正態(tài)分布

我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個不同值，它等于某一特定實數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個區(qū)間上的任何值，它等于任何一個實數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個區(qū)間的概率。離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。頻率分布直方圖數(shù)學(xué)情景第一步：分組確定組數(shù)，組距。第二步：列出頻率分布表xy頻率/組距第三步：作出頻率分布直方圖連接頻率分布直方圖中各個小長方體上端的中點，就得到頻率分布折線圖。隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計上我們稱這條光滑曲線為總體密度曲線。頻率組距產(chǎn)品尺寸（mm）ab總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率總體密度曲線提問：同學(xué)們知道高爾頓板實驗嗎？觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征。以上曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示:知識點一：正態(tài)分布與密度曲線式中的實數(shù)、是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。我們稱

的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。)0(>ss提出問題：下面給出三個正態(tài)分布函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差

若用X表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo),則X是一個隨機(jī)變量.X落在區(qū)間(a,b]的概率為:

即由正態(tài)曲線，過點（a,0）和點（b，0）的兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，就是落在區(qū)間(a,b]的概率的近似值。abXY2.正態(tài)分布的定義:如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足:如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記作X~N（μ，σ2）

則稱為X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定.正態(tài)分布記作.其圖象稱為正態(tài)曲線.經(jīng)驗表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不干相干的、不分主次的偶然因素之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。例如，高爾頓板實驗，請解釋。（1）在生產(chǎn)中，各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)一般都服從正態(tài)分布；（2）在測量中，測量結(jié)果、測量的隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布；（3）在生物學(xué)中，同一群體的某種特征都服從正態(tài)分布；（4）在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等都服從正態(tài)分布。觀察圖2.4-4，結(jié)合的解析式及概率的性質(zhì)，你能說說正態(tài)曲線的特點嗎？(1)曲線在x軸上方,與x軸不相交.(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱.(3)在x=μ時達(dá)到峰值

(4)曲線與x軸之間的面積為1.先固定σ的值，讓μ變化。

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；再固定μ，讓σ變化

=0.5=1=2μ=0

(5)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.4、特殊區(qū)間的概率:若X~N,則對于任何實數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。m-am+ax=μ特別的有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在