第七章復(fù)數(shù)

一、思維導(dǎo)圖

概念H復(fù)數(shù)的幾何意義

\______________/

'復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何'

分復(fù)數(shù)的意義

\數(shù),［四則運算廠L

’復(fù)數(shù)的乘、除運算'

復(fù)數(shù)的二角表示式

」復(fù)數(shù)的1

'復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表'

二角表不

_______________yi—

示及其幾何意義

二、知識記誦

知識點一：復(fù)數(shù)的基本知識

1、虛數(shù)單位i,規(guī)定它的平方等于-1,即/=-1.

i可與實數(shù)進(jìn)行四則運算，進(jìn)行四則運算時原有加、乘運算律仍然成立.

2、形如a+6(a,beR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記作：z=a+bi(a,beR)；

當(dāng)b=0時，z是實數(shù)。；

當(dāng)b#0時，z叫做虛數(shù)；

當(dāng)a=0且b#0時，z=初叫做純虛數(shù).

\a=c

3、兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件：若a,b,c,d€R貝ij〃+/?/=c+由

4、復(fù)數(shù)的幾何意義:

復(fù)數(shù)z=a+6一^^復(fù)平面內(nèi)的點Z（a/）（膽-平面向量0Z

5、復(fù)數(shù)的模：設(shè)OZ=a+bi(a,bwR),則向量0Z的長度叫做復(fù)數(shù)z=。+初的模，記作|。+方].

&\i\z\^OZ\=yJa2+b2>0.

要點詮釋：(1)i的周期性:如果nWN,則有：產(chǎn)=i,嚴(yán)+1=晨產(chǎn)+2=_匕泮+3=一r

(2)復(fù)數(shù)z=a+6的共軌復(fù)數(shù)，記為z=a-bi；

(3)z-z-(a+bi)-(a-bi}=a2+b2=|z『.

知識點二：復(fù)數(shù)的運算

設(shè)Z]=〃+/?"z2=c+di(a,b,c,deR),則:

Z]+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(〃+d)i

z2-z}=(c-Q)+(d—h)i

4?Z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(be+ad)i

Z1_a+_(a+bi)(c-di)__ac+bdbe-ad.

2222

z2c+di(c+di)[c-di)c+t/c+d

1n_1

要點詮釋：(1)設(shè)3=---±---i,則蘇=1,CO1=CD,1+69+69?=0,—=CO2,蘇〃=1,=CO

22co

（n￡N+）等；

（2）復(fù)數(shù)求解計算時，要靈活利用i、3的性質(zhì)，或適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于i、3的計

算問題.比如（l±i>=±2i；*=i；E=—i；

a+bi_{a+bi)i_(a+bi)i

（3）作復(fù)數(shù)除法運算時，有如下技巧:

h-ai(h-ai)ia+bi

三、能力培養(yǎng)

類型一復(fù)數(shù)的概念

【例1】若（l+i）+（2-3i）=a+6（a,beR,z.是虛數(shù)單位），則。/的值分別等于（）.

A.3,—2B.3,2C.3,—3D.—1,4

【解析】由己知得3—2，=。+初，所以a=3,b=-2,選A.

【答案】A

類型二復(fù)數(shù)的運算

【例2】i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)).

3+4/

1731.D」+竺i

B.—1+ZC.一+—I

252577

7+i_(7+i)(3_4z)_25-251_口.

【解析】

3+41-(3+4/)(3-4/)-32+42~

【答案】A

類型三復(fù)數(shù)的模

【例3】（1）設(shè)z=^T+i，則目=（）.

A.1B交D.2

224

(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i（i為虛數(shù)單位），則歸=（）.

A.1B.2C.V2D.V3

【解析1(l)z=-l-+i=*+i=L+』i,貝1］曰=巫.

1+z222112

(2)方法一：設(shè)z=a+Oi(a,Z?eR),則由z(l+i)=27,得(a+初)?(l+i)=2i,所以(”0)+(a+?i=2i,

由復(fù)數(shù)相等的條件得《'解得a=b=l,所以z=l+i,故|z|=+1?=J5.

。+b=2,

、，/2z2z(l-z).

方法二：由z(l+iA)=2i,得2=---=--------=z—r=1+z所以|Z|=JF+12=/

v71+z2

【答案】（1）B（2）C

類型四復(fù)數(shù)的幾何意義

【例4】⑴在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z=-^-3為虛數(shù)單位）的共拆復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）.

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

⑵設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，Z1=2+i,則"2（）.

A.-5B.5C.-4+ZD,-4-Z

【解析】（l）z=2-=/1+i的共規(guī)復(fù)數(shù)為］一九對應(yīng)的點為在第四象限.

1+z（l+z）（l-z）

⑵由題知Z2=—2+i,所以2逐2=(2+，b(_2+，)=/_4=_5.

【答案】⑴D（2）A

類型五共加復(fù)數(shù)

【例5】設(shè)z=生，則z的共筑復(fù)數(shù)為（）.

3+z

A.-1+3ZC.1+3ZD.1-3Z

【解析】z=3~=,嗎一”=1°（1+3。=1+3"根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的定義，其共加復(fù)數(shù)是1一3i.

3+z（3+z）（3-z）10

【答案】D

類型六復(fù)數(shù)方程

【例6】若1+JL?是關(guān)于x的實系數(shù)方程爐+加+。=0的一個復(fù)數(shù)根，則（）.

