計算機圖形學第四章教案2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新1第1頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新2

一般把研究如何在計算機中建立恰當?shù)哪Ｐ捅硎静煌瑘D形對象的技術稱為造型技術。 有兩類圖形對象： 規(guī)則對象：幾何造型、幾何模型 不規(guī)則對象：第2頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新34.1.1基本圖形元素與段的概念4.1基本概念基本圖形元素：圖素或圖元、體素。圖素是指可以用一定的幾何參數(shù)和屬性參數(shù)描述的最基本的圖形輸出元素。例如點、線、圓等第3頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新4體素是三維空間中可以用有限個尺寸參數(shù)定位和定形的體，常有三種定義形式：(1)從實際形體中選擇出來，可用一些確定的尺寸參數(shù)控制其最終位置和形狀的一組單元實體(2)由參數(shù)定義的一條(或一組)輪廓線沿一條(或一組)空間參數(shù)曲線作掃描運動而產(chǎn)生的形體。(3)用代數(shù)半空間定義的形體第4頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新5段（也稱圖段、結構和對象）段是指具有邏輯意義的有限個圖素（或體素）及其附加屬性的集合，是用基本圖素或體素按照一定的結構規(guī)則形成的。第5頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新6圖素或體素用數(shù)據(jù)來描述，段用規(guī)則來描述。段可以嵌套段一般具有三個特性：可見性、醒目性、可選擇性。第6頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新74.1.2幾何信息與拓撲信息圖形對象及構成它的點、線、面的位置、相互間關系和幾何尺寸等都是圖形信息；表示圖形對象的線型、顏色、亮度以及供模擬、分析用的質量、比重、體積等數(shù)據(jù)，是有關對象的非圖形信息。第7頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新8圖形信息又包括：幾何信息：形體在歐氏空間中的位置和大小拓撲信息：形體各分量（點、邊、面）的數(shù)目及其相互間的連接關系。

1.幾何信息

(1)幾何分量的數(shù)學表示第8頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新9(2)幾何分量之間的相互關系第9頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新10幾何信息的二義性2.拓樸信息平面立體的幾何分量之間一共有九種拓撲關系第10頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新11

面相鄰性f:{f}

面-頂點包含性f:{v}

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頂點—面相鄰性v:{f}

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圖4-3平面立體的九種拓撲關系第11頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新12剛體運動：不改變圖形上任意兩點間的距離，也不改變圖形的幾何性質的運動。拓撲運動：允許形體作彈性運動，即在拓撲關系中，對圖形可隨意地伸張扭曲。但圖上各個點仍為不同的點，決不允許把不同的點合并成一個點。 拓撲等價、拓撲性質第12頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新134.1.3坐標系第13頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新14建模(造型)坐標系：用來定義基本圖素和圖段，對于定義的每一個形體和圖素都具有各自的子坐標原點和長度單位，這樣可以方便形體和圖素的定義。這里定義的形體和圖素經(jīng)調用可放在用戶坐標系的指定位置。因此造型坐標系又稱為局部坐標系。而用戶坐標系稱為全局坐標系。用戶坐標系：又稱為世界坐標系。用來定義用戶整圖或最高層圖形結構，用戶可根據(jù)相應的情況選擇相應的坐標系。觀察坐標系：可在用戶坐標系的任何位置、任何方向定義。有兩個主要用途，一是用于指定裁剪空間，確定形體的哪一部分要顯示輸出；二是通過定義觀察(投影)平面，把三維形體的用戶坐標轉換為規(guī)格化的設備坐標。規(guī)格化的設備坐標系：用來定義視圖區(qū)，其取值范圍在[0,1]之間，是GKS內部使用的規(guī)范設備坐標。設備坐標系：是圖形輸入輸出設備的坐標系。第14頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新154.1.4幾何元素點：是0維幾何元素，分端點、交點、切點和孤立點等。 在自由曲線面的描述中常用三種類型的點：控制點、型值點、插值點

