專題19恒成立問題1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心鄰域內，與可導且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心鄰域內，與可導且；（3），那么=．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．例1、（2023下·河南許昌·高二?？计谥校┮阎獙θ我獾?，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對已知不等式進行變形，通過構造函數(shù)法，利用導數(shù)的性質、常變量分離法進行求解即可.【詳解】因為，所以①，令，則，設，所以，當時，，當x>1時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，所以在單調遞增，因為①式可化為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，故選：C.例2、（2023下·廣東深圳·高二蛇口育才中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將問題轉化為在上有解，然后分離參數(shù)即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，所以在上有解，且，所以，，令，則，當時，，則函數(shù)單調遞減，當時，，則函數(shù)單調遞增，且，所以當時，由最大值，即.故選：D例3、（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，轉化為恒成立，分，和，三種情況討論，結合恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和最小值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為函數(shù)單調遞增，所以恒成立，當時，，不恒成立，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)均為增函數(shù)且均存在零點，因為恒成立，所以此時兩函數(shù)的零點相同，由得，所以，解得，滿足題意；當時，可得函數(shù)恒成立，所以此時需恒成立，即恒成立，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，則，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為.故選：C．例4、（2024上·河北·高三石家莊精英中學校聯(lián)考期末）設實數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將指對混合形式變形為同構形式，再構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值，得到參數(shù)范圍.【詳解】由，則，，當時，，恒成立，即任意，對恒成立；當時，，即，其中，構造函數(shù)，則.，因為，所以，單調遞增；則有，則，構造函數(shù)，則，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則，即當時，，故要使恒成立，則，即的取值范圍為.故選：B.【點睛】一般地，在等式或不等式中指對形同時出現(xiàn)，可能需要利用指對同構來解決問題.解決問題的關鍵在于指對分離，構造“指冪—冪對”形式，再構造函數(shù)求解.常見的同構式有：與，與等.例5、（2023上·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將所求不等式變形為，令，分析函數(shù)的單調性，將所求不等式變形為，可得出，可得出，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】對任意的，，則，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，且，則，則，可得，令，其中，則，由，可得，由，可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，故，故.故答案為：.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.例6、（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）若存在，使得，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先注意到，故考慮切線放縮，從而，所以，考慮取等條件是否成立即可.【詳解】不妨設，求導得，而在上單調遞增，且，所以當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以，所以等號成立當且僅當，注意到，所以考慮切線放縮有，從而，又，所以，由以上分析可知不等式取等，當且僅當，，接下來考慮是否成立：不妨設，則，即單調遞增，注意到，所以由零點存在定理可知，使得.綜上所述：若存在，使得，則只需，從而的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決問題的關鍵是考慮切線放縮，從而，另一個關鍵的地方是證明是否成立，從而即可順利求解.例7、（2024上·浙江寧波·高二余姚中學校聯(lián)考期末）對任意，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．【答案】【分析】變形為，構造，求導得到單調性進而恒成立，故，分當和兩種情況，結合單調性和最值，得到，得到答案.【詳解】由題意得，因為，所以，即，令，則恒成立，，令得，，單調遞增，令得，，單調遞減，且當時，恒成立，當時，恒成立，因為，所以恒成立，故，當時，，此時滿足恒成立，當，即時，由于在上單調遞增，由得，令，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故，，a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，通常使用同構來進行求解，本題難點是兩邊同時乘以，變形得到，從而構造進行求解.例8、（2024上·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯(lián)考期末）若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】構建，根據(jù)題意結合的單調性可得在內恒成立，令，利用導數(shù)求的單調性和最值，結合恒成立問題分析求解.【詳解】令，可知的定義域為，且在上單調遞增，則在上單調遞增，因為，則，即，結合的單調性可知，整理得在內恒成立，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以的最大值為，則，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：令，整理可得，利用同構可得，利用函數(shù)單調性分析可得在內恒成立.例9、（2024上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)證明：當時，；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將題意轉化為證明，直接求導證明即可.