中考數(shù)學真題分項匯編（江蘇專用）

專題10圓（共35題）

一、單選題

1.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，四邊形ABCo是。。的內(nèi)接四邊形，若N40C=160。,

C.140°D.160°

【答案】B

【分析】先根據(jù)圓周角定理求得乙。的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NABC的度數(shù)

即可.

【詳解】解：?."40C=160。，

：.^ADC=-Z.AOC=80°,

2

?.?四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

LABC=180o-Z.ADC=180°-80°=100°,

故選：B.

【點睛】此題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，比較簡單，牢記有關(guān)定理是解答

本題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇無錫?中考真題）在放AABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,以AC所在直線為

軸，把AABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.12πB.15乃C.20πD.24萬

【答案】C

【分析】先利用勾股定理計算出A8,再利用扇形的面積公式即可計算出圓錐的側(cè)面積.

【詳解】解：：NC=90。，AC=3,BC=4,

ΛAB=√32+42=5,

以直線AC為軸，把AA8C旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積=*2G<4X5

=20τr.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底

面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

3.（2022?江蘇無錫?中考真題）如圖，A3是圓。的直徑，弦A。平分N2AC,過點。的切線

交4C于點E,ZEAD=250,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AELDEB.AEHODC.DE=ODD.ZBOD=50o

【答案】C

【分析】過點。作。尸，AB于點尸，根據(jù)切線的性質(zhì)得到證明。Q〃AE,根據(jù)平

行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：：OE是0。的切線，

C.ODVDE,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

?.?A。平分N8AC,

：.AOAD=ΛEAD,

.?ZEAD=ZODA,

.,.OD//AE,

.'.AElDE.故選項A、B都正確；

,.?ZOAD=ZEAD=ZODA=25o,NEAo=25°,

.,.ZBOD=Z0AD+ZODA=50o,故選項D正確;

YAC平分NBAC,AE±DE,DFLAB,

；.DE=DF<0D,故選項C不正確；

故選：C.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂

直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在5X6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除

顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形04B的圓心及弧的兩端均為格點.假設(shè)飛

鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任

意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（）

A.?B.?C.叵D.每

12246060

【答案】A

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比

值.

【詳解】解：由圖可知，總面積為：5×6=30,OB=√32÷I2=VTθ,

??.陰影部分面積為：”等小=?，

3602

SJT

二飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是盤=2，

故選：A.

【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影

區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的

概率.

5.（2022?江蘇連云港?中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧

長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）

B2C42D4

---兀

3Tr√33Tr√33√3

【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的

面積即可.

【詳解】解：如圖，過點。C作AB于點。，

.?.△048是等邊三角形，

，NAOo=N800=30°,OA=O8=AB=2,AD=BD=-AB=?,

2

：.0D=y∣A02-AD2=√3,

.?.陰影部分的面積為竺禁-i×2×√3=∣π-√3,

36023

故選：B.

【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的

面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.

6.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，在等腰△力BC中，NBAC=I20。，BC=6√3,。。同

時與邊BA的延長線、射線4C相切，。。的半徑為3.將△4BC繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)

α（0o<α≤360o）,B、C的對應點分別為夕、C,在旋轉(zhuǎn)的過程中邊B'C，所在直線與。。相

切的次數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得。A的半徑為3,計算出

的長度，可知③。與③A相切，根據(jù)兩個相切圓的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】解：如圖：

BBH

作AOL8C,以A為圓心，以A。為半徑畫圓

"：AC,AB所在的直線與。O相切，令切點分別為P、Q,連接OP、OQ

.?.A0平分/以。

CAB=120。

/%0=30°

,.?OP=3

：/BAC=120°,AB=AC

：.ZACB-30o,CD^^BC=3√3

：.AD=CD-tan30o=3

.?.OA的半徑為3,

.?.0O與。A的半徑和為6

VAO6

.\。0與。A相切

'JADLBC

.?.8C所在的直線是。A的切線

.?.8C所在的直線與。。相切

.?.當α=360。時，BC所在的直線與。。相切

同理可證明當a=180。時，B"C”所在的直線與。。相切.

當BCAO時,即α=90。時，8'C'所在的直線與。。相切.

當α為90。、180。、360°時,BC所在的直線與。。相切

故答案選C.

