專題11直線和圓

一、單選題

1.（2023.福建?統(tǒng)考一模）雙曲線C:9--=1的下焦點(diǎn)為尸，過F的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，若過A,

8和點(diǎn)M（O,4）的圓的圓心在X軸上，則直線/的斜率為（）

B.±√2C.±1D.±-

【答案】B

【分析】根據(jù)題意設(shè)出直線48的方程，與曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出48的中點(diǎn)坐標(biāo)和弦長(zhǎng)48,然

后利用垂徑定理可得直線/的斜率.

【詳解】由題意可知：F（0,-2）,設(shè)/（如力）,8（如丫2），48的中點(diǎn)為2，過點(diǎn)4,8,"的圓的圓心坐標(biāo)為6（60）,

則IGMl=√t2+7=r,

由題意知：直線48的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為：y=kx-2,

（y=kx-2

聯(lián)立方程組V,,消元可得：（Y-3）/—4h+1=0,

―X=1

則1-3≠0,Δ=16∕C2-4（∕c2-3）=12k2+12>0,

由韋達(dá)定理可得：％1÷x=薩F%1%2=所以AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)孫==言IyP=kxp-2=-?-,

2K~jK,-JZK~~?SK~Λ

則P（TiJ，*），由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點(diǎn)連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以APG=孌二=

-

/￡”—3ΓCΛ?CtK

整理可得：￡=急(*),則圓心GsO)到直線AB的距離d=舒，

由弦長(zhǎng)公式可得：∣∣22XX2亙,

48=√1+kyj(x1+x2)^412=√1+?福

由垂徑定理可得：r2=d2+G∣48∣)2,

也即《2+7=華等+(1+爐)警察，將(*)代入可得：

l+fcz、'(fcz-3)2

64〃2?∑T-2)3(1+1)264—36/^+363(l+∕c2)2

222U|22,

(H-3)2十一l+k+(k-3)*(k-3)十一(H-3)2+(fc2-3)2

42

整理可得：k-5fc+6=0,則(1一2)(1-3)=0,因?yàn)楱Mc2-3κθ,

所以1一2=0,則k=±√∑

故選：B.

2.(2023.福建?統(tǒng)考一模)過拋物線=4x的焦點(diǎn)作直線/,/交C于M,N兩點(diǎn)，若線段MN中點(diǎn)的縱

坐標(biāo)為2,貝IJlMNl=()

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【分析】設(shè)直線MN的方程為％-1=my,聯(lián)立拋物線方程得?y?一4τny-4=0,利用韋達(dá)定理求出小值，

再利用弦長(zhǎng)公式即可.

【詳解】由拋物線方程知焦點(diǎn)坐標(biāo)為（L0）,

設(shè)直線MN的方程為％-1=myf聯(lián)立y?=4%得好一4my-4=0,

設(shè)Mal,%）,ΛZ（x2,y2）>則Vi+”=4m,y1y2=-4,

則在產(chǎn)=2m=2,解得m=1,

22

則IMNl=VTn2+1.Iy1—y2∣=y∕m2_|,?.J（%+先），-4%丫2=Vl÷1?√4+4x4=8,

故選：C.

3.（2023?山東荷澤統(tǒng)考一模）過拋物線Cy=4/焦點(diǎn)F作傾斜角為30。的直線交拋物線于48,則∣481=

（）

12

A.iB.-C.1D.16

33

【答案】A

【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出直線1的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理來(lái)求解.

【詳解】y=4/化為標(biāo)準(zhǔn)形式/=Iy由此知2p=（p=?;

設(shè)直線I的方程為：y=?%+多A（XI，%），8（%2，、2），根據(jù)拋物線定義知1力8|=%+%+P；

將x=√5（y-代入/=2py,可得12y2-20py+3p2=0,

205

%+'2=迎=/；

由此代入∣4B∣=yι+y+P=∣P+P=^P=^×?=∣?

