專題07立體幾何中的推理證明問題——立體幾何是高考考查邏輯推理的重要知識點數(shù)學(xué)抽象要求能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊含的思想.對于新的數(shù)學(xué)問題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題.對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題，并會用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言表達論證過程.能夠理解建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的公理化思想.立體幾何是高中數(shù)學(xué)考查邏輯推理的重要載體,高考通常通過立體幾何中的線面位置關(guān)系的證明來考查邏輯推理.1．【2019全國Ⅰ理18】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【解析】（1）連結(jié)B1C，ME．因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因為N為A1D的中點，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則，A1(2,0,4)，，，，，，．設(shè)為平面A1MA的法向量，則，所以可?。O(shè)為平面A1MN的法向量，則所以可取．于是，所以二面角的正弦值為．【素養(yǎng)解讀】本題考查線面平行的證明及二面角的計算，線面平行的證明的關(guān)鍵是借助平面幾何知識證明平行，二面角則借助空間向量來求，體現(xiàn)了邏輯推理及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。2.【2019全國II文17】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故.又，所以BE⊥平面.（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足為F，則EF⊥平面，且.所以，四棱錐的體積.已知是定義域為的奇函數(shù),滿足．若,則（）【素養(yǎng)解讀】本題考查線面垂直的證明及幾何體體積的計算，證明線面垂直關(guān)鍵是線線垂直于線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了邏輯推理及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。一、空間中的平行問題(1)證明線線平行，可以運用平行公理、中位線定理，也可以證明包含這兩邊的四邊形是平行四邊形，或者運用線面平行的性質(zhì)定理來證明；將展開圖還原成正方體，借助正方體模型，有利于我們看清問題．(2)要證明直線和平面平行，通常有兩種方法：(1)利用線面平行的判定定理，只要在平面內(nèi)找到一條直線與已知平面外直線平行即可；(2)由面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任何一條直線和另外一個平面平行．第(1)種方法是常用方法，一般需要連接特殊點、畫輔助線，再證明線線平行，從而得到線面平行．第(2)種方法常用于非特殊位置的情形．(3)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．(4)面面平行的性質(zhì)定理：①兩平面平行，則一個平面內(nèi)的直線平行于另一平面；②若一平面與兩平行平面相交，則交線平行．(5)利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時需要說明是一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行．【典例1】【2020屆河南省八市重點高中聯(lián)盟高三9月“領(lǐng)軍考試”】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形,平面，，為的中點.（1）求證，平面；（2）若，求三棱錐的體積.【解析】本題考查了線面平行的證明及幾何體體積的計算，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).（1）證明：取的中點，連接.連接，交于點，連接交于點，連接.因為為的中點，是的中點，所以.又，所以為的中點，所以為的中點，又為的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為.由余弦定理得，所以，所以.因為平面，所以，所以，所以平面.因為四邊形是平行四邊形所以DC為三棱錐D-SAC的高因為，所以,即三棱錐的體積為.【典例2】【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三4月考試】已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點且平面.求證:（1）；（2）.【證明】本題考查了線線平行的證明及線線垂直的證明，體現(xiàn)了邏輯推理核心素養(yǎng).（1）因為平面，平面平面,平面，所以有,同理可證出,根據(jù)平行公理，可得；（2）因為，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.二、空間中的垂直問題1．判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義；(2)如果直線a∥b，a⊥c，則b⊥c；(3)如果直線a⊥面α，c?α，則a⊥c；(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．2．證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a，b?α，a⊥c，b⊥c?c⊥α；(2)a∥b，a⊥α?b⊥α；(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝m，a?α，a⊥m?a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m?m⊥γ.3．證明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β；(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角；(3)如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面：α∥β，α⊥γ?β⊥γ.4．平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用當(dāng)兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等．【典例3】【2020屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】如圖甲，在直角梯形中，，，，過點作，垂足為，現(xiàn)將沿折疊，使得.取的中點，連接、、，如圖乙.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【解析】本題考查了線面垂直的證明及幾何體體積的計算，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).