【點睛】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系和特殊角的

三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識，精準識圖并準確推斷圖形的運動軌跡，進行合理論證

是本題的解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2022?江蘇淮安?中考真題）若圓錐的底面圓半徑為2,母線長為5,則該圓錐的側(cè)面積是

.（結(jié)果保留兀）

【答案】IOTr

【分析】根據(jù)圓錐的底面圓半徑為2,母線長為5,直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可.

【詳解】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：Trk=TrX2X5=IO兀，

故答案為：10π.

【點睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)

鍵.

8.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖,A、8、C點在圓。上，若NACB=36。，則/AOB=

【答案】72°##72度

【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結(jié)論.

【詳解】'：ZACB=^ZAOB,ZACB=3>6o,

：.ZAOB=2×ZACB=72°.

故答案為：72°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

解答是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在矩形SBCC中，AB=2BC=2,將線段AB繞點A按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點B落在邊CD上的點B'處，線段4B掃過的面積為.

【答案】?lτr

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4夕=4B=2,由銳角三角函數(shù)可求ZDAe=60。,從而得出

ΛBAB'=30。,由扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：AB=2BC=2,

.?.BC=1,

：矩形4BCD中，

.?.AD=BC=1,ZD=?DAB=90°,

由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB',

"：AB=2BC=2,

：.AB'=AB=2,

AD1

vcosδdab=M-

：.Z.DAB'=60°,

.?.乙BAB'=30°,

二線段AB掃過的面積=30S22=≡

3603

故答案為：*

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識,

靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵.

10?（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，AB.AC是。。的弦，過點A的切線交CB的延長線于

點。，若NBzW=35。，貝IJNC=°.

【答案】35

【分析】連接4。并延長，交。。于點E,連接BE,首先根據(jù)圓周角定理可得NE+ΛBAE=90°,

再根據(jù)4D為。。的切線，可得Z?B4E+NBAD=90。，可得/E=NB/W=35。，再根據(jù)圓周

角定理即可求得.

【詳解】解：如圖，連接4。并延長，交OO于點E,連接8E.

?.?AE為。。的直徑，

.?.Z.ABE=90°,

???&E+?BAE=90°,

???AD為。。的切線，

.?.?DAE=90°,

.?.Z-BAE+Z.BAD=90°,

乙E=?BAD=35°,

：.?C=Zf=35°.

故答案為：35.

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，△力BC是G）O的內(nèi)接三角形.若乙4BC=45。,AC=√2,

則O。的半徑是.

【分析】連接04、OC,根據(jù)圓周角定理得到NAoC=90。，根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解:連接。4、OC,

.?./.AOC=2ZTlBC=90°,

.?.OTI2+OC2=AC2,即2042=2,

解得：OA=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?江蘇泰州?中考真題）如圖上，ZVlBC中,NC=90。,4C=8,BC=6,0為內(nèi)心，過

點O的直線分別與AC、4B相交于。、E,若DE=CD+BE,則線段CZ）的長為.

【答案】2或抑?或2

22

【分析】分析判斷出符合題意的。E的情況，并求解即可；

【詳解】解：①如圖，作DEIlBC,OF1BC,OGIAB,連接08,則?！?gt;_LAC,

B

D

?9DE∕∕BC,

.??OBF=乙BoE

?.?O為A4BC的內(nèi)心,

ZOBF=乙OBE,

：.?BOE=乙OBE

:?BE=OE,

同理，CD=OD,

：.DE=CD+BE,

2222

AB=y/BCAC=√6+8=10

Y。為A48C的內(nèi)心,

：.OF=OD=OG=CD,

：?BF=BG,AD=AG

：.AB=BGAG=BC-CD-VAC-CD=6-CD-i-8-CD=10

：.CD=2

②如圖，作DEJL48,

由①知，BE=4,AE=6,

?,?ACB=?AED,乙CAB=乙EAD

,AABC?^ADE

?ABAD

..—=---

ACAE

1?1

：.CD=AC-AD=Q--=-

22

■：DE=>∕AD2-AE2=J(y)2-62=|

1Q

.?,DE=BE+CD=4+-=-

：

.CD=-2

故答案為：2或

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出

符合題意的情況并應用性質(zhì)定理進行求解是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?江蘇泰州?中考真題）如圖，勿與。。相切于點A,Po與。。相交于點B,點C

在AmB上，且與點A,B不重合，若NP=26°,則NC的度數(shù)為°.

