密山市高級(jí)中學(xué)20232024學(xué)年度高二聯(lián)考期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.考試期間，注意考試時(shí)間；2.禁止在試卷上亂寫亂畫.一、選擇題（每題5分，共40分）1.已知橢圓C:，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.6 D.92.如果存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)x、y、z，使得，則關(guān)于、、（）A.兩兩相互垂直 B.只有兩個(gè)向量互相垂直C.共面 D.有兩個(gè)向量互相平行3.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.4.如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分.已知該雙曲線的上焦點(diǎn)F到下頂點(diǎn)的距離為18，F(xiàn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為（）.A B. C. D.5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（）A.? B.?C.? D.?6.2021年某省高考體育百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?2秒與18秒之間，抽取其中100個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，得到如下頻率分布直方圖，則該100名考生的成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）分別是（）A.15.215.4 B.15.115.4 C.15.115.3 D.15.215.37.某企業(yè)為了研究某種產(chǎn)品的銷售價(jià)格（元）與銷售量（千件）之間的關(guān)系，通過(guò)大量市場(chǎng)調(diào)研收集得到以下數(shù)據(jù)：16128424a3864其中某一項(xiàng)數(shù)據(jù)※丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的線性回歸方程為：，則缺失的數(shù)據(jù)a是（）A.33 B.35 C.34 D.34.88.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問(wèn)題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（答對(duì)一項(xiàng)得1.5分，滿分18分）9.給出下列命題，其中正確命題有（）A.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底B.已知向量，則存在向量可以與，構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.，，，是空間四點(diǎn)若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底那么，，，共面D.已知向量組是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底10.已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，則（）A.任意，B.存在，直線與直線相交C.平面與底面交線長(zhǎng)為定值D.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為11.若動(dòng)點(diǎn)、分別在直線與上移動(dòng)，則的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可能為（）A B. C. D.12.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B若，則C.若，則的斜率為D.過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若軸平分，則三、解答題13.已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).14.如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的大?。?5.已知直線l：．（1）若l不經(jīng)過(guò)第三象限，求a的取值范圍；（2）求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離最小值，并求此時(shí)直線l的方程．16.如圖，在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h．（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大小；（2）證明：；（3）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式來(lái)計(jì)算，已知它的體積公式是，試判斷與V的大小關(guān)系，并加以證明．注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面．17.兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和各與對(duì)方所在平面垂直，、分別是對(duì)角線、上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）求、兩點(diǎn)間的最短距離.18.如圖，平面，四邊形是正方形，且，試求：（1）點(diǎn)到的距離；（2）求異面直線與所成的角.19.已知是銳角三角形的垂心，過(guò)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使，求證：平面.密山市高級(jí)中學(xué)20232024學(xué)年度高二聯(lián)考期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.考試期間，注意考試時(shí)間；2.禁止在試卷上亂寫亂畫.一、選擇題（每題5分，共40分）1.已知橢圓C:，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程先判斷焦點(diǎn)位置，再確定的值，即得長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓C:知橢圓焦點(diǎn)在軸上，故，解得，故橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：C.2.如果存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)x、y、z，使得，則關(guān)于、、（）A.兩兩相互垂直 B.只有兩個(gè)向量互相垂直C.共面 D.有兩個(gè)向量互相平行【答案】C【解析】【分析】不妨設(shè)，可得出，利用共面向量的基本定理可得出結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)?，則，故向量、、共面.故選：C.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用的準(zhǔn)線方程為，能求出拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.4.如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分.已知該雙曲線的上焦點(diǎn)F到下頂點(diǎn)的距離為18，F(xiàn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式可得b，已知結(jié)合雙曲線列方程組求解即可.【詳解】點(diǎn)的到漸近線，即的距離，又由題知，解得，所以.故選：B.5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以，即雙曲線方程為：.故選：B6.2021年某省高考體育百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?2秒與18秒之間，抽取其中100個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，得到如下頻率分布直方圖，則該100名考生的成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）分別是（）A.15.215.4 B.15.115.4 C.15.115.3 D.15.215.3【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解.【詳解】100名考生成績(jī)的平均數(shù)，因?yàn)榍叭M面積和為，前四組面積和為，所以中位數(shù)位于第四組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得，故選：C.7.某企業(yè)為了研究某種產(chǎn)品的銷售價(jià)格（元）與銷售量（千件）之間的關(guān)系，通過(guò)大量市場(chǎng)調(diào)研收集得到以下數(shù)據(jù)：16128424a3864其中某一項(xiàng)數(shù)據(jù)※丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的線性回歸方程為：，則缺失的數(shù)據(jù)a是（）A.33 B.35 C.34 D.34.8【答案】C【解析】【分析】由于線性回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以將樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)一定在回歸方程上，所以將，代入解得.故選：C.8.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問(wèn)題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用角平分線的性質(zhì)及等面積法及數(shù)量積即可求解.【詳解】在中，，由是的角平分線，交于，設(shè)到兩邊的距離為，則，故.已知的三個(gè)內(nèi)角均小于，則點(diǎn)與的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，所以.，所以，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（答對(duì)一項(xiàng)得1.5分，滿分18分）9.給出下列命題，其中正確命題有（）A.