6．4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理[目標(biāo)]1.了解向量法推導(dǎo)余弦定理的過(guò)程；2.能利用余弦定理求三角形中的邊角問(wèn)題．[重點(diǎn)]能利用余弦定理求三角形中的邊角問(wèn)題．[難點(diǎn)]余弦定理的推導(dǎo)及能利用余弦定理求三角形中的邊角問(wèn)題．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一余弦定理[填一填][答一答]1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2<b2＋c2，能否說(shuō)△ABC分別是直角三角形，鈍角三角形，銳角三角形？提示：若a2＝b2＋c2，則△ABC是直角三角形；若a2>b2＋c2，則△ABC是鈍角三角形；若a2<b2＋c2，則△ABC不一定是銳角三角形，因?yàn)閍不一定是最大邊．2．勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系．你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？提示：余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．知識(shí)點(diǎn)二余弦定理及其推論的應(yīng)用[填一填]一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．余弦定理及其推論可解決兩類(lèi)基本的解三角形的問(wèn)題：一類(lèi)是已知兩邊及夾角解三角形；另一類(lèi)是已知三邊解三角形．[答一答]3．在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角，能否用余弦定理解該三角形？提示：能用余弦定理解．設(shè)另一邊為x，由余弦定理列出方程求解．4．余弦定理推論的作用有什么？提示：余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問(wèn)題．用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.典例講練破題型類(lèi)型一已知三角形三邊解三角形[例1]已知△ABC中，abc＝2eq\r(6)(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各內(nèi)角度數(shù)．[分析]根據(jù)三邊比例關(guān)系設(shè)出三邊，然后用余弦定理推論求出兩個(gè)內(nèi)角，再用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)內(nèi)角．[解]∵abc＝2eq\r(6)(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理的推論得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋\r(3)＋12－4,2×\r(6)×\r(3)＋1)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4＋\r(3)＋12－6,2×2×\r(3)＋1)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.已知三角形的三邊求三角時(shí)，一般利用余弦定理的推論先求出兩角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．利用余弦定理的推論求角時(shí)，應(yīng)注意余弦函數(shù)在(0，π)上是單調(diào)的．當(dāng)余弦值為正時(shí)，角為銳角；當(dāng)余弦值為負(fù)時(shí)，角為鈍角．[變式訓(xùn)練1](1)在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為(B)A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,12)(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為14.解析：(1)∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又∵C為銳角，∴C＝eq\f(π,6).(2)已知a－b＝4，則a>b且a＝b＋4.又a＋c＝2b，則b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，則b>c，從而知a>b>c，所以a為最大邊，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a類(lèi)型二已知三角形兩邊及一角解三角形[例2](1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq\r(3)，A＝30°，求a；(2)已知在△ABC中，A＝60°，最大邊和最小邊的長(zhǎng)是方程3x2－27x＋32＝0的兩實(shí)根，求邊BC的長(zhǎng)．[分析](1)已知兩邊及其夾角，可直接利用余弦定理求出第三條邊；(2)利用余弦定理、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．[解](1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2eq\r(3))2－2×3×2eq\r(3)cos30°＝3，所以a＝eq\r(3).(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，其中a＝BC，b＝AC，c＝AB.由方程根與系數(shù)關(guān)系，b·c＝eq\f(32,3)，b＋c＝9，∴a2＝81－eq\f(32,3)×2－2×eq\f(32,3)×eq\f(1,2)＝49，∴a＝7.∴BC＝7.已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對(duì)角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.[變式訓(xùn)練2]若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿(mǎn)足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(A)A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3)C．1 D.eq\f(2,3)解析：(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝4，又c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴3ab＝4，∴ab＝eq\f(4,3).類(lèi)型三判斷三角形的形狀[例3]在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sinC＝2cosAsinB，試判斷△ABC的形狀．[分析]判斷三角形的形狀時(shí)，一般有兩種思路：一種是考慮三角形的三邊關(guān)系；另一種是考慮三角形的內(nèi)角關(guān)系．當(dāng)然有時(shí)可將邊和角巧妙結(jié)合，同時(shí)考慮．[解]∵△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，又2cosAsinB＝sinC＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又∵－180°<A－B<180°，∴A－B＝0°.即A＝B.又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab.∴由余弦定理知2abcosC＝ab，∴cosC＝eq\f(1,2).∴C＝60°，∴△ABC為等邊三角形．利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題.一般有兩條思考路線(xiàn)：1先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.2先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.[變式訓(xùn)練3]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(1,3)，b＝3c，試判斷△ABC的形狀．解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.又因?yàn)閏osA＝eq\f(1,3)，b＝3c，所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×eq\f(1,3)＝b2－c2.所以a2＋c2＝b2，所以B＝eq\f(π,2)，所以△ABC是直角三角形.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，則c的值為(C)A．4 B．8C．4或8 D．無(wú)解解析：由3a＝eq\r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq\r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.2．在△ABC中，已知a＝2，則bcosC＋ccosB等于(C)A．1 B.eq\r(2)C．2 D．4解析：bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝2.3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若a＝2，B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，則b＝2.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝4，所以b＝2.4．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD為邊BC上的高，則AD的長(zhǎng)是eq\r(3).解析：由余弦定理得cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC)＝eq\f(\r(2),2)，∴C∈(0，eq\f(π,2))，∴sinC＝eq\f(\r(2),2)，∴AD＝AC·sinC＝eq\r(3).5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊c的長(zhǎng)．解：5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)·(x＋2)＝0.∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝eq\f(3,5).根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16.∴c＝4，即第三邊長(zhǎng)為4.——本課須掌握的四大問(wèn)題1．適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．2．結(jié)構(gòu)特征：“平方”、“夾角”、“余弦”．3．揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．4．主要功能：余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂余弦定理與方程思想的綜合開(kāi)講啦余弦定理中涉及三邊一角，未知量較多，題目所給條件往往不是一個(gè)，需要根據(jù)具體條件進(jìn)行整合，建立方程或方程組求解．[典例]如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，D為BC的中點(diǎn)，且AD＝eq\f(7,2)，求BC邊長(zhǎng)．[分析]此題所給已知條件只有邊長(zhǎng)，應(yīng)考慮在設(shè)BC邊為x后，建立關(guān)于x的方程．此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在建立方程時(shí)所發(fā)揮的作用．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以BD，DC可表示為eq\f(x,2)，然后利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程．[解]設(shè)BC邊為x，則BD＝DC＝eq\f(x,2).在△ADB中，cos∠ADB＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD×BD)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2－42,2×\f(7,2)×\f(x,2))，在△ADC中，cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD×DC)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2－72,2×\f(7,2)×\f(x,2)).∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴cos∠ADB＝cos(180°－∠ADC)＝－cos∠ADC，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2－42,2×\f(7,2)×\f(x,2))＝－eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2－72,2×\f(7,2)×\f(x,2)).解得x＝9.∴BC邊長(zhǎng)為9.[名師點(diǎn)評(píng)]解決此類(lèi)題應(yīng)注意利用余弦定理建立方程的功能，體會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)注意利用公共邊這一等量關(guān)系，這也是解三角形中經(jīng)常用到的等量關(guān)系．[針對(duì)訓(xùn)練]已知a，b