【答案】32

【分析】連接OA,根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出/0=64。.再根據(jù)圓周角的定

理，求解即可.

【詳解】解：連接04,

與。。相切于點4,

.?ZPAO=90o,

：.N0=9?！?NP,

,/NP=26°,

ΛZ0=64°,

.'.ZC=2-Z0=32°.

故答案為：32.

【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出

輔助線，求出N。的度數(shù).

14.（2022?江蘇無錫?中考真題）4A8C是邊長為5的等邊三角形，△￡>CE是邊長為3的等邊

三角形，直線8。與直線AE交于點E如圖，若點。在AABC內(nèi)，NOBC=20。，則NBAF

=。：現(xiàn)將ACCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是

B

【答案】804-√3?ft-√3+4

【分析】利用SAS證明ABDCgMEC,得到N￡>8C=NEAC=20。，據(jù)此可求得NBA尸的度

數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得NAFB=60。，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當

BF是圓C的切線時，即當Col.8尸時，/尸BC最大，則/F8A最小，此時線段AF長度有

最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：ZXABC和SCE都是等邊三角形，

：.AC=BC,DC=EC,ZBAC=ZACB=ZDCE^60o,

：.ZDCB+ZACD=ZECA+ZACD=GOO,

即NoaJ=NEC?,

CD=CE

在ABCO和AACE中，??BCD=?ACE,

BC=AC

：.ΔACE^Δ,BCD(SAS),

JNEAC=NDBC,

?/NoBC=20。，

二NEAC=20°,

ZBAF=ZBAC+ZEAC=Wo;

設(shè)B尸與AC相交于點”，如圖:

,.?&ACEQXBCD

：.AE=BD,ZEAC=ZDBC,且NAHF=NBHC,

NAFB=NACB=60。,

,A、B、C、尸四個點在同一個圓上，

?.?點。在以C為圓心，3為半徑的圓上，當BF是圓C的切線時.，即當COLB尸時，ZFBC

最大，則/FBA最小，

???此時線段AF長度有最小值，

在RrABCD中，BC=5,CD=3,

ΛβD=√52-32=4,KPAE=4,

：.ZFDE^180o-90o-60o=30o,

,/NAFB=60°,

；.NFDE=NFEg3。。,

：.FD=FE,

過點F作FGJ_OE于點G,

.,.DG=GE=-,

2

.?.ΛF=AE-FE=4-√3,

故答案為：80；4-√3.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三

角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

15.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在正六邊形A8Cf>EF中，A8=6,點"在邊AF上，

且AM=2.若經(jīng)過點M的直線/將正六邊形面積平分，則直線/被正六邊形所截的線段長是

【答案】4√7

【分析】如圖，連接A。，CF,交于點O,作直線MO交C。于H,過。作OP_LAF于P,

由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形.co=S四邊形DEF。，由正六邊形是中心對稱圖形可得：

^?A0M=^?DOH/^?MOF=^?CHO∣OM=OH,可得直線M//平分正K邊形的面積，。為正K邊

形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：如圖，連接4。，CF,交于點0,作直線Mo交CO于H,過。作0P_L4產(chǎn)于

P,

由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形4BC0=S四邊形I）EF0，

由正K邊形是中心對稱圖形可得：SA40M=S4DOH，SbMOF=SciCHO'OM=OH1

.?.直線MH平分正六邊形的面積，。為正六邊形的中心，

由正六邊形的性質(zhì)可得：△4。尸為等邊三角形，?AF0=60°,而AB=6,

.?.AB=AF=OF=OA=6,AP=PP=3,

.?.OP=√62-32=3√3,

???AM=2,則MP=1,

.?.OM=Jl2+(3√3)2=2√7,

.?.MH=2OM=4√7.

故答案為：4√7.

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱

圖形”是解本題的關(guān)鍵.

16.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，弦C。交AB于點E,連接AC,

AD.若NBAC=28°,則4。=°

D

【答案】62

【分析】連接BD,根據(jù)直徑所對的圓周角是90。，可得乙40B=90°,由CB=CB,可得484C=

乙BDC,進而可得44DC=90°-4BDC.

