2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末校際聯(lián)考試題高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集定義即可求解．【詳解】因?yàn)?所以.故選：B．2.在空間直角坐標(biāo)系中，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】由題意可知的坐標(biāo)為.故選：A3.下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.4.圓的圓心和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心與半徑即可.【詳解】由，所以圓心和半徑分別為.故選：D5.若橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B.3或5 C.5或8 D.8【答案】B【解析】【分析】結(jié)合橢圓性質(zhì)，分焦點(diǎn)在軸、軸上計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有，故，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有，故.故選：B.6.展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.45 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)，有，令，解得，有.故選：C.7.袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【分析】分別設(shè)事件“第一次取得白球”和“第二次取得紅球”，由條件概率計(jì)算公式求解即可求解.【詳解】設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录诙稳〉眉t球?yàn)槭录?，所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：.故選：B.8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐為陽(yáng)馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，以為基底表示出，從而確定的取值.詳解】，，

，，，，.故選：A.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)性質(zhì)與計(jì)算公式一一判定即可.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式可知，顯然兩式相等，故A正確；根據(jù)排列數(shù)公式可知，故B正確；易知，顯然兩式不等，故C錯(cuò)誤；，顯然兩式相等，故D正確.故選：ABD10.同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，則表示的隨機(jī)事件不可能是（）A.第一枚擲出5點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn) B.第一枚擲出3點(diǎn)，第二枚擲出3點(diǎn)C.第一枚擲出1點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn) D.第一枚擲出6點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的相關(guān)概念逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)橛浀谝幻恩蛔訑S出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，所以第一枚擲出5點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn)時(shí)，，第一枚擲出3點(diǎn)，第二枚擲出3點(diǎn)時(shí)，，第一枚擲出1點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn)時(shí)，，第一枚擲出6點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn)時(shí)，，所以表示的隨機(jī)事件不可能是A,B,C，可能是D.故選：ABC11.設(shè)兩條不同直線的方向向量分別是，平面的法向量是，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量研究空間位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由，為不同的直線，可知，且，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則且，又為不同的直線，所以，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若，則且，又，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，則，所以，故D正確.故選：BCD12.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.若的面積為20，則 B.雙曲線的離心率為C.的最小值為1 D.若為直角三角形，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)、兩點(diǎn)距離公式及三角形面積公式計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知，即，若面積為20，則，故A錯(cuò)誤；根據(jù)雙曲線方程可知的離心率，故B正確；易知，則，又或，所以時(shí)有，或時(shí)，故，時(shí)取得等號(hào)，故C正確；若為直角三角形，易知當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類(lèi)讀物7本，政治類(lèi)讀物9本，英語(yǔ)類(lèi)讀物8本，每本圖書(shū)各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有________種．【答案】24【解析】【分析】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可得.【詳解】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得.故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為與相交于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量坐標(biāo)公式求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)橐字狾為中點(diǎn)，所以，所以，，所以故答案為：15.某電子設(shè)備廠所用的元件由甲、乙兩家元件廠提供，根據(jù)以往的記錄，這兩個(gè)廠家的次品率分別為0.01，0.03，提供元件的份額分別為0.90，0.10．設(shè)這兩個(gè)廠家的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)里是均勻混合的，且無(wú)任何區(qū)分的標(biāo)志，現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取出一個(gè)元件，取到的元件是次品的概率為_(kāi)_______．【答案】0.012【解析】【分析】利用全概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲廠生產(chǎn)”，：“取得次品是乙廠生產(chǎn)”，由題意可知,所以由全概率公式知取得次品的概率為.故答案為：16.已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236），那么三位漸升數(shù)有________個(gè)，其中比516大的三位漸升數(shù)有________個(gè)．【答案】①.84②.10【解析】【分析】根據(jù)定義結(jié)合加法原理計(jì)算即可.【詳解】完成這件事需選出3個(gè)數(shù)，要滿足“漸升數(shù)”需分類(lèi)來(lái)解.當(dāng)百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為2時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有7種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為3時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有6種選法；…；當(dāng)百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為8時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有1種選法.由加法原理得百位上的數(shù)字為1的三位“漸升數(shù)”有（個(gè)）.同理，百位上的數(shù)字為2的三位“漸升數(shù)”有（個(gè)），百位上的數(shù)字為3的三位“漸升數(shù)”有（個(gè)），百位上的數(shù)字為4的“漸升數(shù)”有（個(gè)），百位上的數(shù)字為5的三位“漸升數(shù)”有（個(gè)），百位上的數(shù)字為6的三位“漸升數(shù)”有（個(gè)），百位上的數(shù)字為7的三位“漸升數(shù)”有1個(gè).根據(jù)加法原理得共有（個(gè)）“漸升數(shù)”.百位上的數(shù)字為5，6，7的三位“漸升數(shù)”均比516大，故比516大的三位“漸升數(shù)”有（個(gè)）.故答案為：84；10四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知兩點(diǎn)．（1）求直線的斜率和傾斜角；（2）求直線在軸上的截距．【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由直線的斜率公式計(jì)算可得的值，進(jìn)而分析可得答案；（2）根據(jù)題意，由（1）結(jié)論求出直線的方程，據(jù)此分析可得答案．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，直線的斜率為，傾斜角為，由兩點(diǎn)，得斜率，則，即．小問(wèn)2詳解】由（1）知，直線的斜率，則其方程為，即，令，則直線在軸上的截距為1．18.已知空間向量．（1）若，求實(shí)數(shù)與的值；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由共線向量定理得：，代入坐標(biāo)求解即可；（2）由于，則，求出的值即可得出.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，故可設(shè)，則，解得．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且，所以，解得．得，所以?9.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】19.最小正周期為，對(duì)稱中心為20.單調(diào)遞減區(qū)間為21.最小值為，最大值為【解析】【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期性及對(duì)稱性計(jì)算即可得；（2）由正弦型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得；（3）由正弦型函數(shù)的值域計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，函數(shù)的最小正周期為．令，則，函數(shù)的對(duì)稱中心為．【小問(wèn)2詳解】令，則，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)3詳解】，．．的最小值為，最大值為.20.某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．（1）求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；（2）若甲以領(lǐng)先乙時(shí)，記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果；（2）利用分布列步驟求解并求得期望.【小問(wèn)1詳解】甲3局全勝的概率為,乙3局全勝的概率為，進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為【小問(wèn)2詳解】的可能取值為1，2，，，故的分布列為：12故．21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個(gè)面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問(wèn)1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D(3,6,0),A(0,6,0)設(shè)平面的一個(gè)法向量所以，即令，可得記點(diǎn)到平面的距離為，則【小問(wèn)2詳解】由(1)可知平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的平面角為由圖可知，.22.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，代入運(yùn)算得解；（2）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程組，得到根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合，坐標(biāo)運(yùn)算得解；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，使得，