2022年湖南省邵陽(yáng)市冷溪山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)曲線y=ax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計(jì)算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案選D．2.下列說(shuō)法正確的是 （）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．四邊形一定是平面圖形

C．梯形一定是平面圖形

D．平面和平面有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)參考答案：C略3.在同一坐標(biāo)系中，方程與的圖象大致是

參考答案：D略4.正方體中，E、F分別是棱AB，的中點(diǎn)，與所成的角是，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知命題p：，使；命題q：，都有．給出下列結(jié)論：①命題“”是真命題

②命題“”是真命題③命題“”是假命題

④命題“”是假命題其中正確的是（

）（A）②③

（B）②④

（C）③④

（D）①②③參考答案：B6.在△ABC中，點(diǎn)O是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若,則的最大值為

(

）A．

1

B．

C．

D．2參考答案：A7.設(shè)全集U={1,2,3,4}，則集合A={1,3}，則CUA=(A){1,4}

(B){2,4}

(C){3,4}

(D){2,3}參考答案：B8.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，∠APC=60°，則二面角A?PB?C的平面角的余弦值為

[

]A.

B.

C.

D.

參考答案：解析：如圖，在側(cè)面PAB內(nèi)，作AM⊥PB，垂足為M。連結(jié)CM、AC，則∠AMC為二面角A?PB?C的平面角。不妨設(shè)AB=2，則，斜高為，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得,選B.9.條件p：|x+1|＞2，條件q：x＞2，則￢p是￢q的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)題意，解|x+1|＞2可以求出p為真的解集，從而得到?p，由q可得?q為x≤2，進(jìn)而能夠判斷出?p是?q的真子集，由集合間的關(guān)系與充分條件的關(guān)系可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，|x+1|＞2?x＜﹣3或x＞1，則￢p：﹣3≤x≤1，又由題意，q：x＞2，則￢q為x≤2，所以￢p是￢q的充分不必要條件；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分、必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是利用補(bǔ)集的思想，并且根據(jù)充要條件的判斷可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系10.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)y的導(dǎo)函數(shù)y′，因?yàn)橐髥握{(diào)遞增區(qū)間，令y′＞0得到不等式求出x的范圍即可．【解答】解：令故答案為C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)的值是

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】利用指數(shù)冪的性質(zhì)，分式的分子、分母同時(shí)平方，然后求其次方的值．【解答】解：復(fù)數(shù)=故答案為：﹣112.若復(fù)數(shù)_______

參考答案：略13.用數(shù)學(xué)歸納法證明

（）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是

．參考答案：48014.已知實(shí)數(shù)x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，則x+2y的最小值等于．參考答案：﹣2﹣1【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】將x2+4y2﹣2x+8y+1=9化簡(jiǎn)為（x﹣1）2+4（y+1）2=4，利用換元法，令，通過(guò)三角函數(shù)的有界性，求出最小值即可．【解答】解：由題意：x2+4y2﹣2x+8y+1=0，化簡(jiǎn)為（x﹣1）2+4（y+1）2=4，令，θ∈[0，2π）．則：x=2cosθ+1，y=sinθ﹣1．所以：x+2y=2cosθ+1+2sinθ﹣2=2cosθ+2sinθ﹣1=2sin（）﹣1∵sin（）的最小值為﹣1，∴x+2y的最小值﹣2﹣1．故答案為：﹣2﹣1．15.某監(jiān)理公司有男工程師7名，女工程師3名，現(xiàn)要選2名男工程師和1名女工程師去3個(gè)不同的工地去監(jiān)督施工情況，不同的選派方案有

種．參考答案：378【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、在7名男工程師中選2名，3名女工程師中選1人，②、將選出的3人全排列，安排到3個(gè)不同的工地，求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、在7名男工程師中選2名，3名女工程師中選1人，有C72C31=63種選法，②、將選出的3人全排列，安排到3個(gè)不同的工地，有A33=6種情況，則不同的選派方案有63×6=378種；故答案為：378．16.若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_____

參考答案：或17.命題“若x=1，則x2=1”的逆命題是

．參考答案：若x2=1，則x=1【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)逆命題的定義，由已知中的原命題，可得答案．【解答】解：命題“若x=1，則x2=1”的逆命題是：“若x2=1，則x=1”，故答案為：若x2=1，則x=1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知曲線，直線過(guò)、兩點(diǎn)，原點(diǎn)到的距離是（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若，求直線m的方程.

參考答案：略19.下面是描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的過(guò)程的程序框圖，請(qǐng)問(wèn)虛線框內(nèi)是什么結(jié)構(gòu)？參考答案：虛線框內(nèi)是一個(gè)條件結(jié)構(gòu).20.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足．(1)求;(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式,并用數(shù)字歸納法證明．參考答案：(1)令,有,解得;令,有,解得或(舍去);令,有,解得或(舍去);故,(2)猜想,證明:①當(dāng)時(shí),,命題成立②假設(shè)時(shí),成立,則時(shí),,所以,,解得,即時(shí),命題成立．由①②知,時(shí),分析：本題主要考查的是數(shù)列的遞推公式以及用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的成立,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.(1)由題意,將分別代入計(jì)算即可求得;(2)檢驗(yàn)時(shí)等式成立,假設(shè)時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)等式也成立.21.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E為PC中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥平面PCB；（2）求點(diǎn)C到平面DEB的距離；（3）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出PD⊥BC，CD⊥BC，由此得到BC⊥平面PCD，從而能夠證明DE⊥平面PCB．（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BE于點(diǎn)M，平面DEB⊥平面PCB，從而得到線段CM的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到平面DEB的距離，由此能求出結(jié)果．（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值．【解答】（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD=CD，E是PC的中點(diǎn)，DE⊥PC，PC∩BC=C，∴DE⊥平面PCB．…（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BE于點(diǎn)M，由（1）知平面DEB⊥平面PCB，又平面DEB∩平面PCB=BE，∴CM⊥平面DEB，∴線段CM的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到平面DEB的距離，∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，∴PC=2，EC=，BC=2，∴BE=，∴CM=．…（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），∴，設(shè)平面BDE的法向量為，則，，∴，令z=1，得到y(tǒng)=﹣1，x=1，∴，又∵，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角E﹣BD﹣P的平面角為α，則cosα=|cos＜＞|=||=．∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值為．…22.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣bx2圖象上一點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中點(diǎn)為C（x0，0），求證：g（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)g′（x0）≠0．參考答案：【考點(diǎn)】57：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）只需要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可獲得兩個(gè)方程解得兩個(gè)未知數(shù)；（Ⅱ）先要利用導(dǎo)數(shù)研究好函數(shù)h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性及在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根通過(guò)數(shù)形結(jié)合易知m滿(mǎn)足的關(guān)系從而問(wèn)題獲得解答；（Ⅲ）用反證法現(xiàn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)方程根的形式，在通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而通過(guò)最值性找到矛盾即可獲得解答．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，則，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）是減函數(shù)，則