課時分層作業(yè)(二)兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用一、選擇題1．現(xiàn)有小麥、大豆、玉米、高粱4種不同農(nóng)作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上進(jìn)行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農(nóng)作物，則不同的種植方法共有()A．24種B．30種C．36種D．48種2．一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有()A．6種 B．8種C．36種 D．48種3．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取2個，其中一個作為底數(shù)，另一個作為真數(shù)，則可以得到不同的對數(shù)值的個數(shù)為()A．64 B．56C．53 D．514．(多選)某校安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐，每名同學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是()A．不同的安排方法有43種B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種5．甲與其四位同事各有一輛汽車，甲的車牌尾號為9，其四位同事的車牌尾號分別是0，2，1，5．為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾號為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾號為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()A．64 B．80C．96 D．120二、填空題6．將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有________種．7．如圖所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有________種不同的涂法．8．在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個，其中偶數(shù)有________個．三、解答題9．在3000到8000之間有多少個無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？10．(多選)用0，1，2，3，…，9這十個數(shù)字可組成不同的()A．三位密碼900個B．三位數(shù)900個C．無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)648個D．小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)144個11．(多選)(2023·浙江省溫州市期中)某校實行選課走班制度，小C同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且他的生物課要求在B層上，該校周一上午選課走班的課程(上午共設(shè)置4節(jié)課)安排如表所示，小C同學(xué)選擇的三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是()第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．此人有6種選課方式B．此人有5種選課方式C．自習(xí)不可能安排在第1節(jié)D．自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)12．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，然后由小到大排成一個數(shù)列，這個數(shù)列的項數(shù)為________，這個數(shù)列的第90項為________．13．(2023·陜西西安中學(xué)高二期中)某外語組有5人，每人至少會英語、法語中的一門，其中3人會英語，3人會法語，從中選會英語和法語的各一人去做翻譯工作，則不同的選法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)14．將三個分別標(biāo)有A，B，C的球隨機(jī)放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：(1)1號盒中無球的不同放法種數(shù)；(2)1號盒中有球的不同放法種數(shù)．15．一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．(1)如圖1，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？(2)如圖2，圓環(huán)分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？課時分層作業(yè)(二)1．D[如圖，假設(shè)4個區(qū)域為A，B，C，D，分4步進(jìn)行分析：①對于A，有4種農(nóng)作物供選擇；②對于B，與A相鄰，有3種農(nóng)作物供選擇；③對于C，與A，B相鄰，有2種農(nóng)作物供選擇；④對于D，與B，C相鄰，有2種農(nóng)作物供選擇．則不同的種植方法種數(shù)為4×3×2×2＝48，故選D．]2．D[如圖所示，由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，選定一個區(qū)域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結(jié)果，參觀完第一個區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個區(qū)域，只剩下最后一個區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線．]3．C[由于1不能作為底數(shù)，故從其余各數(shù)中任取1個作為底數(shù)，1作為真數(shù)，對數(shù)值均為0．從除1外的其余各數(shù)中任取2個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成對數(shù)式8×7＝56(個)．又log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，對數(shù)值重復(fù)了4個，故不同的對數(shù)值的個數(shù)為1＋56－4＝53．]4．ABD[A√每名同學(xué)有4種選法，則不同的安排方法有4×4×4＝43(種)B√若甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個工廠，則不同的安排方法有3×3×3＝27(種)，則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有43－27＝37(種)C×若A同學(xué)必須去甲工廠，則剩下的兩名同學(xué)安排到4個工廠，不同的安排方法有4×4＝16(種)D√若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有4×3×2＝24(種)]5．B[5日至9日，有3個奇數(shù)日，2個偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2＝4(種)．第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類討論：第一類，選1天安排甲的車，不同的用車方案共有3×2×2＝12(種)；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2×2＝8(種)．綜上，不同的用車方案種數(shù)為4×(12＋8)＝80，故選B．]6．42[從左往右5塊試驗田分別有3，2，2，2，2種種植方法，共有3×2×2×2×2＝48(種)方法，其中5塊試驗田只種植2種作物共有3×2×1×1×1＝6(種)方法，所以有48－6＝42(種)不同的種植方法．]7．18[①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法．所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法．]8．85[十位上的數(shù)為1時，有213，214，312，314，412，413，共6個，十位上的數(shù)為2時，有324，423，共2個，所以共有6＋2＝8(個)．偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個．]9．解：分兩類：一類是以3，5，7為首位的四位奇數(shù)，可分三步完成：先排千位有3種方法，再排個位有4種方法，最后排中間的兩個數(shù)有8×7種方法，所以滿足要求的數(shù)有3×4×8×7＝672(個)．另一類是首位是4或6的四位奇數(shù)，也可分三步完成，滿足要求的數(shù)有2×5×8×7＝560(個)．由分類加法計數(shù)原理得，滿足要求的數(shù)共有672＋560＝1232(個)．10．BCD[對于A，組成三位密碼時，每一位上的數(shù)字都有10種選法，所以共有10×10×10＝1000(個)；對于B，由于0不能在百位，所以百位上的數(shù)字有9種選法，十位與個位上的數(shù)字均有10種選法，所以不同的三位數(shù)共有9×10×10＝900(個)；對于C，百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有9×9×8＝648(個)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；對于D，小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)，應(yīng)滿足的條件是：首位只能從1，2，3，4中選，個位必須為奇數(shù)，按首位分兩類：第一類，首位為1或3時，個位有4種選法，十位有8種選法，所以共有4×8×2＝64(種)；第二類，首位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，所以共有5×8×2＝80(種)．由分類加法計數(shù)原理知，共有64＋80＝144(種)．]11．BD[因為生物課要求在B層上，只有第2，3節(jié)課，故分兩類進(jìn)行討論：第一類，若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，政治有2種選法，故有2×2＝4(種)選法．第二類，若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選第2節(jié)，故有1種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理得到選課方式共有4＋1＝5(種)，故A錯誤，B正確；對于選項C，自習(xí)可以安排在4節(jié)課的任意一節(jié)，故C錯誤，D正確．故選BD．]12．120532[第一步確定百位數(shù)，有6種方法，第二步確定十位數(shù)有5種方法，第三步確定個位數(shù)有4種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有N＝6×5×4＝120(個)三位數(shù)．所以該數(shù)列的項數(shù)為120．百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80(個)，百位數(shù)是5的三位數(shù)中，十位是1或2的共有4＋4＝8(個)，故第88個為526、第89個為531、第90個為532．]13．8[由集合知識，可知既會英語又會法語的有3＋3－5＝1(人)，僅會英語的有3－1＝2(人)，僅會法語的有3－1＝2(人)．法一：按僅會英語的2人被選中的人數(shù)分兩類：第一類，從僅會英語的2人中選1人，從會法語的3人中選1人，此時選法有2×3＝6(種)；第二類，僅會英語的2人均未入選，則必選既會英語又會法語的人，再從僅會法語的2人中選1人，此時選法有1×2＝2(種)．綜上，不同的選法種數(shù)為6＋2＝8．法二：按既會英語又會法語的人是否被選中分兩類：第一類，不選既會英語又會法語的人，此時選法有2×2＝4(種)；第二類，選擇既會英語又會法語的人，則需從僅會英語或法語的4人中選1人，選法有1×4＝4(種)．綜上，不同的選法種數(shù)為4＋4＝8．]14．解：(1)1號盒中無球，即A，B，C三球只能放入2，3，4號盒子中，有33＝27(種)放法；(2)1號盒中有球可分三類：第一類是1號盒中有一個球，共有3×32＝27(種)放法，第二類是1號盒中有兩個球，共有3×3＝9(種