邊：是1維幾何元素，是兩個鄰面（正則形體）或多個鄰面（非正則形體）的交界。直線邊、曲線邊第15頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新16面：是2維幾何元素，是形體上一個有限、非零的區(qū)域，由一個外環(huán)和若干個內環(huán)界定其范圍。一個面可以無內環(huán)，但必須有一個且只有一個外環(huán)。面有方向性第16頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新17環(huán)是有序、有向邊（直線段或曲線段）組成的面的封閉邊界。環(huán)中的邊不能相交，相鄰兩條邊共享一個端點確定面的最大外邊界的環(huán)稱之為外環(huán)確定面中內孔或凸臺邊界的環(huán)稱之為內環(huán)在面上沿一個環(huán)前進，其左側總是面內，右側總是面外。第17頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新18體是3維幾何元素，由封閉表面圍成空間，也是歐氏空間中非空、有界的封閉子集，其邊界是有限面的并集。第18頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新194.1.5實體的定義第19頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新20客觀存在的三維形體具有這樣一些性質：(1)剛性：一個物體必須具有一定的形狀。(2)維數(shù)的一致性：各部分均應是三維的。(3)占據(jù)有限的空間：即體積有限。(4)邊界的確定性：根據(jù)物體的邊界能區(qū)別出物體的內部和外部。(5)封閉性：經(jīng)過一系列剛體運動仍為有效實體。 三維空間中的物體是一個內部連通的三維點集，是由其內部的點集及緊緊包著這些點的表皮組成的。第20頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新21利用正則集的概念來定義上述的三維有效物體：點的領域：如果P是點集S的一個元素，那么點P的以R（R>0）為半徑的領域指的是圍繞點P的半徑為R的小球（二維情況下為小圓）。內點為點集中的這樣一些點，它們具有完全包含于該點集的充分小的領域。邊界點第21頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新22定義點集的正則運算r為：正則運算即為先對物體取內點再取閉包的運算。r·A稱為A的正則集。第22頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新23圖4-7正則形體第23頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新24 二維流形指的是對于實體表面上的任意一點，都可以找到一個圍繞著它的任意小的領域，該領域與平面上的一個圓盤是拓撲等價的。第24頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新25實體：對于一個占據(jù)有限空間的正則形體，如果其表面是二維流形，則該正則形體為實體。第25頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新264.1.6正則集合運算

實際上就是利用有效實體的封閉性，即一個有效實體經(jīng)過一系列集合運算后仍為一個有效實體。把能夠產(chǎn)生正則形體的集合運算稱為正則集合運算。其相應的正則算子用∪*、∩*、－*表示。第26頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新27第27頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新28有兩種方法實現(xiàn)正則運算間接方式： 主要基于點集拓撲的領域概念，即集合S在點P附近的局部幾何性質：當且僅當P的領域為滿時，P在S之內；當且僅當P的領域為空時，P在S之外；當且僅當P的領域既不滿也不空時，P在S的邊界上。利用這一性質就可對普通集合運算得到的結果進行檢查。如圖第28頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新29第29頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新30

直接方式：建立在集合成員分類的基礎上。 在三維空間中，給定一個正則形體S，空間點集被分為三個子集：S的內部點集S的邊界點集S之外的點集為了產(chǎn)生正則形體，需要決定一個特定的點集屬于哪一個子集，也就是集合成員分類問題。第30頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新31

分類函數(shù)：若給定一個正則形體S及一個有界面G，則G被S分割為位于S內、位于S外、位于S邊界上的面三部分，則G相對于S的分類函數(shù)可為：

C(S,G)={GinS,GoutS,GonS}其中，第31頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新32

用-G表示有界面G的反向面。即，如果有界面G在P點的法向為NP(G)，則有界面-G在P點的法向就是-NP(G)。 于是：GonS={Gshared(b·S),Gshared(-b·S)}

其中，第32頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新33則G相對于S的分類函數(shù)C(S,G)可為：C(S,G)={GinS,GoutS,Gshared(b·S),Gshared(-b·S)}由于一個正則形體可由它的邊界來表示，因此只需定義三個正則集合算子關于邊界面的表達式：B)}(b-

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B,outA{bB)(Ab***....=.....=.....=.∩∪第33頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新34B)}(b-

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B,outA{bB)(Ab***....=.....=.....=.∩∪第34頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新354.1.7平面多面體與歐拉公式平面多面體是表面由平面多邊形構成的三維物體。簡單多面體指與球拓撲等價的那些多面體。即經(jīng)過連續(xù)的幾何形變可以變換成一個球的多面體。歐拉公式證明簡單多面體的頂點數(shù)V、邊數(shù)E和面數(shù)F滿足如下關系：V-E+F=2。第35頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新36第36頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新37

對于非簡單多面體：令H表示多面體表面上孔的個數(shù)，G表示貫穿多面體的孔的個數(shù)，C表示獨立的、不相連接的多面體數(shù)，則擴展后的歐拉公式為：V-E+F-H=2（C-G）第37頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新38線框模型線框模型存在著幾個缺陷：二義性4.2三維形體的表示(造型)第38頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新39容易構造出無效形體第39頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新40不能正確表示曲面信息。第40頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新41無法進行圖形的線面消隱。