【詳解】解：連接8D,

?.?A8是。。的直徑，

：.?ADB=90°,

VCB=CB,

???乙BAC=乙BDC=28°,

??.?ADC=90°一乙BDC=62°

故答案為：62

【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是

解題的關(guān)鍵.

17.（2022?江蘇連云港?中考真題）如圖，48是。。的直徑，AC是。。的切線，4為切點，連

接BC,與。。交于點。，連接OD.若/4。。=82。，則ZC=°.

【答案】49

【分析】利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得/8=]/AOO=41。，根據(jù)AC是。O

的切線得到NBAC=90。，即可求出答案.

【詳解】解：：/Aof）=82。，

.'.ZB=-ZAOD=Alo,

2

YAC為圓的切線，4為切點，

.,.ZBAC=90o,

ΛZC=90o-41o=49o

故答案為49.

【點睛】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，正確理解圓

周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?江蘇宿遷?中考真題）將半徑為6cm,圓心角是120。的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,

則這個圓錐底面圓的半徑為cm.

【答案】2

【分析】根據(jù)弧長公式、圓錐的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，得圓錐底面周長=當浮=4τTem,

180

.?.這個圓錐底面圓的半徑=9=2cm,

2π

故答案為：2.

【點睛】本題考查了扇形、圓錐的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式、圓錐的性質(zhì)，從

而完成求解.

19?（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，圓錐的母線AB=6,底面半徑CB=2,則其側(cè)面展開

圖扇形的圓心角a—.

【答案】120。.

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半

徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到黨=2π?2,然后解方程即可.

180

【詳解】解：根據(jù)題意得管=2τr?2,

180

解得α=120,

即側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°.

故答案為120°.

【點睛】本題考查圓的周長公式，弧長公式，方程思想在初中數(shù)學的學習中非常重要，是中

考的熱點，在各種題型中均有出現(xiàn)，要特別注意.

20.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在矩形ABCD中,2B=6,BC=8,點M、N分別是邊4。、

BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點4勻速

運動；同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其

中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接EF,過點8作EF的垂線，垂足為H.在

這一運動過程中，點H所經(jīng)過的路徑長是.

【答案】日兀#噂

【分析】根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q,且A4QM~AFQN,NQ:MQ=1:2,

點”在以B。為直徑的M上運動，運動路徑長為向V的長，求出8Q及W的圓角，運用弧長

公式進行計算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：Y點M、N分別是邊A。、BC的中點，

連接MN,則四邊形ABNM是矩形，

,MN=AB=6，AM=BN=-AD==A,

2

根據(jù)題意知石產(chǎn)在運動中始終與例N交于點Q如圖，

???四邊形"CO是矩形,

JADHBC,

：?AAQM?AFQN,

.NF_NQ_1

**EM~MQ~2

：.NQ=3MN=2

當點E與點A重合時，則NAwAM=2,

：.BF=BN+NF=4+2=6,

IAB=BF=G

???A4BF是等腰直角三角形，

LAFB=45°,

9：BP.LAF,

LPBF=45°

由題意得，點”在以8Q為直徑的月V上運動，運動路徑長為mV長，取BQ中點O,連接PO,

NO,

，NPON=90。，

又乙BNQ=90°,

2222

：.BQ=yjBN+NQ=√4+2=2√5,

ON=OP=OQ=TBQ=V5>

,mV的長為也更=店Tr

1802

故答案為：與兀

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長等知

識，判斷出點H運動的路徑長為mV長是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.（2022江蘇淮安?中考真題）如圖，ZkABC是。。的內(nèi)接三角形，?ACB=60o,AD經(jīng)過

圓心。交。。于點E,連接BE>,?ADB=30°.