2O??O?

故選：A

4.（2023?山東威海?統(tǒng)考一模）己知雙曲線C:捺一總=1（（1>0/>0）的左焦點(diǎn)為&,M為C上一點(diǎn)，M

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N,若NMFIN=60。，且IFINl=2∣FlMl,則C的漸近線方程為（）

A.y=+—XB.y=±V3xC.y=±—%D.y=±Vβx

【答案】D

【分析】由對(duì)稱性知四邊形MFlNF2為平行四邊形，可求得IFlMI,∣F2M∣及4尸1”尸2，在4MF∕2中，由余弦

定理建立a,b的關(guān)系，從而求得漸近線方程.

【詳解】如圖所示，不妨設(shè)M在左支，

由對(duì)稱性知四邊形MFlNF2為平行四邊形，

由IFINl=2∣F1M∣M∣F2M∣=2∣FM,

由雙曲線定義知：尸2"1-IaMl=2α,

所以IFlMl=2a,?F2M?=?F1N?=4a,

因?yàn)镹MFlN=60。，所以Z?F1MF2=120。

2

在AM尸中,由余弦定理得|京尸2/=IFlMI2+∣F2M∣-2∣F1M∣?∣F2M∣cosl20°,

UP4c2=4a2+16α2-2x2αx4αx(-g),

整理得C?=7α2,即α2+62=7α2,所以2=通，

a

則C的漸近線方程為y=±^x=±√6x.

故選：D

【點(diǎn)睛】求雙曲線的漸近線就是求α與b的關(guān)系，通過可通過幾何關(guān)系或代數(shù)式建立關(guān)于α,b,c的一個(gè)齊次

等式，求解L￡均可得到漸近線方程.幾何關(guān)系通過用到平面幾何中的有關(guān)知識(shí)建立關(guān)系，甚至平面向量、

aa

正弦定理、余弦定理都可以用來(lái)建立關(guān)系式.

5.(2023?湖南長(zhǎng)沙?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中,已知/(3,0),B(0,t)(t>0),若該平面中存在點(diǎn)P,

同時(shí)滿足兩個(gè)條件∣PZ∣2+2-。|2=12與IPol=√Σ∣PB∣,則t的取值范圍是()

A.(0,9一1)B.俘+L+8)

c?件T曰+1)d?(θ.y-l)∪(y+l.+∞)

【答案】D

【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),根據(jù)IP川2+2?PO?2=12,求出點(diǎn)P的軌跡方程,根據(jù)IPol=√Σ∣PB∣,可求出點(diǎn)P的另一

個(gè)軌跡方程,只需這兩個(gè)方程的曲線無(wú)交點(diǎn)即可,利用圓與圓的位置關(guān)系列出等式求出范圍即可.

【詳解】解:由題知,不妨設(shè)P(x,y),

因?yàn)楱OPA∣2+2?PO?2=12,

所以(%—3)2+y2+2(X2+y2)=12,

化簡(jiǎn)可得:(x-I)2+y2=2,

故點(diǎn)P在以(1,0)為圓心,企為半徑的圓上，

又因?yàn)镮POl=√2∣PB∣,

22

所以JX2+y2=√2?y∕x+(y-t),

化簡(jiǎn)可得:小+(y-2t)2=2t2,

即點(diǎn)P在以(0,2t)為圓心,√∑t為半徑的圓上，

故若存在點(diǎn)P,只需圓(X-I)2+y2=2與圓M+(y-2t)2=2t?有交點(diǎn)即可，

BP∣√2t-√2∣≤√12+(2t)2≤∣√2t+√2∣,

同時(shí)平方化簡(jiǎn)可得：1一4t≤2產(chǎn)≤1+4t,

嚼UI二:二解得欄T*W+L

所以不存在點(diǎn)P時(shí)，t>彳+1或0<t<9一L

故選:D

二、多選題

6.(2023?山東莉澤?統(tǒng)考一模)己知圓O:/+y2=%下列說法正確有()

