微專題12計數(shù)原理微點1排列組合基本問題例1(1)用五種不同顏色給三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點涂色,要求每個頂點涂一種顏色,且在同一條棱上的兩個頂點涂不同顏色,則不同的涂法有 ()A.840種 B.1200種C.1800種 D.1920種(2)[2023·濟南二模]已知abc表示一個三位數(shù),如果滿足a>b且c>b,那么我們稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”.沒有重復數(shù)字的三位“凹數(shù)”共有個.(用數(shù)字作答)

[聽課筆記]

【規(guī)律提煉】對于排列組合的問題,要熟練掌握基本原則和基本方法,例如有限制條件的排列問題服從特殊元素或特殊位置優(yōu)先原則,相鄰問題用捆綁法、不相鄰問題用插空法、定序問題用倍縮法等,分類過多的問題考慮間接法,特別注意分類要謹防重復與漏解.自測題1.[2023·湛江一模]小明在設置銀行卡的數(shù)字密碼時,計劃將自己出生日期的后6個數(shù)字0,5,0,9,1,9進行某種排列得到密碼.若排列時要求兩個9相鄰,兩個0也相鄰,則小明可以設置不同的密碼的個數(shù)為 ()A.16 B.24 C.166 D.1802.[2023·山東濟寧二模]某中學舉辦田徑運動會,某班從甲、乙等6名學生中選4名學生代表班級參加4×100米接力賽,其中甲只能跑第1棒或第2棒,乙只能跑第2棒或第4棒,那么甲、乙都參加的不同安排方案種數(shù)為 ()A.48 B.36 C.24 D.12微點2二項式定理及其應用例2(1)[2023·江蘇無錫四校聯(lián)考]已知(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,則a1= ()A.11 B.74C.86 D.-1(2)1x+x(3)[2023·北京房山區(qū)二模]若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a1+a2+a3+a4=.

[聽課筆記]

【規(guī)律提煉】對于求解二項展開式中特定項的系數(shù)問題,可用待定系數(shù)法利用二項展開式的通項來解決;求展開式中若干項系數(shù)的和、差等,一般用賦值法達到解決問題的目的.自測題1.[2023·山東菏澤二模]若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=.

2.[2023·湖南郴州質(zhì)檢]若x2+1x2-22(x+m)3(m>0)的展開式中3.若x8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8,則a3=.

1.[2023·新課標Ⅱ卷]某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法做抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結(jié)果共有 ()A.C40045·C20015種 B.C.C40030·C20030種 D.2.[2022·新高考全國Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演,則甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有 ()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種3.[2020·全國新高考Ⅰ卷]6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有 ()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種4.[2022·浙江卷]已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

5.[2023·天津卷]在2x3-1x6的展開式中6.[2023·新課標Ⅰ卷]某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

7.[2022·新高考全國Ⅰ卷]1-yx(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(

微專題13統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析微點1數(shù)據(jù)處理與分析例1(1)[2023·江蘇南通二模]某校組織1000名學生參加了環(huán)保知識競賽,從中隨機抽取20名學生的成績(單位:分)并作出如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說法正確的是 ()A.頻率分布直方圖中a的值為0.004B.估計這20名學生的成績的第60百分位數(shù)為75C.估計這20名學生的成績的眾數(shù)為80D.估計這1000名學生中成績在[60,70)內(nèi)的學生人數(shù)為150(2)(多選題)[2023·福州模擬]某調(diào)查機構(gòu)對我國若干大型科技公司進行調(diào)查統(tǒng)計,得到了芯片、軟件兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的扇形圖和90后從事這兩個行業(yè)的崗位分布的雷達圖如圖所示,則下列說法中正確的是 () A.芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中,90后占比超過50%B.芯片、軟件行業(yè)中,從事技術、設計崗位的90后人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的25%C.芯片、軟件行業(yè)從事技術崗位的人中,90后人數(shù)比80后人數(shù)多D.芯片、軟件行業(yè)中,90后從事市場崗位的人數(shù)比80前的總?cè)藬?shù)多[聽課筆記]