（1）判斷直線BD與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若AB=4√5,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）直線BD與。。相切，理由見解析

⑵圖中陰影部分的面積86一詈

【分析】（1）連接BE,根據(jù)圓周角定理得到乙4EB=NC=60。，連接。B,根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)得到ZBOD=60。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到乙4BE=90。，解直角三角形得到。B,根據(jù)扇形和三角形的面積

公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：直線BD與O。相切，

理由：如圖，連接BE,

?ACB=60o,

.??AEB=ZC=60o,

連接OB,

aJOB=OC,

.,.△OBE是等邊三角形，

LBOD=60°,

■:乙ADB=30°,

：?M)BD=180°—60°-30°=90°,

：.OB1BD,

TOB是O。的半徑，

???直線BD與。。相切；

(2)解：如(1)中圖，

YAE是OO的直徑，

，乙ABE=90°,

VΛB=4√3,

.*.si∏Zi4EF=sin60o=—=史^=―,

AEAE2

：.AE=8,

Z.OB=4,

「OBJLBC,乙4DB=30。

Λtanz4DB=tan30°,

BD3

：.BD=—,

3

.?.圖中陰影部分的面積=SAOBD-S扇形BOE=TX4X4g-嗤￡=8√3-y.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇

形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，如圖，點4、8、C在圓O±,,?ABC=60。,直線4D∣∣BC,

AB=AD,點。在BO上.

AD

(1)判斷直線4。與圓。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若圓的半徑為6,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(I)直線AO與圓。相切，理由見解析

(2)12τr-9√3

【分析】(1)連接。4，根據(jù)4。IiBC和AB=AO,可得∕D8C=/48。=/￡>=30。，從而得到

ZBAD=120°,再由04=08,可得NBAo=乙48氏30。，從而得到NoAD=90。，即可求解：

(2)連接0C,作04_L8C于H,根據(jù)理徑定理可得OH=ToB=3,進而得到BC=2BH=

6√3,再根據(jù)陰影部分的面積為S扇形BOC-SABoc，即可求解.

【詳解】(1)解：直線AO與圓。相切，理由如下：

如圖，連接0A,

'：AD??BC,

ND=NDBC,

?'AB=AD,

：.ND=NABD,

■:乙ABC=60°,

ZDBC=ZABD=ZD=30o,

：.ZBAD=\20°,

"：OA=OB,

：.ZBAO=ZABD=30a,

.?ZOAD=90o,

.,.OA±AD,

；。4是圓的半徑，

，直線A。與園O相切，

A

D

B?~~H7c

(2)解：如圖，連接OC,作OH_L8C于”，

,：0B=OC=6,

/.NoCB=NoBC=30。,

ΛZBOC=120°,

：.0H=-0B=3,

2

.*.BH=√F02-OH2=3√3,

：.BC=2BH=6√3,

.?.扇形BOC的面積為胃誓=12兀，

360

?：SAOBC=^BC-OH=∣×6√3×3=9√3,

???陰影部分的面積為S扇形BoC-SABoC=12π-9√3.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理,

并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為S扇形BOC-SABOC是解題的關(guān)鍵.

23.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的

直徑都是30cm,高為42.9cm?它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓.小明

畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑4B、CD以及AC、的組成的軸對稱圖形，直

線I為對稱軸，點M、N分別是品、時的中點，如圖2,他又畫出了腳所在的扇形并度量出

扇形的圓心角NAEC=66。，發(fā)現(xiàn)并證明了點E在MN上.請你繼續(xù)完成MN長的計算.

參考數(shù)據(jù)：sin66o≈―,cos66°≈-,tan66o≈-,sin33o≈—.cos33°≈—,tan33o≈—.

1054201320

從正面看

【答案】42cm

【分析】連接AC,交MN于前H.設(shè)宜線1交MN于點Q,根據(jù)圓周角定理可得乙4EM=33。,

429

^Rt?AEH,得出U=五，進而求得EM的長，即可求解.

20EH

【詳解】解：連接4C,交MN于點H.設(shè)直線1交MN于點Q.

；M是肥的中點，點E在MM上，

.??AEM=?CEM=-/.AEC=33°.

2

9

在AZEC中，：EA=ECf乙AEH=乙CEH,

：.EHLAC,AH=CH.

??,直線I是對稱軸，

：.AB1Z,CD1I,MN1Z,

：.AB\\CD\\MN.

：.ACLAB.

JAC=42.9,AH=CH=—.

20

在Rtz?4EH中，Sinz-AEH=

429

即L=?,

20AE

則AE=39.

VtanZTlEH=—,

HE

429

即V=五，

20EH

則EH=33.

：?MH=6.

Y該圖形為軸對稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm,

.?.HQ=^AB=15,

：.MQ=MH+HQ=6+15=21.