（2）根據(jù)題意將不等式進行參變分離，得到在上恒成立，令，求函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）因為，所以，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，所以得證（2）因為，且恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則，所以在上單調遞增，又因為，，所以存在，使得，當時，，也即，此時函數(shù)單調遞減；當時，，也即，此時函數(shù)單調遞增；故，因為，所以，則，令，則，所以在上單調遞增，則有，所以，所以，則，故的取值范圍為【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.例10．（2024上·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在時取得極值．(1)求實數(shù)的值；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由極值點定義可得，解得，進檢驗符合題意；（2）結合（1）中結論可得出函數(shù)在上的單調性，求出最小值解不等式可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）易知，依題意，解得，此時，當或時，；當時，，即函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以．（2）由（1）得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為．例11．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)當時，求的最小值；(2)若關于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意寫出函數(shù)解析式，利用導數(shù)研究其單調性，求得其最值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得導數(shù)，結合分類討論思想，可得答案.【詳解】（1）當時，，則由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故．（2）由題意可得．當時，由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故．因為不等式恒成立，所以，解得．當時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．例12．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)若，函數(shù)的極大值為，求實數(shù)a的值；(2)若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）先對函數(shù)求導，分別討論，兩種情況，根據(jù)導數(shù)的方法判定函數(shù)單調性，得出極值，根據(jù)題中條件，即可得出結果；（2）令，根據(jù)題中條件，將不等式恒成立問題轉化為對恒成立，等價于，對恒成立，先討論，再討論時，，，對其求導，得到，令，，再分別討論，兩種情況，根據(jù)導數(shù)的方法，即可得出結果.【詳解】（1）由題意，，（i）當時，，令，得，，得，所以在單調遞增，單調遞減，所以的極大值為，不合題意，（ii）當時，，令，得，，得或，所以在單調遞增，單調遞減，所以的極大值為，得，綜上所述；（2）令，，當時，，則對恒成立等價于，即，對恒成立，（i）當時，，，，此時，不合題意.（ii）當時，令，，則，其中，，令，，則在區(qū)間上單調遞增，①時，，所以對，，從而在上單調遞增，所以對任意，，即不等式在上恒成立，②時，由，及在區(qū)間上單調遞增，所以存在唯一的使得，且時，，從而時，，所以在區(qū)間上單調遞減，則時，，即，不符合題意，綜上求得：.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．例13．（2024上·重慶·高二重慶一中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)設，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件分，兩種情況對函數(shù)求導討論函數(shù)的單調性；（2）令，等價于在上恒成立，分，，三種情況，結合，論證不等式恒成立即可.【詳解】（1）,即，①若，函數(shù)定義域為，，當，有，在上單調遞增；當時，有，在上單調遞減；②若，函數(shù)定義域為，，當時，有，在上單調遞減.（2）由（1）知，當時，，，所以有，即；當，定義域為：，令，等價于在上恒成立；①當時，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，由此有：；②當時，，所以在上單調遞增，因為，所以，所以有：；③當時，，，，所以，因為，所以，所以有：綜上所述；時恒成立.例14．（2024上·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若恰好有兩個零點，，且恒成立，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)正負判斷單調性；（2）由推出，結合換元，，證明，令轉化為，繼而構造函數(shù)，判斷其單調性，求出最值，從而證明結論.【詳解】（1）因為，，所以.若，則在上恒成立，在上單調遞增，若，則當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）由，得，令，則.當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，且當時，，當時，，則，，.由，，得.令，，則，，則，即，則恒成立等價于恒成立.因為，所以恒成立等價于恒成立.令，則不等式轉化為恒成立.令，則，令，，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.因為，所以當時，，則，當時，，則，則在上單調遞增，在上單調遞減.故，從而.【點睛】思路點睛：本題考查了導數(shù)知識的綜合應用，綜合性強，計算量大；難點在第二問結合函數(shù)的零點證明不等式問題，解答時要根據(jù)推出，結合換元，，證明，令轉化為，繼而構造函數(shù)，判斷其單調性，求出最值，從而證明結論.例15．（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)討論的單調性；(2)當時，若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導后對分類討論即可得；（2）由函性質可得時，，則，再結合函數(shù)單調性進行分類討論計算即可得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，①當時，令，得，則當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