第一章統(tǒng)計

1.9最小二乘估計【目標引領(lǐng)】教學(xué)目標：了解非確定性關(guān)系中兩個變量的統(tǒng)計方法；掌握散點圖的畫法及在統(tǒng)計中的作用，掌握回歸直線方程的求解方法。教法指導(dǎo)：①求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實標意義．否則，求出的回歸直線方程毫無意義．因此，對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時，應(yīng)先看其散點圖是否成線性．②求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)a、b，由于求a、b的計算量較大，計算時仔細謹慎、分層進行，避免因計算產(chǎn)生失誤．③回歸直線方程在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?，并對情況進行估測、補充．因此，學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)增強學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實際問題的意識．【解析視屏：1．相關(guān)關(guān)系的概念在實際問題中，變量之間的常見關(guān)系有兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示。例如正方形的面積S與其邊長之間的函數(shù)關(guān)系（確定關(guān)系）；一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達。例如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系（非確定關(guān)系）相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：相同點：均是指兩個變量的關(guān)系。不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系。經(jīng)典回放：例1：下列各組變量哪個是函數(shù)關(guān)系，哪個是相關(guān)關(guān)系？（1）電壓U與電流I（2）圓面積S與半徑R（3）自由落體運動中位移s與時間t（4）糧食產(chǎn)量與施肥量（5）人的身高與體重（6）廣告費支出與商品銷售額分析：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系。解：前三小題中一個變量的變化可以確定另一個變量的變化，兩者之間是函數(shù)關(guān)系。對于糧食與施肥量，兩者確實有非常密切的關(guān)系，實踐證明，在一定的范圍內(nèi)，施肥量越多，糧食產(chǎn)量就越高，但是，施肥量并不能完全確定糧食產(chǎn)量，因為糧食產(chǎn)量還與其他因素的影響有關(guān)，如降雨量、田間管理水平等。因此，糧食與施肥量之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系。人的身高與人的體重也密切相關(guān)，一般來說，一個人的身高越高，體重也越重，但同樣身高的人，其體重不一定相同，身高和體重這兩個變量之間并不是嚴格的函數(shù)關(guān)系。廣告費支出與商品銷售額有密切的關(guān)系，但廣告費的支出不能完全決定商品的銷售額。由此可見，后三小題各對變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。點評：不要認為兩個變量間除了函數(shù)關(guān)系，就是相關(guān)關(guān)系，事實是上，兩個變量間可能毫無關(guān)系。比如地球運行的速度與某個人的行走速度就可認為沒有關(guān)系。例2：已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下：ｘ45424648423558403950y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72ｘ（血球體積，ｍｍ），ｙ（血紅球數(shù)，百萬）(1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形。解：（１）見下圖點評：對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時，應(yīng)先畫出其散點圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a、b的計算公式，算出a、b．由于計算量較大，所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手段，認真細致，謹防計算中產(chǎn)生錯誤．求線性回歸方程的步驟：計算平均數(shù)；計算的積，求；計算；將結(jié)果代入公式求ａ；用求ｂ；寫出回歸方程。例3隨著人們經(jīng)濟收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚．車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關(guān)心的問題．某汽車銷售公司做了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計得出某款車的使用年限x與所支出的總費用y(萬元)有如下的數(shù)據(jù)資料：使用年限x23456總費用y2.23.85.56.57.0(2)線性回歸方程是y＝1.23x＋0.08，當x＝10(年)時，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)，即估計使用10年時，支出總費用約是12.38萬元．點評求線性回歸方程應(yīng)給出線性回歸系數(shù)公式，在求解時為了使計算更準確可以先制表，這樣使計算過程更具條理性【課堂練習(xí)】1.

下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（D）A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高2．某市紡織工人的月工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，則下列說法中正確的是（C）時間t(s)5101520304050607090120深度y(μm)610101316171923252946(1)畫出散點圖；(2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程?！窘獯稹?．D2．C3．C4．69.665．解：(1)散點圖（略）．(2)表中的數(shù)據(jù)進行具體計算，列成以下表