.".MN=42(cm).

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形的實際應用，構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

24.（2022?江蘇南通?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,BD為。。的直徑，AC平

分乙BAD,CD=2五,點E在BC的延長線上，連接DE.

（1）求直徑BC的長；

（2）若BE=5√Σ,計算圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）4

（2）6

【分析】（1）設(shè)OC輔助線，利用直徑、角平分線的性質(zhì)得出/ZMC的度數(shù)，利用圓周角與圓

心角的關(guān)系得出4C。。的度數(shù)，根據(jù)半徑與直徑的關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論.

（2）由（1）己知ZC。。=90o,OC=。。得出NBDC的度數(shù)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)結(jié)合NDAC=

再根據(jù)直徑、等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC的值，進而利用直角三角形

面積公式求出SAEC0，由陰影部分面積=Si+S3=S2+S3可知SAECD即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接OC,

BD為。。的直徑，AC平分NB4D,

.?.NBAD=90°,ΛBAC=Z.DAC=-/.BAD=-×90°=45°,OB=OD.

22

???zCOD=90o.

VCD=2√2,OC=OD,

20D2=CD2,即2002=8.

：?OD=2,

:80=。。+OB=2+2=4.

(2)解：如圖所示，設(shè)其中小陰影面積為品，大陰影面積為S3,弦CC與劣弧CD所形成的面

積為S2,

8

C

D

??,由(1)已知乙COO=90°,乙DAC=45o,OC=0D,BD=4,

???(BDC=?(180°-乙CoD)=?×90°=45°.

VZ-DAC=Z.BDCf

??.弦BC=弦C0,劣弧BC=劣弧C7).

???S1=S2.

??,8。為。。的直徑，CD=2√2,

乙BCD=乙ECD=9Q°,BC=CD=2√2.

?.?BE=5√2,

.?.CE=BE-BC=5√Σ-2√I=3√2.

.?.SAECD=^CECD=∣×2√2×3√2=6.

S陰影部分=Sl+S3=S2+S3=SAECD-6.

【點睛】本題考查圓的性質(zhì)的理解與綜合應用能力.涉及對半徑與直徑的關(guān)系，直徑的性質(zhì)，

圓周角與圓心角的關(guān)系，圓周角的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形，角平分線等知識點.半徑

等于直徑的一半；直徑所對的圓周角是直角：在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角等于

圓心角的一半；在同圓或等圓中，圓周角相等=弧相等=弦相等.一個直角三角中，兩個直

角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方.恰當借助輔助線，靈活運用圓周角的性質(zhì)建立等

式關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

25.(2022?江蘇鹽城?中考真題)證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條弧.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)命題的題設(shè)：垂直于弦AB的直徑CD,結(jié)論：CD平分A8,CD平分曲出出力,

寫出己知，求證，再利用等腰三角形的性質(zhì)，圓心角與弧之間的關(guān)系證明即可.

【詳解】已知：如圖，CC是。。的直徑，A8是。。的弦，AB1CD,垂足為P.

求證：PA=PB,AD=呢,AC=此.

C

證明：如圖，連接04、0B.

因為。4=OB,OPLAB,

所以PA=PB,?A0D=?B0D.

所以筋=血?A0C=-?B0C.

所以Af=BC.

【點睛】本題考查的是命題的證明，圓心角與弧，弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

的運用在同圓與等圓中，相等的圓心角所對的弧相等是解本題的關(guān)鍵.

26.（2022?江蘇常州?中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心，直徑AB的長

是12cm,C是半圓弧上的一點（點C與點4、B不重合），連接AC、BC.

AOBAOB

備用圖

⑴沿4C、BC剪下AABC,則AABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；

（2）分別取半圓弧上的點E、F和直徑ZB上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成

的四邊形是一個邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留

作圖痕跡，不要求寫作法）；

（3）經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段AC上的點M、線段

BC上的點N和直徑ZB上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm

的菱形.小明的猜想是否正確？請說明理由.

