法求和

【方法點(diǎn)睛】求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式主要利用q=d，%=S“-邑_1("22)分情況求解后，驗(yàn)證見(jiàn)的值是否滿足

%='-邑_1(〃22)關(guān)系式，解決非等差等比數(shù)列求和問(wèn)題，主要有兩種思路：其一，轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列

設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解(即分組求和)或錯(cuò)位相減來(lái)完成，其二，不能轉(zhuǎn)化為

等差等比數(shù)列的，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法，倒序相加法來(lái)求和，本題中根據(jù)特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求

和

20、(1)選①:外離；選②：相切；

⑵2布

【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；

⑵根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計(jì)算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系求解.

【小問(wèn)1詳解】

選①

圓。的圓心為。(0,0),半徑為1；

圓C圓心為。(3,0),半徑為代

因?yàn)閮蓤A的圓心距為

且兩圓的半徑之和為1+Q<3,所以兩圓外離

選②

圓。的圓心為0(0,0),半徑為L(zhǎng)圓C的圓心為。(3,0),半徑為2

因?yàn)閮蓤A的圓心距為=3.且兩圓的半徑之和為1+2=3,

所以兩圓外切

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)C到直線x+y—1=。的距離

所以直線x+y-1=。被圓C截得的弦長(zhǎng)為2廊彳=2退

22

21、⑴土+乙=1

43

⑵3亞

【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點(diǎn)的關(guān)系，可以求出橢圓方程;

（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形AP5Q的面積，即是要利用韋達(dá)定理算出卜-

【小問(wèn)1詳解】

1g.C11

由題意e=—=—9即。=—u；

a22

拋物線d=46y,焦點(diǎn)為（0,6）,故b=?c=l,a=2,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

由題意作圖如下：

設(shè)A5直線的方程為：y=^x+m9并設(shè)點(diǎn)A（冷乂）,5（%,%），尸（4力3），。（代力

1

y-

―2

22

聯(lián)立方程：\