A.對(duì)于VmeR,直線(2zn+l)x+(m+l)y-7m-4=0與圓。都有兩個(gè)公共點(diǎn)

B.圓0與動(dòng)圓C:(x-k)2+⑶—√3∕c)2=4有四條公切線的充要條件是網(wǎng)>2

C.過直線X+y-4=0上任意一點(diǎn)P作圓。的兩條切線PAPB(4,8為切點(diǎn))，則四邊形PAOB的面積的最

小值為4

D.圓。上存在三點(diǎn)到直線x+y-2=0距離均為1

【答案】BC

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,轉(zhuǎn)化為判斷直線恒過的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可：對(duì)于選項(xiàng)B,轉(zhuǎn)化為兩圓外離，

運(yùn)用幾何法求解即可；對(duì)于選項(xiàng)C,由Sp408=2SAOAP=2Ji而產(chǎn)4,轉(zhuǎn)化為求IOPl最小值即可；對(duì)于

選項(xiàng)D,設(shè)圓心到直線的距離為d,比較r-d與1的關(guān)系即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?2m+l)x+(m+l)y—7m-4=0,即：m(2x+y-7)+x+y-4=0>

所以二：所以直線恒過定點(diǎn)(3,1),

又因?yàn)?2+12>4,所以定點(diǎn)(3,1)在圓O外，

所以直線(2?n+l)x+(τn+l)y-7τn—4=0與圓O可能相交、相切、相離，即交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0個(gè)、1

個(gè)、2個(gè).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閳AO與動(dòng)圓C有4條公切線，所以圓O與圓C相離，

又因?yàn)閳AO的圓心0(0,0),半徑G=2,圓C的圓心C(k,bk),半徑萬(wàn)=2,

所以∣OC∣>+「2，即：Jk2+(√3k)2>4,解得：陽(yáng)>2.故選項(xiàng)B正確；

222

對(duì)于選項(xiàng)C,SPAOB=2SΔOΛP=2×∣×?OA?X?PA?=2×i×?OA?Xy∕?OP?-?0A?=2√∣OP∣-4,

又因?yàn)镺到P的距離的最小值為O到直線x+y—4=0的距離，即：|。PImin=詈=2√Σ

所以四邊形PAOB的面積的最小值為=4.故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閳AO的圓心O(0,0),半徑rl=2,則圓心O到直線x+y-2=0的距離為d=合=VL

所以rl-d=2-√5<1,所以圓O上存在兩點(diǎn)到直線％+y-2=0的距離為1.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

7.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)已知圓。:/+丫2-6》+8=0,點(diǎn)力(0,4),點(diǎn)。在圓(;上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則()

A.線段AP長(zhǎng)的最大值為6B.當(dāng)直線AP與圓C相切時(shí)，?AP?=2√6

C.以線段AP為直徑的圓不可能過原點(diǎn)。D.而?希的最大值為20

【答案】ABD

【分析】由定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離范圍可得A正確；根據(jù)切線長(zhǎng)公式即可求得IaPl=2傷，根據(jù)直徑所對(duì)圓

周角為直角可知，當(dāng)P在X軸上時(shí)以線段AP為直徑的圓過原點(diǎn)。；利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意可知。:(％-3)2+丫2=1的圓心以3,0),半徑r=l,如下圖所示：

易知IaPl<?AC?+ICPl=√32+42+1=6,當(dāng)且僅當(dāng)4、C、P三點(diǎn)共線(且C點(diǎn)在中間)時(shí)，等號(hào)成立,