【答案】（1）直角

（2）見詳解

（3）小明的猜想正確，理由見詳解

【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∕ACB=90c>,即可作答；

（2）以A為圓心，4。為半徑畫弧交。。于點E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于。O

點/連接EF、FO.EA,G、H點分別與4、。點重合，即可；

（3）當點C靠近點A時，設(shè)CM=Ia4,CN=三CB,可證MNiI48,推出MN=I48=4cm,

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P,Q,可得MN=MP=NQ=4cm,進

而可證四邊形MNQP是菱形；當點C靠近點B時，同理可證.

【詳解】(1)解：如圖，

AOB

；AB是Oo的直徑，

NAeB=90°,

.?.N4CB是直角，

即AABC是直角三角形，

故答案為：直角；

(2)解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交。。于點E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于

。。點尸連接EAFO、EA,G、"點分別與A、。點重合，即可，

作圖如下:

由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=/8=6,

即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；

(3)解：小明的猜想正確，理由如下：

如圖，當點C靠近點4時，設(shè)CM=Na4,CN=-CB,

33

.CM_CN_1

，?C4--CB-3*

/.MNII48,

,MN_CM_1

??AB~CA~3,

.,.MN=LAB=^x12=4cm.

33

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P,Q,作Mz)I4B于點ZλNEl48于點

E,

：.MN=MP=NQ=4cm.

?/MN??AB.MDLAB,NELAB,

.".MD=NE,

在RtAMCP和RtANEQ中，

(MP=NQ

IMD=NE'

RtAMDP=RtANEQ(HL),

乙MPD=ANQE,

：.MP//NQ,

又,；MP=NQ,

.?.四邊形MNQP是平行四邊形，

又：MN=MP,

：.四邊形例N0P是菱形；

同理，如圖，當點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形,

【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運用上述知識解決問題.

27.(2022.江蘇泰州.中考真題)如圖①，矩形ABCD與以E尸為直徑的半圓O在直線/的上

方，線段AB與點E、下都在直線/上，且AB=7,EF=10,BC>5.點B以1個單位/秒的速

度從點E處出發(fā)，沿射線EF方向運動矩形ABCD隨之運動，運動時間為，秒

圖①圖②圖③

(1)如圖2,當U2.5時，求半圓O在矩形ABCQ內(nèi)的弧的長度；

(2)在點B運動的過程中，當AZXBC都與半圓O相交，設(shè)這兩個交點為G、”連接OG,

OH.若NGO”為直角，求此時，的值.

【答案】(1年

(2)8或9秒

【分析】⑴通過計算當上2.5時EB=BO,進而得到△歷BE絲Z?MBO,判斷出AMEO為等邊

三角形得到NE。例=60。，然后根據(jù)弧長公式求解；

(2)通過判定4GAO^AHBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解.

(1)

解：設(shè)BC與。。交于點M,如下圖所示：

當U2.5時,BE=2.5,

VEF=IO,

OE=-EF=5,

2

：.08=2.5,

：.EB=OB,

在正方形ABCD中，NEBM=NOBM=90°,且MB=MB,

LMBEqAMBO(SAS),

：.ME=MO,

IME=EO=MO,

???ZSMOE是等邊三角形,

???NEoM=60。，

(2)

解：連接GO和“。，如下圖所示:

'."NGO”=90。，

.*.NAOG+NBO〃=90。,

?/NAOG+NAGo=90。,

???ZAGO=ZBOHf

Z-AGO=乙BOH

在^AGOW?中，??GA0=乙HBo=90°,

OG=OH

.?∕?AGO^?BOH(AAS),

IAG=OB=BE-EgS,

VAB=7,

AE=BE-AB=i-7,

/.AO=EO-AE=5-(∕-7)=12√,

在RtZMGO中，AG2+AO2=OG2,

Λ(∕-5)2+(12√)2=52,

解得：Z∕=8,12=9,

即/的值為8或9秒.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計算，勾股定理的應用，掌握全等

三角形的判定(一線三垂直模型)，結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵.

28.(2022?江蘇鹽城?中考真題)【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個

間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定

的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖像上.

備用圖

(1)【分析問題】

小明利用已學知識和經(jīng)驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為X軸，過點。且垂直于

橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示.當

所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為.