（1）在圖甲中，直角梯形中，，，，，則.折疊后，在圖乙中，，，又，平面.，平面；（2）由（1）知，，又，且，平面.為的中點，所以，三棱錐的高為，，易知四邊形是矩形，則，的面積為，因此，.【典例4】【2020屆安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明：平面平面；（2）若點為中點，求二面角的正弦值.【解析】本題考查了面面垂直的證明及二面角的計算，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).（1）是等邊三角形，，又，，，，為直角三角形，所以，取的中點，連接、，則，.設(shè)，則，又，，，又，平面，平面，因此，平面平面；（2）由題設(shè)及（1）可知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、，為的中點，則，，，.設(shè)平面的一個法向量為，由，得，得，令，則，，所以，平面的一個法向量為.同理可得，平面的一個法向量為，，所以，二面角的正弦值為.1.【2020屆福建省廈門雙十中學(xué)高三第一次月考】如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．（1）證明PA//平面BDE；（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（2）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．2.【2020屆年廣東省珠海市高三9月數(shù)學(xué)理】如圖，在直角梯形中，,點是中點，且,現(xiàn)將三角形沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.3．【甘肅省張掖市2019屆高三第三次診斷】如圖，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.4.【河北省衡水市第十三中學(xué)2019屆高三質(zhì)檢】已知在圖1所示的梯形中，，于點，且.將梯形沿對折，使平面平面，如圖2所示，連接，取的中點.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，試確定點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)，求三棱錐的體積.5．【江西省南昌市2018屆上學(xué)期高三摸底】如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．（1）求證：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABM的體積．6.【湖南省衡陽市第八中學(xué)2020屆高三上學(xué)期月考】如圖，在五面體中，側(cè)面是正方形，是等腰直角三角形，點是正方形對角線的交點，且.（1）證明：平面；（2）若側(cè)面與底面垂直，求五面體的體積.7．【河北省邢臺市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次摸底】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，為的中點，為等腰直角三角形，，，且.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.8．【江西省南昌市2020屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底】已知直三棱柱中，，，是的中點，是上一點，且.（1）證明：平面；（2）求二面角余弦值的大小.1.【解析】（1）證明：以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，設(shè)是平面BDE的一個法向量，則由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE；（2）由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一個法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一個法向量．設(shè)二面角B﹣DE﹣C的平面角為θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值為．（3）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假設(shè)棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，（0＜λ∠1），則=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此時PF=，即在棱PB上存在點F，PF=，使得PB⊥平面DEF．2.【解析】(1)證明:在平面中，為沿折起得到，平面，又平面平面平面(2)解:在平面中，由(1)知平面平面而平面故.由與平面所成的角為，得，為等腰直角三角形，,，又，得,，故為等邊三角形，取的中點,連結(jié),平面，以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，所在的直線軸所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖，則從而，設(shè)平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,則由得，令得，由得，令得，所以，設(shè)二面角的大小為，則為鈍角且，即二面角的余弦值為3.【解析】（1）由已知得，，又，∴.又∵，∴面，∵面，∴面面.（2）設(shè)到平面的距離為，由，得，則.設(shè)與平面所成角為，則，∴與平面所成角的正弦值為.4.【解析】（1）取的中點，連接，.因為，所以.因為平面平面，，平面平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.①因為，，所以，.因為，，所以，所以四邊形是平行四邊形.所以.②由①②，得平面.又平面，所以平面平面.（2）當(dāng)點為的中點時，平面.證明：連接，.由為線段的中點，為線段的中點，得.又平面，平面.所以平面.（3）因為，所以到平面的距離等于點到平面的距離.取的中點，連接，則，且.因為平面平面，，平面平面，所以平面，所以平面.所以.5．【解析】（1）證明：∵M,N分別為則MN∥PA.又∵MN?平面PAB，PA?平面∴MN∥平面PAB.在RtΔACD中，∠CAD=60°又∵∠BAC=60°，∴∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面又∵CN∩MN=N，∴平面CMN（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.由已知，AB=1，∠ABC=90°，∴三棱錐P-ABM的體積6.【解析】（1）取的中點，連接、，側(cè)面為正方形，且，為的中點，又為的中點，且，且，，所以，四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面；（2）取的中點，的中點，連接、、，四邊形為正方形，.平面平面，平面平面，平面，底面，易知，，，，為中點，，，平面，平面，，，、平面，平面.，平面，且，，因此，.7.【解析】（1）證明：因為為的中點，，所以，連接，設(shè)，因為四邊形為菱形，為的中點，，所以.又為等腰直角