即A正確；

22

當(dāng)直線AP與圓C相切時(shí)，由勾股定理可得MPl=yJ?AC?-?CP?=√25^T=2√6,所以B正確；

若以線段ZP為直徑的圓過原點(diǎn)。，由直徑所時(shí)圓周角為直角可得乙4。P=90。，

易知當(dāng)P在X軸上時(shí)，滿足題意；

所以以線段AP為直徑的圓可能過原點(diǎn)0,即C錯(cuò)誤；

設(shè)點(diǎn)P(Xo,%)，易知&e[2,4],y0C[-‰1]>

則配=(O,-4),IP=(x0,y0-4)

所以布?而=16-4yo≤16-4x(-l)=2O,即近?Q的最大值為20,即D正確：

故選：ABD

8.(2023?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)已知直線k2x-y—3=0,%：%-2y+3=0,圓C：(x-α)2+(y-6)2=

r2,若圓C與直線％%都相切，則下列選項(xiàng)一定正確的是()

A.匕與％關(guān)于直線y=χ對(duì)稱

B.若圓C的圓心在X軸上，則圓C的半徑為3或9

C.圓C的圓心在直線X+y-6=O或直線X—y=O上

D.與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,將線關(guān)于線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，利用點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的解決辦法及點(diǎn)在直線上即可

求解；

對(duì)于B,根據(jù)己知條件設(shè)出圓心，利用直線與圓的相切的條件及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；

對(duì)于C,利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心和半徑，利用直線與圓的相切的條件及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)

在直線上即可求解；

對(duì)于D,根據(jù)已知條件及選項(xiàng)C的結(jié)論，利用點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離公式及半徑的定義，結(jié)合點(diǎn)在直線上即可

求解.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)直線I1：2x-y-3=O上任意一點(diǎn)(XO,2%o-3)關(guān)于直線y=%對(duì)稱的點(diǎn)為(τn,n),則

(2-o-3-n_

m

nι^~n.7y/解得?n-2〃+3=0,所以點(diǎn)(m,n)在直線％：x-2y+3=0上，所以匕與%關(guān)于直線

TTI~ΓXQM十一?

2―2

y=%對(duì)稱，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閳AC的圓心在X軸上，設(shè)圓心為(α,0),因?yàn)閳AC與直線I1，Z都相切，所以r=需=甯，

解得α=O或α=6,當(dāng)α=O時(shí)，r=5=?；當(dāng)a=6時(shí)，r=看=等，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圓C：(x-α)2+(y-b)2=N,得圓心為(α,b),半徑為r,因?yàn)閳AC與直線小％都相切，所

以「_?α-g_3∣_∣∏-2fa+3∣^解得&-∣.e_e=O或?！猠,所以圓心(α,b)在直線X+y-6=O或直線X-y=O

上，故C正確；

對(duì)于D,由圓C：(x—α)2+(y-b)2=N,得圓心為(α,b),半徑為r,因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸都相切，得圓

心到X軸的距離為向,到y(tǒng)軸的距離為∣α∣,所以r=Ial且r=?b?,即Ial=?b?,解得α=b或α=-b,當(dāng)a=b

時(shí)，由題意可知政若芻=Ia解得α=b=-&|旦或α=b=駒?，當(dāng)α=-b時(shí)，此時(shí)不滿足，所以

與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)，故D正確.

故選：ACD.

9.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模)已知拋物線C-y2=2x的準(zhǔn)線為，，直線久=my+n與C相交于A、B兩點(diǎn)，

M為AB的中點(diǎn)，則()

A.當(dāng)TI=泄，以AB為直徑的圓與陽(yáng)交

B.當(dāng)n=2時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O

C.當(dāng)∣4B∣=4時(shí)，點(diǎn)M至〃的距離的最小值為2

D.當(dāng)MBl=I時(shí)，點(diǎn)M至”的距離無(wú)最小值

【答案】BC

【分析】將直線X=Tny+n代入C:y2=2,結(jié)合韋達(dá)定理求得M坐標(biāo)、點(diǎn)M到準(zhǔn)線1的距離d”及∣4B∣.當(dāng)

n=T時(shí)，由B∣4B∣=d”可判斷A：當(dāng)n=2時(shí)，由萬(wàn)？?麗=0可判斷B；當(dāng)MBl=4時(shí)，得n,m的關(guān)系式，