⑵【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

(3)【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點P(O,τn),m為正整數(shù)，以。P為直徑畫OM,是否存在所描的點在OM

上.若存在，求m的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)(-3,4)或(3,4)

(2)成立，理由見解析

⑶存在，4

【分析】(I)先畫出圖形，再結(jié)合實際操作可得。4=。8=。0=5,。(？=4,。。_148,再利

用勾股定理求解AC,BC,從而可得答案；

(2)解法1：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1的交點為P(x,n-1).利用勾股定理可得/+

(n-l)2=∏2,即χ2=2n-i,可得凡=：/+5可得y=幾一ι=：上，從而驗證

猜想；

解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-l交點為P(X,n-l),可得/+(∏-=Μ，解方

程可得P(±√^E,n-1).則尸；再消去n,可得y=∣x2-∣,從而驗證猜想；

(3)如圖，設(shè)所描的點N(±√2n-l,v-1)在OM上,由M。=MN,建立方程?)2=

(+√2n—l)z+(n—1—γ)z,整理得m=?-="U^1=n+1+=?,結(jié)合m,n都是正整數(shù),

從而可得答案.

(1)

解：如圖，。4=。8=。。=5,0C=4,0C148,

'.AC=BC=√52-42=3,

.?.A(-3,4),B(3,4),

故答案為：(—3,4)或(3,4)

(2)

小明的猜想成立.

解法1：如圖，設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-l的交點為P(x,n-l).

所以n=-X2+L

22

所以丫=71一1=1刀2一3上，小明的猜想成立.

解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1交點為P(x,n-1),

因為。P=71,所以/+(九一1)2=九2,解得％=±λ∕2∏—1,所以P(±√2∏-1,71—1).

產(chǎn)=±行工，消去n,得y="?-=,

y=n-122

???點在拋物線y=一：上，小明的猜想成立.

(3)

存在所描的點在。M上，理由：

如圖，設(shè)所描的點N(±√2n-l,n-1)在。M上,

則MO=MN,因為M(O,￡),

所以g)2=(±析彳)2+m_1_會2,

s22

整理得n=?n-l+ln+1+

Jn-1n-1=?'

因為m,n都是正整數(shù),

所以只有九=2,ZH=4滿足要求.

因此，存在唯一滿足要求的τn,其值是4.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，垂徑定理的應用，坐標與圖形，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),

勾股定理的應用，方程的正整數(shù)解問題，理解題意，建立幾何模型與函數(shù)模型是解本題的關(guān)

鍵.

29.（2022?江蘇無錫?中考真題）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于G）O,點。為4C

上的動點（點A、C除外），8。的延長線交。。于點E,連接CE.

(l)?<il?CEDSZkBAO;

(2)當DC=24。時，求CE的長.

【答案】⑴見解析

⑵CE=y√7

【分析】(1)根據(jù)同弧所對圓周角相等可得NA=/E,再由對頂角相等得NBD4=4CDE,

故可證明緒論；

(2)根據(jù)。C=2AD可得=2,CD=4,由△CECB4D可得出BC?CE=8,連接AE,

可證明△ABDSxEBA,得出AB?=BD?BE=BD2+BD-BE,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出BD=

2√7,從而可求出緒論.

【詳解】(1)；品所對的圓周角是NE,

Z.A=乙E,

又乙BDA=乙CDE,

△CEDS匕BAD；

(2)TZX/BC是等邊三角形，

：.AC=AB=BC=6

VDC=2AD,

：.AC=3ADf

*.AD=2,DC=4,

9CLCED-LBADt

.ADBDAB

,,----=-----=-----,

DECDCE

.2_BD

*'DE-—,

/.BDDE=8;

連接AE,如圖，

A

、E

'：AB=BC1

：.AB="

???ZBAC=?BEAt

又NABD=乙EBA,

.'.?AβD-ΔEBAf

.AB_PD

*"BE~布’

：.AB2=BD?BF=BD?（BD+DE）=BD2÷BD?DE,

Λ62=FD2+8,

：.BD=2√7（負值舍去）

.6_2√7

?■j

CF4

解得，CE=γ√7

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本

題的關(guān)鍵.

30.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，AC是弦，。是腦的中點，CD與

AB交于點E.F是AB延長線上的一點，且CF=EF.

（1）求證：CF為。。的切線；

（2）連接80,取8。的中點G,連接AG.若CF=4,BF=2,求AG的長.

【答案】（1）見解析

（2MG=∣√Tδ

【分析】（1）方法一:如圖1,連接OC,OO.由NoCD