[第42講空間向量及其運算](時間：45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．空間四點A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置關(guān)系為()A．共線B．共面C．不共面D．無法確定2．[2013·西寧二模]設(shè)命題p：a，b，c是三個非零向量；命題q：{a，b，c}為空間的一個基底，則命題p是命題q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．[2013·武漢二模]如圖K42－1，在底面ABCD為平行四邊形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC與BD的交點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()圖K42－1A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c4．[2013·南昌二模]已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則kA．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·合肥三模]設(shè)空間四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，其中0<t<1，則有()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段BA的延長線上D．點P不一定在直線AB上6．設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k(其中i，j，k是兩兩垂直的單位向量)．若a4＝λa1＋μa2＋νa3，則實數(shù)組(λ，μ，ν)＝()A．(－2，－1，3)B．(1，－3，4)C．(－2，1，－3)D．(－1，4，－3)7．[2013·海口三模]平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))兩兩的夾角均為60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，則|eq\o(AC1,\s\up6(→))|等于()A．5B．6C．4D．88．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，點N為B1B的中點，則|MN|＝()A.eq\f(\r(21),6)aB.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)aD.eq\f(\r(15),3)a9．[2013·北京三模]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).其中能夠化簡為向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A．①②B．②③C．③④D．①④10．已知點A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|的值是______________．11．[2013·沈陽三模]已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．則以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))為邊的平行四邊形的面積為________．12．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→))與向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是60°；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正確命題的序號是________．13．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝eq\r(6)，M是CC1的中點，則異面直線AB1與A1M所成角的大小為________．14．(10分)設(shè)向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，計算2a＋3b，3a－2b，a·b以及a與b所成角的余弦值，并確定λ，μ應(yīng)滿足的條件，使λa＋μb與15．(13分)四棱錐P－ABCD中，AB，AD，AP兩兩垂直，AB＝1，AD＝2，AP＝3，F(xiàn)為PC的中點，E為PD上，且PD＝3PE.(1)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))表示eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)求eq\o(EF,\s\up6(→))的模．eq\a\vs4\al\co1(難點突破)16．(12分)[2013·南京二模]直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．圖K42－2

課時作業(yè)(四十二)【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析]可在空間直角坐標(biāo)系中作圖分析，知A，B，C，D不共面．2．B[解析]只有不共面的三個非零向量才能作為空間的一個基底．3．A[解析]eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4．D[解析]ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，0，2)＝(3，2，－2)，∵兩向量垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0，∴k＝eq\f(7,5).【能力提升】5．A[解析]∵0<t<1，∴P點在線段AB上．6．C[解析]a4＝λa1＋μa2＋νa3成立，∵a1＝(2，－1，1)，a2＝(1，3，－2)，a3＝(－2，1，－3)，a4＝(3，2，5)，∴(2λ＋μ－2ν，－λ＋3μ＋ν，λ－2μ－3ν)＝(3，2，5)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋μ－2ν＝3，,－λ＋3μ＋ν＝2，,λ－2μ－3ν＝5，))解得這樣的λ，μ，ν存在，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝1，,ν＝－3.))7．A[解析]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝5.8．A[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(4,9)|\o(AB,\s\up6(→))|2＋\f(1,36)|\o(AA1,\s\up6(→))|2＋\f(1,9)|\o(AD,\s\up6(→))|2)＝eq\f(\r(21),6)a.9．A[解析]①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).綜上，①②符合題意．10.eq\f(\r(77),3)[解析]設(shè)P(x，y，z)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，3－y，4－z)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))知x＝－eq\f(1,3)，y＝eq\f(8,3)，z＝3.由兩點間距離公式可得|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(77),3).11．7eq\r(3)[解析]由題意可得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq\f(7,14)＝eq\f(1,2).∴sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),2).∴以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))為邊的平行四邊形的面積S＝2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3).12．①②[解析]由eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(A1D1,\s\up6(→))⊥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，得(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3(eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2，故①正確；②中eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，由于AB1⊥A1C，故②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°，故③不正確；④中|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，故④也不正確．13.eq\f(π,2)[解析]由條件知AC，BC，CC1兩兩垂直，如圖，以C為原點，CB，CA，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，eq\r(3)，0)，B1(1，0，eq\r(6))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)))，A1(0，eq\r(3)，eq\r(6))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，eq\r(6))，eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\r(3)，－\f(\r(6),2)))，cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(A1M,\s\up6(→))〉＝0，∴〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(A1M,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2)，即直線AB1與A1M所成角為eq\f(π,2).14．解：2a＋3b＝(6，10，－8)＋(6，3，24)＝(12，13，16)．3a－2b＝3×(3，5，－4)－2×(2，1，8)＝(9，15，－12)－(4，2，16)＝(5，13，－28)．a(chǎn)·b＝(3，5，－4)·(2，1，8)＝6＋5－32＝－21.∵|a|＝eq\r(32＋52＋42)＝eq\r(50)，|b|＝eq\r(22＋12＋82)＝eq\r(69)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－21,\r(50)·\r(69))＝－eq\f(7\r(138),230).∵λa＋μb與z軸垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0，0，1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ.∴當(dāng)λ，μ滿足λ＝2μ時，可使λa＋μb與z軸垂直．15．解：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,3)（\o(AD,\s\up6(→))－\o(AP,\s\up6(→))）))＝－eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)由條件知，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝3，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,6)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36)|eq\o(AP,\s\up6(→)