代入4M表達(dá)式，利用基本不等式可判斷C；當(dāng)∣48∣=1時(shí)，得電6的關(guān)系式，代入d”表達(dá)式，利用對(duì)勾函

數(shù)的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】拋物線C"=2x,準(zhǔn)線I方程是X=-i,

直線X=my+n代入C:y2=2%,可得y?—2my-2n=0,Δ=4m2÷8n>0,

設(shè)401，%),8(%2，丫2)，則Vi+%=2m,y1y2=-2n,

z

?i+x2=(my1+n)÷(τny2+∏)=m(y1÷y2)+2n=2m+2n,

222

x1x2=(my1+n)(τny2+n)=rny1y2÷τnn(y1+y2)+n=n,

設(shè)”('“，YM)，貝詠乂==爪2+4y”==血，

2

點(diǎn)M到準(zhǔn)線Z的距離d??=XM+∣=m+n+?,

2222

?AB?=71+my∕(y1+y2)—4y1yz=√1+m√4τn÷8n,

222

當(dāng)九=1時(shí)，??AB?-∣√1+77i√4τπ+4=1+mf點(diǎn)M到準(zhǔn)線/的距離d”=zn?+ι,則以AB為直徑的

圓與Z相切，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)九二2時(shí)，65?麗=XlX2+為力="2-2Zl=0,K∣JO∕11OBt則以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,故B

正確；

當(dāng)MBl=4時(shí)，即+?=2,4血2+8幾=4,得n=之一12,

l+m22zn

則dM=m2+n+(=∕+—N2j^P^=2,當(dāng)且僅當(dāng)?n=±1時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

當(dāng)?ABI=1時(shí)，即?√4+m2√4τ∏2+8∏=1,得幾=1—?m2,

8(l+mz)2

所以d??=nt2+幾+1=8(]jyn2)+令1+nt?=t,t≥1，

則d”=2+3=4C+t%由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，d”單調(diào)遞增，

故當(dāng)t=l時(shí)，d”取最小值J，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模)設(shè)單位圓O與X軸的左、右交點(diǎn)分別為A、B,直線/：xcosθ-ysinθ+1=0

(其中0＜。＜兀)分別與直線x+1=0、尤一1=0交于C、￡＞兩點(diǎn)，則()

A.O=爭(zhēng)寸，/的傾斜角為：

B.Vee(O,π),點(diǎn)A、B到/的距離之和為定值

C.30∈(0,π).使/與圓。無(wú)公共點(diǎn)

D.VO∈(0,Tt),恒有Oe1OD

【答案】BD

【分析】對(duì)于A：首先得到直線的斜率，即可求出直線的傾斜角，從而判斷A,對(duì)于B,分別求出點(diǎn)4、B到

直線1的距離，再求和即可，求出坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線/的距離，即可判斷C,求出C,。點(diǎn)坐標(biāo)，再求出反?OD,

即可判斷D.

【詳解】解：依題意A(T,0),B(1,0),

對(duì)于A：當(dāng)6=g時(shí)直線I:XCoSm-ysing+1=0,即-IX-?y+l=0，

所以直線Z的斜率k=-f,所以直線，的傾斜角為自，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：點(diǎn)4到直線I的距離di=然熱e=l-cose+1|,

點(diǎn)B到直線1的距離d2==ICOSe+1|,

√Γc?oszβ+RsιnzFθ

所以點(diǎn)4、B到直線，的距離之和為d=|—cosθ+1∣+ICoSe+11,

因?yàn)?∈(0,兀)，所以COSe∈(—1,1),所以d=—cos。+1÷cosθ÷1=2,

即對(duì)V9∈(0,π),點(diǎn)4、B到直線［的距離之和為定值2,故B正確；

對(duì)于C:坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線/的距離d。=IC一/Sin拓=L