自測題1.(多選題)[2023·張家口三模]一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為x,方差為s2,極差為m,中位數(shù)為n,去掉其中的最小值和最大值后,余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x',方差為s'2,極差為m',中位數(shù)為n',則下列選項一定正確的是(A.n=n' B.x=xC.s2>s'2 D.m>m'2.(多選題)[2023·山東煙臺一模]近年來,我國人口老齡化持續(xù)加劇,為改善人口結(jié)構(gòu),促進人口長期均衡發(fā)展,國家出臺了一系列政策,如2016年起實施全面二孩政策,2021年起實施三孩政策等.根據(jù)下面的統(tǒng)計圖,下列結(jié)論正確的是 ()2010年至2022年我國新生兒數(shù)量折線圖A.2010年至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)大于1400萬B.2010年至2022年每年新生兒數(shù)量的第一四分位數(shù)小于1400萬C.2015年至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢D.2010年至2016年每年新生兒數(shù)量的方差大于2016年至2022年每年新生兒數(shù)量的方差微點2回歸模型角度1變量間的相關關系例2大壩是具有灌溉、防洪、發(fā)電、航運、養(yǎng)殖和游覽等綜合效益的大型水利樞紐工程.為預測滲壓值和控制水庫水位,工程師在水庫中選取一支編號為BS3的滲壓計,隨機收集10個該滲壓計管內(nèi)水位和水庫水位監(jiān)測數(shù)據(jù):樣本號i12345678910合計水庫水位xi/m75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.9075.93758.01BS3號滲壓計管內(nèi)水位yi/m72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32并計算得∑i=110xi2≈57457.98,∑i=110yi2≈53190.77,∑(1)分別估計該水庫的平均水位與BS3號滲壓計管內(nèi)的平均水位;(2)求該水庫BS3號滲壓計管內(nèi)水位y關于水庫水位x的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(3)某天雨后工程師測量了水庫水位,并得到水庫的水位為76m,利用以上數(shù)據(jù)估計此時BS3號滲壓計管內(nèi)水位.附:經(jīng)驗回歸方程y=a+bx中,b=∑i=1n(xi-x)(角度2擬合模型例3[2023·廣東汕頭二模]汽車輪胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素,汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某機構(gòu)通過試驗測得行駛里程x(單位:萬千米)與某品牌輪胎凹槽深度y(單位:毫米)的數(shù)據(jù)如下:x0.000.641.291.932.573.223.864.515.15y10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標、輪胎凹槽深度為縱坐標作散點圖,如圖所示.(1)根據(jù)散點圖,可認為散點集中在直線y=bx+a附近,由此判斷行駛里程x與輪胎凹槽深度y線性相關,并計算得如下數(shù)據(jù),請求出行駛里程x與輪胎凹槽深度y的樣本相關系數(shù)r(保留兩位有效數(shù)字),并推斷它們線性相關程度的強弱.xy∑i=19x∑2.576.20115.1029.30(2)通過散點圖,也可認為散點集中在曲線y=c1+c2ln(x+1)附近,考慮使用非線性回歸模型,并求得非線性經(jīng)驗回歸方程為y=10.11-3.75ln(x+1)及該模型的決定系數(shù)R22≈0.998.已知(1)中的線性回歸模型的決定系數(shù)R12≈0附:樣本相關系數(shù)r=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1【規(guī)律提煉】1.(1)正確理解計算b,a的公式和準確地計算是求經(jīng)驗回歸方程的關鍵;(2)經(jīng)驗回歸直線y=bx+a必過點(x,y).2.(1)在分析兩個變量的相關關系時,可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來判斷兩個變量之間是否具有線性相關關系,若具有線性相關關系,則可通過經(jīng)驗回歸方程來估計和預測;(2)對于非線性回歸分析問題,應先進行變量代換,求出代換后的經(jīng)驗回歸方程,再求非線性經(jīng)驗回歸方程.自測題[2023·運城三模]數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期,隨著車載音樂的商業(yè)化模式進一步完善,市場將持續(xù)擴大,下表為2018~2022年中國車載音樂市場規(guī)模(單位:十億元)數(shù)據(jù),其中年份2018~2022對應的代碼為1~5.