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底B.已知向量，則存在向量可以與，構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.，，，是空間四點(diǎn)若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底那么，，，共面D.已知向量組是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間基底的概念，結(jié)合向量的共面定量，逐項(xiàng)判定，即可求解得到答案.【詳解】選項(xiàng)中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)空間基底，所以正確；選項(xiàng)中，因?yàn)?，根?jù)空間基底的概念，可得不正確；選項(xiàng)中，由不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得共面，又由過(guò)相同點(diǎn)B，可得四點(diǎn)共面，所以正確；選項(xiàng)中：由是空間的一個(gè)基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底，所以正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間基底的概念及其判定，其中解答中熟記空間基底的概念，合理利用共面向量定量進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，則（）A.任意，B.存在，直線與直線相交C.平面與底面交線長(zhǎng)為定值D.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可得平面，從而可得，即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)異面直線的定義可得；對(duì)于C，根據(jù)題意找出交線，然后求出交線長(zhǎng)即可；對(duì)于D，根據(jù)外接球與正四棱柱的位置關(guān)系，找出球心，進(jìn)而求出半徑，即可得出表面積.【詳解】解：對(duì)于A，，，，，平面，

平面，平面，，故正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，與異面，故不相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于，為中點(diǎn)，，所以,所以,所以，平面平面，平面與底面交線為，其中為中點(diǎn)，所以，故正確對(duì)；對(duì)于D，，是直角三角形，外接圓是以為直徑的圓，圓心設(shè)，半徑，取中點(diǎn)，則平面，，所以，所以，，故錯(cuò)誤.故選：．11.若動(dòng)點(diǎn)、分別在直線與上移動(dòng)，則的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)題意求出點(diǎn)的軌跡方程，可求得原點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，由題意可得，將這兩個(gè)等式相加可得，即，即，故點(diǎn)的軌跡方程為.因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，因此，的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可能為、、，故選：ACD12.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.若，則C.若，則的斜率為D.過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若軸平分，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何意義求出，即可得到拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的定義判斷A、B、D，設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦半徑公式計(jì)算即可判斷C；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤；若，則，所以，所以，故B正確；可設(shè)，，，，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去，可得，可得，，由拋物線的定義可得即，即，解得，則直線的斜率為，故C正確；對(duì)于D，若軸平分，則，又軸，所以，所以，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD三、解答題13.已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).【答案】（1）；（2），，.【解析】【分析】（1）根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系列方程求n，然后根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得；（2）根據(jù)指數(shù)為整數(shù)分析即可.【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式中第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次為，依題意有，，即，整理得，解得（舍去）或.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，由可得，故展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為：，，.14.如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）連接，證明可得，，即可得證；（2）先證平面，得，再證平面，得，即，利用即可得證；（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的夾角公式求得.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)，連接，由四邊形ABCD是正方形得，因H為BC的中點(diǎn)，故且，又因且，則有且，故得平行四邊形，則有，因平面，平面，故得平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，則有，因，平面，故平面，又平面，則，故，又，則，因平面，故平面，因平面，則，故，因平面，故平面.【小問(wèn)3詳解】如圖，由（2）知平面，分別以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，在中，故，則有于是，設(shè)平面的法向量為，則故可取：，，設(shè)平面的法向量為，則故可?。?，設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，則，故得，即二面角為.15.已知直線l：．（1）若l不經(jīng)過(guò)第三象限，求a的取值范圍；（2）求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）；或【解析】【分析】（1）將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，從而得到關(guān)于的不等式組，進(jìn)而求解即可；（2）利用點(diǎn)線距離公式，結(jié)合基本不等式求解即可．【小問(wèn)1詳解】直線l的方程可化為，要使直線l不經(jīng)過(guò)第三象限，則必須有，解得，故a的取值范圍是．小問(wèn)2詳解】設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以原點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為，此時(shí)直線l的方程為或．16.如圖，在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h．（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大小；（2）證明：；（3）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式來(lái)計(jì)算，已知它的體積公式是，試判斷與V的大小關(guān)系，并加以證明．注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）過(guò)作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)作⊥PQ，垂足為G，則∠為所求二面角的平面角，在△求解即可；（2）由AB∥CD，可得AB∥面CDEF，從而AB∥EF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可得出EF∥面ABCD；（3）根據(jù)題意計(jì)算，V并作差比較大小即可得出結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】過(guò)作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)作⊥PQ，垂足為G．∵平面ABCD∥平面，∠＝90°，∴AB⊥PQ，AB⊥．∴∠為所求二面角的平面角．過(guò)作⊥PQ，垂足為H．由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形為等腰梯形．∴，又，，，即所求二面角的大小為；【小問(wèn)2詳解】∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD，又CD是面ABCD與面CDEF的交線，AB在平面CDEF外，∴AB∥面CDEF．∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，∴AB∥EF．∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD；【小問(wèn)3詳解】＜V．證明如下：∵a＞c，b＞d，∴∴V估＜V．17.兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和各與對(duì)方所在平面垂直，、分別是對(duì)角線、上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）求、兩點(diǎn)間的最短距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由題意可先證明出平面與平面平行，借助面面平行性質(zhì)定理可得