所以直線，與單位圓相切，即直線，與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：對(duì)于直線LXCoSe—ysin。+I=0,令X=-1,解得y=；曹］,

令x=l,解得y=七i，

即C(T$)，D(L甯)，

所以況=(T喏1),而=(1,嘿1),

所以瓦?麗=一1+智?F?出=一1+上*=一1+噂=0,所以說，說，

SInesin。sιnz^SlnZe

即V?！?0,兀)，恒有OC_L。。，故D正確；

故選：BD

11.(2023.廣東肇慶?統(tǒng)考二模)已知圓C:(x-l)2+(y—2)2=25,直線上(2m+l)x+(m+l)y-7m-

4=0,則()

A.直線I過定點(diǎn)(3,1)

B.直線1與圓C可能相離

C.圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為4遍

D.圓C被直線2截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線2的方程為x+2y-5=0

【答案】AC

【分析】直線±m(xù)(2x+y-7)+x+y-4=0,由'一：二：求出定點(diǎn)(3,1),即可判斷A；由點(diǎn)(3,1)

與圓心距離判斷直線與圓位置關(guān)系，即可判斷B；令久=0,求出圓與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)可得弦長(zhǎng)，即可判斷

C；根據(jù)直線1被圓C截得弦長(zhǎng)最短，只需(3,1)與圓心(1,2)連線垂直于直線/,求出直線，的方程，即可判

斷D.

【詳解】直線Lm(2x+y-7)+x+y—4=0,由二:二；，得二;，即1恒過定點(diǎn)(3,1)，故A

正確；

點(diǎn)(3,1)與圓心(1,2)的距離d=強(qiáng)＜5,故直線1與圓C恒相交，故B錯(cuò)誤；

令X=0,則(O-I)2+(y-2)2=25,可得丫=2±2乃，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為4份，故C正確；

要使直線1被圓C截得弦長(zhǎng)最短，只需(3,1)與圓心(1,2)連線垂直于直線

所以直線1的斜率一四;=2,可得m=-：,故直線1為2x-y—5=0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.(2023?遼寧盤錦?一?模)已知圓C:(%+2)2+y2=%直線/：?HX+χ+2y—1+τn=O(TneR).則下列

結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)m=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)機(jī)，直線/恒過定點(diǎn)(-1,1)

C.若圓C與圓/+y2-2χ+8y+α=O恰有三條公切線，則α=8

D.若動(dòng)點(diǎn)。在圓C上，點(diǎn)E(2,4),則線段DE中點(diǎn)M的軌跡方程為一+(y-2)2=1

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,通過計(jì)算圓心到直線的距離進(jìn)行分析即可，對(duì)于B,對(duì)直線方程變形求解即可，對(duì)于C,

由兩圓有3條公切線可得兩圓相外切，從而可求出ɑ的值，對(duì)于D,設(shè)DE的中點(diǎn)為(x,y),則可得動(dòng)點(diǎn)D

的坐標(biāo)為(2x-2,2y-4)代入圓C方程中化簡(jiǎn)可得答案

【詳解】對(duì)于A,圓C:(X+2)2+y2=4的圓心為(一2,0),半徑丁=2,當(dāng)Tn=0時(shí)，直線Lx÷2y—1=0,

則圓心C到直線I的距離為d=上目=等，因?yàn)?-言＜1,所以圓C上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線1的距離等于

1,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由TnX+%+2y-1+m=0(m∈R),得m(%+1)+(x+2y—1)=0,由于m∈R,所以

得忙;7,所以直線，恒點(diǎn)(T,l),所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)閳AC與圓X2+y2-2x+8y+α=O恰有三條公切線,所以兩圓相外切，由/+y2-2x+8y+

