第13講三角恒等變換【學習目標】1.經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式，重點培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．能從兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式，掌握公式的結構形式，并能利用公式進行化簡、求值，重點提升數學運算核心素養(yǎng)．3.能利用Cα±β公式，誘導公式和同角三角函數的基本關系式推導兩角和與差的正弦、正切公式，重點培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)．4.掌握兩角和與差的正弦、正切公式，并能利用公式化簡、求值，重點提升數學運算核心素養(yǎng)．5.能利用兩角和的正弦、余弦公式、正切公式推導證明倍角公式．重點培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)．6.掌握倍角公式及變形，能利用公式解決簡單的三角函數式的求值、化簡和證明問題．重點提升數學運算核心素養(yǎng)．【知識導航】知識點一兩角差的余弦公式1．當α＝60°，β＝30°時，cosα－cosβ等于多少？cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)成立嗎？提示：cos60°－cos30°＝eq\f(1－\r(3),2)，cos(60°－30°)＝eq\f(\r(3),2)，故cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)不成立．2．單位圓中(如圖)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐標是什么？eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角是多少？提示：A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ).eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角是α－β.3．根據上圖，分別利用平面向量數量積的定義及坐標運算，求出eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的數量積各是什么？提示：①eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos(α－β)＝cos(α－β)．②eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.4．根據上面的計算可以得出什么結論？提示：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.Cα－β：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式結構：公式右端的兩部分為同名三角函數的積，連接符號與左邊角的連接符號知識點二兩角和的余弦公式如何用兩角差的余弦公式推導兩角和的余弦公式？提示：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．(1)適用條件：α，β都是任意角．(2)記憶口訣：“余余正正，符號相反”．[點撥]比較公式Cα＋β和Cα－β，可得二者的結構特征：知識點三兩角和與差的正弦公式1．如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和的正弦公式？提示：sin(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α＋β）))＝cos[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β]＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cosβ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.2．怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？提示：用－β代換β，即可得sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.兩角和與差的正弦公式名稱公式簡記符號使用條件兩角和的正弦sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβSα＋β任意角兩角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβSα－β任意角知識點四兩角和與差的正切公式1．怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式？提示：tan(α＋β)＝eq\f(sin（α＋β）,cos（α＋β）)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．2．由兩角和的正切公式如何得到兩角差的正切公式？提示：用－β替換tan(α＋β)中的β即可得到．1．兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切Tα＋βtan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，tanα＋tanβ≠1兩角差的正切Tα－βtan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)tanα＋tanβ≠－12.兩角和與差的正切公式的變形(1)Tα＋β的變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）)．(2)Tα－β的變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．tanαtanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tan（α－β）)－1．[點撥]1．公式Sα±β，Cα±β，Tα±β的內在聯系Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β，Sα－β，Cα－β，Tα－β這6個和與差的三角函數公式之間具有緊密的聯系(有時可以互相轉化)，這種聯系可用框圖形式表示，如圖所示．2．化一公式(輔助角公式)形如asinθ＋bcosθ(a，b都不為零)的式子引入輔助角可變形為Asin(θ＋φ)的形式，有時也可變形為Acos(θ＋φ)的形式．asinθ＋bcosθ＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinθ＋\f(b,\r(a2＋b2))cosθ)).令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，則原式＝eq\r(a2＋b2)(sinθcosφ＋cosθsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ)．其中φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)確定，φ的終邊所在的象限由點(a，b)來確定．知識點無倍角公式1．角eq\f(α,2)＋β＋40°與α＋2β＋80°是什么關系？提示：2倍．2．在已學公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中，令α＝β，公式還成立嗎？你能得到什么結論？提示：成立．sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).1．倍角公式記法公式推導S2αsin2α＝2sinαcosαSα＋βeq\o(→,\s\up7(令β＝α))S2αC2αcos2α＝cos2α－sin2αCα＋βeq\o(→,\s\up7(令β＝α))C2αcos2α＝2cos2α－1cos2α＝1－2sin2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αT2atan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)Tα＋βeq\o(→,\s\up7(令β＝α))T2α2.常用升降冪公式(1)升冪縮角變換．1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α．(2)降冪擴角變換．cos2α＝eq\f(1,2)(1＋cos2α)，sin2α＝eq\f(1,2)(1－cos2α)．[理解]對“二倍角”應該有更廣義的理解，不僅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍，3α是eq\f(3α,2)的二倍等，這里蘊含著換元思想，這就是說，“倍”是相對而言的，描述了兩個數量之間的關系．[拓展]三倍角公式：(1)sin3θ＝3sinθ－4sin3θ；(2)cos3θ＝4cos3θ－3cosθ.推導過程：(1)sin3θ＝sin(2θ＋θ)＝sin2θcosθ＋cos2θsinθ＝2sinθcos2θ＋(1－2sin2θ)sinθ＝2sinθ(1－sin2θ)＋(1－2sin2θ)sinθ＝3sinθ－4sin3θ.(2)cos3θ＝cos(2θ＋θ)＝cos2θcosθ－sin2θsinθ＝(2cos2θ－1)cosθ－2(1－cos2θ)cosθ＝4cos3θ－3cosθ.【知識預習】考點一：兩角和與差的正弦1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以（1），因為，所以（2），（1）+（2）得，∴.故選：A．2．的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A.4．（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】；；原式.故選：C5．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：.故選：B.考點二：兩角和與差的余弦6．（