加重用戶的輸入負擔難以保證數(shù)據(jù)的統(tǒng)一性和有效性。所以目前廣泛應用的是三維形體的實體造型技術第41頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新42實體模型（實體造型技術）可以將實體模型的表示大致分為三類：邊界表示（Boundaryrepresentation,B-reps）掃描表示法構造實體幾何表示空間分割（Space-partitioning）表示第42頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新434.2.1邊界表示法對于一個實體來說，只要定義了形體地邊界，那么該實體就被惟一定義了。第43頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新44 邊界表示法的一個重要特點就是其按照體－面－邊－點的層次，詳細記錄了構成形體的所有幾何元素的幾何信息及其相互連接的拓撲關系。拓撲信息描述形體上的頂點、邊、面的連接關系，拓撲信息形成物體邊界表示的“骨架”。形體的幾何信息猶如附著在“骨架”上的肌肉。第44頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新452.邊界表示法中最典型的數(shù)據(jù)結構:翼邊結構表示（WingedEdgesStructure）:以邊為核心來組織數(shù)據(jù)結構，它用指針記錄了每一邊的兩個鄰面（即左外環(huán)和右外環(huán)）、兩個頂點、兩側各自相鄰的兩個鄰邊（即左上邊、左下邊、右上邊和右下邊），用這一數(shù)據(jù)結構表示實體模型是完備的。第45頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新464.2.2掃描表示（sweeprepresentation）掃描表示法（sweeprepresentation）可以利用簡單的運動規(guī)則生成有效實體。

包含兩個要素：一是作掃描運動的基本圖形；基面。二是掃描運動的方式。第46頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新47掃描運動的方式有：平移掃描法旋轉掃描法廣義掃描法第47頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新484.2.3構造實體幾何法構造實體幾何法（CSG，ConstructiveSolidGeometry）由兩個實體間的并、交或差操作生成新的實體。第48頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新49在構造實體幾何法中，集合運算的實現(xiàn)過程可以用一棵二叉樹（稱為CSG樹）來描述：樹的葉子樹的非終端結點二叉樹根結點第49頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新50構造實體幾何法的優(yōu)點：數(shù)據(jù)結構較簡單，數(shù)據(jù)量比較小。每個CSG表示都和一個實際的有效實體相對應，可以構造出多種不同的符合需要的實體。比較容易修改CSG表示形體的形狀缺點：基于集合運算對形體的局部操作不易實現(xiàn)由于形體的幾何元素是隱含在CSG中，故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長的時間。第50頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新514.2.4空間位置枚舉表示空間位置枚舉表示法將包含實體的空間分割為大小相同、形狀規(guī)則（正方形或立方體）的體素，然后，以體素的集合來表示圖形對象。二維情況，常用二維數(shù)組存放。三維情況下，常用三維數(shù)組p[i][j][k]來存放。第51頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新524.2.5八叉樹

八叉樹（octrees）又稱為分層樹結構，它對空間進行自適應劃分，采用具有層次結構的八叉樹來表示實體。 三維實體的八叉樹表示類似于二維平面圖形的四叉樹表示。第52頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新53四叉樹第53頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新54八叉樹第54頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新55第55頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新564.2.6BSP樹

二叉空間分割（binaryspacepartitioning，BSP）方法每次將一實體用任一位置和任一方向的平面分為二部分。第56頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新574.3非規(guī)則對象的表示基于分數(shù)維理論的隨機模型基于文法的模型粒子系統(tǒng)模型第57頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新584.3.1分形幾何(fractalgeometry)法分形幾何表示的物體具有一個基本特征：無限的自相似性。無限的自相似性是指物體的整體和局部之間細節(jié)的無限重現(xiàn)。分形物體的描述又包含：分形維數(shù)，又稱分數(shù)維數(shù)D=生成過程：初始生成元（initiator）、生成元（genenator）LogNLog(1/S)其中N為每一步細分的數(shù)目，S為細分時的放大倍數(shù)第58頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新594.3.2形狀語法形狀語法（shapegrammars）：給定一組產(chǎn)生式規(guī)則，形狀設計者可以在從給定初始物體到最終物體結構的每一次變換中應用不同的規(guī)則。該方法主要是用于為模擬植物而引入的。第59頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/23河北農業(yè)大學張玉新604.3.3微粒系統(tǒng)用于模擬自然景物或模擬其它非規(guī)則形狀物體展示“流體”性質的一個方法是微粒系統(tǒng)（particlesystems）。這一方法尤其擅長描述隨時間變化的物體。第60頁，課件共67頁，創(chuàng)作