α=0,得(x—I)?+(y+4)2=17—α,所以J(—2-+(0+4/=5=717-α+2,解得α=8,所

以C正確，

對(duì)于D,設(shè)DE的中點(diǎn)為(x,y),則可得動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2x-2,2y-4),因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)D在圓C上，所以

(2x-2+2)2+(2y-4)2=4,化簡(jiǎn)得χ2+(y-2)2=i,所以線段。E中點(diǎn)M的軌跡方程為/+

(y-2)2=1,所以D正確，

故選：BCD

三、填空題

13.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)已知々)是函數(shù)f(x)=。+28①+珍的一個(gè)零點(diǎn),且Xoe[l,e],則。2+必的

最小值為.

【答案】I

【分析】將&代入f(x),構(gòu)造直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離求解.

__XoJXo

【詳解】因?yàn)閄o是/(%)的一個(gè)零點(diǎn)，.,?Q+2bJ焉+eT=O,將(α,b)看作直線x+2yJ焉+e^Γ=O上

一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),

則原題就變?yōu)椋呵螽?dāng)x°∈[l,e]時(shí)，點(diǎn)(α,b)到原點(diǎn)的距離的平方的最小值,

exθ

原點(diǎn)到直線％+2yJx^+e~2=O的距離為d=J,d2=.?.a2+b2≥d2,

V√l+4?Xol+4x0

令g(x)=&，(Xe[l,e]),令O)>O=，當(dāng)時(shí)，g'(χ)>O,g(χ)是增函數(shù),

1+4?X?l+itX)4

在Xe[ι,e]時(shí)，g(χ)mm=g(i)=|:

故答案為：I.

14.(2023?山東威海?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，過4(一2,4),8(2,6),。(一1,-3),。(2,-4)四點(diǎn)的圓的

方程為______.

［答案】x2+y2-4x—2y—20=O

【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為/+y2+Dχ+Ey+F=O,取三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到方程組，求解

即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的方程為/+y2+Dx+Ey+/=0,

將點(diǎn)4C,。的坐標(biāo)分別代入可得，

20-2D+4E+F=O(D=-4

10-D-3E+F=O,解得］E=-2

,20+2D-4E+F=0(F=-20

則可得圓的方程為一+y2-4x-2y-20=0

故答案為：X2+y2-4x-2y-20=0

15.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模)過四點(diǎn)(一1,1)、(L-1)、(2,2)、(3,1)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_____

(寫出一個(gè)即可).

【答案】(X-1)2+⑶-1)2=4(答案不唯一)

【分析】利用圓的一般式方程求過三點(diǎn)的圓.

【詳解】過(一1,1),(1,-1),(3,1)時(shí)，設(shè)圓的方程為/+y2+Dχ+Ey+F=o,

(2-D+E+F=0(D=-2

則2+D-E+F=0,解得E=-2,

(10+3D+E+F=0=-2

圓的方程是：X2+y2-2x—2y-2=0,BP(x-I)2+(y-I)2=4；

同理可得：

過(1,一1)、(2,2)、(3,1)時(shí)，圓的方程是：9一|)+(y-?)=|；

過(T1),(1,-1),(2,2)時(shí)，圓的方程是：(x—丁+(y—/=工；

過(-1,1),(2,2),(3,1)時(shí)，圓的方程是：(x-l)2+y2=5.

故答案為：(％-1)2+(y-1)2=4.((x-1)2+(y-1)2=4、(X-I)+(V-以=|、(^-^)+

(y—J=患、(％—D?+y?=5寫其中一個(gè)即可)

16.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模)已知圓。:Y?+y2="(r>0),設(shè)直線χ+√5y—√5=0與兩坐標(biāo)軸的交

點(diǎn)分別為4B，若圓。上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足∣4Pl=IBP|,貝什的值為__________.

【答案】?0.5

【分析】根據(jù)|4Pl=IBPl可得P在AB的垂直平分線上，且垂直平分線與圓相切可求解.