）A． B． C． D．—【答案】C【詳解】.故選：C7．計算的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】.故選：B．8．（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】；故選：B.9．已知為銳角，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【詳解】由題設可得，故選：A.10．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：.故選：B.考點三：倍角公式11．若，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，所以，故選：C.12．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，因此，故選：A13．若則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D14．函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，最小正周期為.故選：A15．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得：故選：A考點四：三角恒等變換的應用16．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以.故選：D.17．已知函數，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】解：由題意得：由可得：故選：B18．函數，則（

）A．的值域為 B．在上單調遞增C．有無數個零點 D．在定義域內不存在遞減區(qū)間【答案】D【詳解】解：定義域為：，又，因為，故，故的值域為，即無零點，故A、C項錯誤.因為，在上，的單調遞增區(qū)間為，故B項錯誤；，故在定義域內不存在減區(qū)間，D項正確.故選：D.19．已知函數，則f(x)（

）A．是奇函數B．是偶函數C．既是奇函數又是偶函數D．既不是奇函數又不是偶函數【答案】A【詳解】故f(x)是奇函數.故選：A.20．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得，平方可得，所以．所以．故選：A.【對點訓練】一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，所以，所以，所以，其中，所以，則，所以，所以.故選:D.2．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，可得由，可得，又，則則故選：C3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，故選：D.4．該函數的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因為，又，所以函數的最大值是2.故選：C.5．函數的最小正周期是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】(其中)，．故選：C．6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，∴，所以，∴，所以，故選：A．8．設，，，則有（

）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：，，，，，，故選：C二、多選題9．已知函數，下列結論中正確的是（

）A． B．函數的圖象關于直線對稱C．的最小正周期為 D．的值域為【答案】ABC【詳解】，A選項正確，，所以函數的圖象關于直線對稱，B選項正確，的最小正周期為，C選項正確，的值域為，D選項錯誤.故選：ABC10．已知函數的最小正周期為，且對于恒成立，則（

）A．在區(qū)間單調遞減B．在區(qū)間有兩個零點C．是曲線的一個對稱中心D．當時，函數取得極值【答案】AB【詳解】，，對于恒成立，解得，對于A，，，在上單調遞減，故在區(qū)間單調遞減，A正確；對于B，，，在上有兩個零點，故在區(qū)間有兩個零點，B正確；對于C，，故不是曲線的對稱中心，C錯誤；對于D，，故當時，函數不取極值，D錯誤；故選：AB.三、填空題11．已知，則__________.【答案】##【詳解】因為，，，因為，所以，所以，故故答案為：.12．已知，，則的值為______．【答案】##0.5【詳解】原式.故答案為：.四、解答題13．已知函數.(1)求函數的最小正周期；(2)求函數在上的最值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）解：∵，∴，即函數的最小正周期為．（2）解：在區(qū)間上，，∴，∴，∴的最大值為，的最小值為．14．已知函數的最大值為．（1）求常數的值．（2）求函數的單調遞減區(qū)間．（3）若，求函數的值域．【答案】（1）；（2）單調遞減區(qū)間為，；（3）【詳解】.（1）由，解得.（2）由，則，，解得，，所以函數的單調遞減區(qū)間為，，（3）由，則，所以，所以，所以函數的值域為.15．函數（，，）在一個周期內的圖象如圖所示，為該圖象上三個點，其中為相鄰的最高點與最低點，．且，.(1)求的解析式；(2)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象，分析在的單調性及最值．【答案】(1)；(2)在單調遞減；在單調遞增，，.【詳解】（1）過作軸于，連接與軸交于，則.設，則，由，即，可得進而可得，，記的最小正周期為，則，得，故，又，且，得，即；（2）依題意，由，可得單調減區(qū)間為；由，可得單調增區(qū)間為；故在單調遞減；在單調遞增則，設表示中最大數，.【提升作業(yè)】一、單選題1．已知，則的值為（

）A． B． C． D．