A.Z?=2,C=3B.b=2,c=—lC.Z?=-2,c=-lD.b=-2,c=3

【解析】根據(jù)實系數(shù)方程的根的特點知門-"也是該方程的另一個根，所以1++1-J元=2=-6,即

b=-2,+揚）=3=c,故選D.

【答案】D

類型七與復(fù)數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新型問題

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，創(chuàng)新是高考的熱點之一，給復(fù)數(shù)定義一個新運算，它既能考查同學(xué)們的

創(chuàng)新思維，又能考查復(fù)數(shù)與其他知識的綜合.

1.新定義型

bziz

【例7】定義新運算=ad-bc,則滿足關(guān)系=4+2，的復(fù)數(shù)2是（）.

cd-11

A.l—3iB.1+3ZC.3+zD.3—i

ziz

【解析】因為-zi+z=4+2i,所以z=?--------3-i.

11+z

【答案】D

【點評】本題給出了一個新定義運算，根據(jù)新定義運算構(gòu)造出關(guān)于Z的方程，從而將問題順利解決.

2.結(jié)論開放型

給出多個結(jié)論，需要同學(xué)們對每個備選結(jié)論判斷真?zhèn)?，寫出滿足條件的結(jié)論.

【例8］對于任意兩個復(fù)數(shù)4=%+兆，z^x^y^^x^y^y^R）,定義運算”為

ziz2=X1&+x%?設(shè)非零復(fù)數(shù)碼g在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為匕鳥，點。為坐標(biāo)原點，若

供S=0,則在4片。鳥中，N［O4的大小為.

【解析】方法一：設(shè)非零復(fù)數(shù)。］=q+仇，0yl=a2+%（知生也也eR，且+6；/0,a；+Z?；r0）,

則得點［（q，a）,鳥（4,人2）.由題意知《不為原點，且由雙。2=°，得%巧+他2=0?

由兩直線垂直的充要條件,知直線。匕。鳥垂直。6，。鳥，即由次然=90°.

方法二：設(shè)非零復(fù)數(shù)3=6+4》,在=。2+%（4也GR，且。；+工工0，4；+其/0）,則

OR=（%,"）,=（%也），且西,06為非零向量.由雙處=0,知卅2+他2=°?設(shè)向量。［與

OP,的夾角為e,則cose=/4生+華_=o

-荷+一?病+一

NPQP?=90°.

【答案】90°

類型八分類解析復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的交匯問題

在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計命題，貼近課本，立意高，情境新同時有較強地考查同學(xué)們的思維能力的功能，以

及考查同學(xué)們對中學(xué)數(shù)學(xué)不同分支的重要基礎(chǔ)知識聯(lián)系的深層次理解及運用能力下面就復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的

交匯試題分類解析.

1.復(fù)數(shù)概念與三角函數(shù)的交匯

【例9］設(shè)復(fù)數(shù)z=（sine-l）+i（sine-cos。），求。為何值時，（i）z為實數(shù)；（2）z為虛數(shù)：⑶z為純

虛數(shù).

【解析】⑴z為實數(shù).?.sin6—cose=0,.-.sin^-^Uo,.,.6=?+版■（左eZ）.即當(dāng)

6=7+攵萬（女eZ）時，z為實數(shù).

（兀、兀4

（2）z為虛數(shù)，「.sin，一cosOwO,「.sin。一^）力。，?,?。工］+%萬（％￡Z）.即當(dāng)。士1+%乃（kwZ）

時，z為虛數(shù).

sin^-1=0,JTJT

⑶Z為純虛數(shù),.?.。=2&"+5（462）.即當(dāng)。=2&萬+5（462）時，2為純虛數(shù).

sinO-cos。w0.

2.復(fù)數(shù)共舸與三角函數(shù)的交匯

【例10］己知復(fù)數(shù)Z1=sin26+icos。，z2=cos0+V3zsin（O<0<^）,當(dāng)。為何值時，z1與z2共軌？

sin26=cos仇i萬

【解析】由Z1與Z2共輾知4L由①得cos6=0或sine=±.（）＜。＜"，.?.。=生或72r

cos0=-V3sin0.（2＞226

或包.由②得tan6=—@,，。二笆.綜上可知，當(dāng)夕為包時，Z1與Z2共聊.

63662

【點評】本題通過利用復(fù)數(shù)共扼，建立三角函數(shù)方程組，通過結(jié)合三角函數(shù)套式可求得結(jié)果.

3.復(fù)數(shù)相等與三角函數(shù)的交匯

【例11］實數(shù)有以下關(guān)系：x+yi=3+5cose+i（-4+5sin。）（其中i是虛數(shù)單位），則f+J的

最大值為（）.

A.30B.15C.25D.100

x=3+5cos6

【解析】由復(fù)數(shù)相等知J14+5sing則x2+y2=550sin（e-0）W100（其中0為輔助角）.；./+V

的最大值為100.

【答案】D

【點評】本題是通過復(fù)數(shù)相等，建立V+y2的目標(biāo)函數(shù)，并注意三角函數(shù)有界性的應(yīng)用.

4.復(fù)數(shù)幾何意義與三角函數(shù)的交匯

【例12］設(shè)角為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)Z=（cot8—tanA）+i（tan3—cotA）對應(yīng)的點位于

坐標(biāo)平面的（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

,cos（5+A）cos（B+A），一,一—一

【解析】vz=--------L——-------Li,又此三角形為銳角三角形，則有5+A>90。，

sinBcosAsinA