【詳解】4(√5,0),8(0,1),巴4=PB,P在48的垂直平分線上，

kAB=一9所以中垂線的斜率為后

48的中點(diǎn)為(Fj),由點(diǎn)斜式得y—I=V3(x—?).

化簡(jiǎn)得y=√3x-1,

P在圓。：％2+y2=N滿足條件的P有且僅有一個(gè)，

直線y=V3x-1與圓相切，

?,?r=d=√?=?

故答案為：?

17.(2023?重慶?統(tǒng)考一模)已知圓：/+y2=i6上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線1：y=√5x+b(b>0)的距離等于

2,則b的值為_________.

【答案】4

【分析】根據(jù)圓上3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2,可得圓心到直線的距離為4-2=2,

利用點(diǎn)到直線的距離公式解出b即可.

【詳解】解:因?yàn)閳A的方程為/+y2=i6,

所以圓心為(0,0),半徑為4,

因?yàn)閳A/+y2=16上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線I的距離都等于2,

所以只需要圓心到直線Ly=√3x+b(b>0)的距離為2即可，

直線方程為y=√3x+6(h>0)

所以圓心到直線的距離為3=2,且b>0

解得b=4,

故答案為：4

四、解答題

2

18.(2023?湖南長(zhǎng)沙?統(tǒng)考一模)設(shè)A,B是橢圓v?→y2=1上異于P(0,l)的兩點(diǎn)，且直線AB經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

直線∕?,PB分別交直線y=-x+2于C,3兩點(diǎn).

(1)求證：直線必，AB,PB的斜率成等差數(shù)列；

⑵求APCD面積的最小值.

【答案】(1)證明過程見解析

【分析】(1)設(shè)AQ21),8(-卬-y),表達(dá)出直線48,直線PA,直線PB的斜率，由。.+/B=紇1+"=

1xlxI

型=2∕?B證明出結(jié)論；

xI1

(2)寫出直線PA的方程，與y=-X+2聯(lián)立求出XC=總與，同理求出孫=房百，求出ICnl=

^^T+l\Xc-xD\,利用三角換元，求出ICDl=的患布的最小值，結(jié)合P(O,1)到直線y=-χ+2的距離d,

求出面積的最小值.

2

【詳解】(1)設(shè)A(XI,yj,貝∣JB(-Xi,—yj,?-+y1=1,

宜線4B的斜率Ze.=-＞直線PA的斜率為kpA=力二，宜線PB的斜率為kps=2二=",

xlxlT]xI

kpA+kPB=^^=等=2kAB，

xlxlxI

故直線PA,AB,PB的斜率成等差數(shù)列；

(2)直線PA的方程為y-1="二，與y=—X+2聯(lián)立得：

xI

X

Xr—1，

l?ι+yι-ι

同理可得：直線PB的方程為y—l=2χ,與y=-X+2聯(lián)立得：

xI

Xl

孫二訴K

XX

故Im=√Γ+1∣C-D∣=√2l?-?l=2√2∣^?71∣,

2

因?yàn)槠咭?%=1,設(shè)/=√2cosθ,y1=sinθ,

故ICDl=2λ∕2丘COSe=_____4_______4

(√2cos0+sinβ)2-l∣cosβ+2√2sinβ∣∣3sin(0+φ)Γ

其中ta∏9=γ,

故當(dāng)sin(6+0)=l時(shí)，ICDl=口取得最小值,最小值為3

∣3s?ιn2(β,+■φ)∣3

又P(0,l)點(diǎn)到直線y=-X+2的距離d=翹=日，

故^PCD面積的最小值為！X：Xf=乎.

2323

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決：

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值或范圍.

五、雙空題

19.(2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考一模)已知圓/+丫2+2%一4)/-5=0與圓/+丫2+2%-1=0相交于4,B兩

點(diǎn)，則公共弦AB所在的直線方程為______,∣AB∣=_