永昌縣第一高級中學(xué)202020211期中試卷高三數(shù)學(xué)(理科)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將班級填寫在答題卡上、準(zhǔn)考證號粘貼在答題卡上；2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效；一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，選出一個符合題目要求的選項.)1.已知集合，，則（）A．B．C．D．2.純虛數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B． C． D. 3.在直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A．B．C．D．4.的展開式中的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．30 5.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后與的圖象重合，則的最小值為（）A．B．C．D．6.若平面向量，滿足，，則向量與的夾角為（）A．B.C．D．7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A．B．C．D．8.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”，某大學(xué)派遣甲，乙，丙，丁，戊五位同學(xué)參加A,B,C三個貧困縣的調(diào)研工作，每個縣至少去1人，且甲，乙兩人約定去同一個貧困縣，則不同的派遣方案共有（）A．24B．36 C．48 D．649.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10.函數(shù)的圖像可能是（）11.已知是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且不等式恒成立，則（）A．B．C．D．12.已知雙曲線的右焦點為，過作直線的垂線，垂足為，且交雙曲線的左支于點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答卷紙相應(yīng)題號后面的空格內(nèi).）13.直線是曲線的一條切線，則實數(shù)_______.14.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_________．15.中，角的對邊分別是，已知，則周長的最大值為_________．16.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，，則此球的表面積等于_________．三、解答題：（本大題共6道小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.）17．（本題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若將函數(shù)圖像上每一點的橫坐標(biāo)都縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），然后把所得圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，求圖像的最小正周期和對稱中心.18．（本題滿分12分）2016年1月1日，我國實行全面二孩政策，同時也對婦幼保健工作提出了更高的要求．某城市實行網(wǎng)格化管理，該市婦聯(lián)在網(wǎng)格1與網(wǎng)格2兩個區(qū)域內(nèi)隨機(jī)抽取12個剛滿8個月的嬰兒的體重信息，體重分布數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示（單位：斤，2斤=1千克），體重不超過9.8千克的為合格．（1）從網(wǎng)格1與網(wǎng)格2分別隨機(jī)抽取2個嬰兒，求網(wǎng)格1至少有一個嬰兒體重合格且網(wǎng)格2至少有一個嬰兒體重合格的概率；（2）若從網(wǎng)格1與網(wǎng)格2內(nèi)12個嬰兒中隨機(jī)抽取2個，用表示網(wǎng)格2內(nèi)嬰兒的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（本題滿分12分）如圖所示的空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（本題滿分12分）已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，焦距為2eq\r(2)，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值．21．（本題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明不等式.22.（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為曲線上一點，為曲線上一點，求的最小值． 永昌一中2021屆高三試題理科數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（理科）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。）題號123456789101112答案ABCCDAABDDBB二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．.14．1215．．16．20π三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．（本小題滿分12分）【解析】：（Ⅰ），………2分由得，………4分當(dāng)時，；當(dāng)時，，…………………5分所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)都縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，…………7分將其向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，………………9分所以周期………………………10分由得，所以對稱中心為，.……………12分18．（本小題滿分12分）解（1）由莖葉圖知，網(wǎng)格1內(nèi)體重合格的嬰兒數(shù)為4，網(wǎng)格2內(nèi)體重合格的嬰兒數(shù)為2，則所求概率.（2）由題意知，的所有可能取值為0,1,2.∴，，，∴的分布列為∴.19．（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）證明：連接交于點，則設(shè)，的中點分別為，，連接，則∥，連接，，則∥且，所以∥，所以∥由于平面，所以所以，，所以平面所以平面平面（Ⅱ）解法一：∵∥，∴∥∴平面與平面所成的銳二面角即為平面與平面所成的銳二面角連接，∵平面，∴∴為平面與平面所成二面角的一個平面角∵，∴∴即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為解法二：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，依題意為平面的一個法向量，設(shè)為平面的一個法向量，則即令，則，所以設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為20．（本小題滿分12分）[解(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,2c＝2\r(2)，))解得a＝eq\r(3)，b＝1.所以橢圓M的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(3m,2)，x1x2＝eq\f(3m2－3,4).所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(2x2－x12)＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\f(12－3m2,2)).當(dāng)m＝0，即直線l過原點時，|AB|最大，最大值為eq\r(6).21．(本小題滿分12分)（1）函數(shù)的定義域是且……………（1分）當(dāng)時，，從而，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，若，則，從而；若，則，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.……………（4分）（2）由（1）可知，函數(shù)的極值點是，若，則.若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立.………………（6分）令，則，易知為函數(shù)在內(nèi)唯一的極小值點，也是最小值點，故，即=，故只要即可.所以b的取值范圍是.……………（8分）（3）由題意可知，要證不等式成立，只需證.構(gòu)造函