PAGEPAGE12013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項:本試卷分為兩部分,第一部分為選擇題，第二部分為非選擇題.?？忌I到試卷后，須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準考證號，并在答題卡上填涂對應的試卷類型信息.。所有解答必須填寫在答題卡上指定區(qū)域內?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(共50分)一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設全集為R,函數(shù)的定義域為M,則為 (A)[－1,1] (B)(－1,1)(C) (D)【答案】D【解析】,所以選D輸入xIf輸入xIfx≤50Theny=0.5*xElsey=25+0.6*(x-50)EndIf輸出y輸出y的值為 (A)25 (B)30 (C)31 (D)61【答案】C【解析】,所以選C3.設a,b為向量,則“”是“a//b”的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若,為真；相反，若，則。所以“”是“a//b”的充分必要條件。另：當為零向量時，上述結論也成立。所以選C4.某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調查,將840人按1,2,…,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為 (A)11 (B)12 (C)13 (D)14【答案】B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人。,所以從編號1～480的人中，恰好抽取24人，接著從編號481～720共240人中抽取12人。故選B5.如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是 (A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】該地點信號的概率=所以該地點無信號的概率是。選A6.設z1,z2是復數(shù),則下列命題中的假命題是 (A)若,則 (B)若,則 (C)若,則 (D)若,則【答案】D【解析】對（A），若,則，所以為真。對（B），若,則互為共軛復數(shù)，所以為真。對（C），設若,則，，所以為真

對（D），若則為真，而，所以為假選D7.設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則△ABC的形狀為 (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)不確定【答案】B【解析】因為，所以又。聯(lián)立兩式得。所以。選B8.設函數(shù),則當x>0時,表達式的展開式中常數(shù)項為 (A)－20 (B)20 (C)－15 (D)15【答案】A【解析】當?shù)恼归_式中，常數(shù)項為。所以選A9.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位 (A)[15,20] (B)[12,25] (C)[10,30] (D)[20,30]【答案】C【解析】設矩形高為y,由三角形相似得:利用線性規(guī)劃知識解得，選C10.設[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對任意實數(shù)x,y,有 (A)[－x]＝－[x] (B)[2x]＝2[x] (C)[x＋y]≤[x]＋[y] (D)[x－y]≤[x]－[y]【答案】D【解析】代值法。對A,設x=-1.8,則[-x]=1,-[x]=2,所以A選項為假。對B,設x=-1.4,[2x]=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以B選項為假。對C,設x=y=1.8,對A,[x+y]=[3.6]=3,[x]+[y]=2,所以C選項為假。故D選項為真。所以選D二、填空題：把答案填寫在答題卡相應題號后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.雙曲線的離心率為,則m等于9.【答案】9【解析】12.某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為.【答案】【解析】立體圖為半個圓錐體，底面是半徑為1的半圓，高為2。所以體積13.若點(x,y)位于曲線與y＝2所圍成的封閉區(qū)域,則2x－y的最小值為-4.【答案】-4【解析】封閉區(qū)域為三角形。令|x–1|=2,解得，所以三角形三個頂點坐標分別為（1,0,），（-1,2），（3,2），故2x－y在點（-1,2）取最小值-414.觀察下列等式:…照此規(guī)律,第n個等式可為.【答案】【解析】分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況。第n個等式為。當n為偶數(shù)時，分組求和：。當n為奇數(shù)時，第n個等式=。綜上，第n個等式：15.(考生請注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分)A.(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a＋b＝1,mn＝2,則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為2.【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，,且僅當時取最小值2B.(幾何證明選做題)如圖,弦AB與CD相交于內一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知PD＝2DA＝2,則PE＝.【答案】【解析】C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),則圓的參數(shù)方程為.【答案】【解析】。所以圓的參數(shù)方程為三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）16.(本小題滿分12分)已知向量,設函數(shù). (Ⅰ)求f(x)的最小正周期. (Ⅱ)求f(x)在上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ). (Ⅱ).【解析】(Ⅰ)=。最小正周期。所以最小正周期為。(Ⅱ)..所以，f(x)在上的最大值和最小值分別為.17.(本小題滿分12分)設是公比為q的等比數(shù)列. (Ⅰ)導的前n項和公式; (Ⅱ)設q≠1,證明數(shù)列不是等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)見下； 【解析】(Ⅰ)分兩種情況討論。①②.上面兩式錯位相減:。③綜上，(Ⅱ)使用反證法。設是公比q≠1的等比數(shù)列,假設數(shù)列是等比數(shù)列.則①當=0成立，則不是等比數(shù)列。②當成立，則。這與題目條件q≠1矛盾。③綜上兩種情況，假設數(shù)列是等比數(shù)列均不成立，所以當q≠1時,數(shù)列不是等比數(shù)列。（證畢）18.(本小題滿分12分)如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,. (Ⅰ)證明:A1C⊥平面BB1D1D (Ⅱ)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.【答案】(Ⅰ)見下; (Ⅱ)= (Ⅱ)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.【解析】(Ⅰ)；又因為，在正方形ABCD中，。在正方形ABCD中,AO=1...(證畢)(Ⅱ)建立直角坐標系統(tǒng),使用向量解題。以O為原點，以OC為X軸正方向，以OB為Y軸正方向。則.由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一個法向量設平面OCB1的法向量為。所以，平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為19.(本小題滿分12分)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手. (Ⅰ)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率; (Ⅱ)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學期望.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)X的分布列如下：X0123P數(shù)學期望【解析】(Ⅰ)設事件A表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手。觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙未選中3號歌手的概率為。所以P(A)=.因此，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為(Ⅱ)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取0,1,2,3.觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙選中3號歌手的概率為。當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0，P(X=0)=.當觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時，這時X=1，P(X=1)=.當觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時，這時X=2，P(X=2)=.當觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時，這時X=3，P(X=3)=.X的分布列如下表：X0123P所以，數(shù)學期望20.(本小題滿分13分)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8. (Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程; (Ⅱ)已知點B(－1,0),設不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線過定點.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)定點（1,0）【解析】(Ⅰ)A(4,0),設圓心C(Ⅱ)點B(－1,0),.直線PQ方程為：所以，直線PQ過定點（1,0）21.(本小題滿分14分)已知函數(shù). (Ⅰ)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實數(shù)k的值; (Ⅱ)設x>0,討論曲線y＝f(x)與曲線公共點的個數(shù). (Ⅲ)設a<b,比較與的大小,并說明理由.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)當m時,有