年份代碼x12345車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知,可用非線性經(jīng)驗回歸方程y=a·bx擬合y與x的關系,求a,b的值(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟環(huán)境,相關部門把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率,請預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模.參考數(shù)據(jù):v∑i=15xe0.524e0.4721.9433.821.71.6其中v=lny,v=15∑i參考公式:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β=∑i=1nuivi-n微點3獨立性檢驗例4[2023·浙江湖州、衢州、麗水三地聯(lián)考]為提升學生的人文素養(yǎng),培養(yǎng)學生的文學學習興趣,某學校舉辦詩詞競答大賽.該競賽由3道必答題和3道搶答題構(gòu)成,必答題雙方都需給出答案,答對得1分,答錯不得分;搶答題由搶到的一方作答,答對得2分,答錯扣1分.兩個環(huán)節(jié)結(jié)束后,累計總分高者獲勝.因為學生普遍反映該賽制的公平性不足,所以學校將進行賽制改革:調(diào)整為必答題4道,搶答題2道,且每題的分值不變.(1)為測試新賽制對選手成績的影響,該校選擇甲、乙兩位學生在兩種賽制下分別進行演練,并統(tǒng)計雙方的勝負次數(shù).請補全以下2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析獲勝方與賽制是否有關聯(lián).單位:次獲勝方賽制合計舊賽制新賽制甲6乙1合計1020(2)學生丙擅長搶答,已知丙搶到搶答題作答機會的概率為0.6,答對每道搶答題的概率為0.8,答對每道必答題的概率為p(0<p<1),且每道題的作答情況相互獨立.(i)記丙在1道搶答題中的得分為X,求X的分布列與數(shù)學期望;(ii)已知學生丙在新、舊賽制下總得分的數(shù)學期望之差的絕對值不超過0.1,求p的取值范圍.附:χ2=n(ad-α0.100.050.01xα2.7063.8416.635自測題[2022·新高考全國Ⅰ卷]一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系,在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”,P(B|A)P(i)證明:R=P(A|(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|B)的估計值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計值.附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828.1.(多選題)[2021·新高考全國Ⅱ卷]下列統(tǒng)計量中,能度量樣本x1,x2,…,xn的離散程度的是 ()A.樣本x1,x2,…,xn的標準差B.樣本x1,x2,…,xn的中位數(shù)C.樣本x1,x2,…,xn的極差D.樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)2.(多選題)[2023·新課標Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則 ()A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2,…,x6的標準差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差3.[2020·全國新高考Ⅰ卷]為加強環(huán)境保護,治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研,隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關?附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

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微專題14概率微點1古典概型例1從正方體的8個頂點和中心中任取4個點,則這4個點恰好構(gòu)成三棱錐的概率為 ()A.4163 B.3863 C.23 [聽課筆記]

自測題[2023·廣東茂名二模]從1,2,3,4,5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù),則該三位數(shù)能被3整除的概率為 ()A.110 B.15 C.310 微點2概率的基本性質(zhì)例2[2023·山東濰坊模擬]甲袋中裝有4個白球,2個紅球和2個黑球,乙袋中裝有3個白球,3個紅球和2個黑球.先從甲袋中隨機取出1個球放入乙袋,再從乙袋中隨機取出1個球.用A1,A2,A3分別表示從甲袋中取出的球是白球、紅球和黑球,用B表示從乙袋中取出的球是白球,則 ()A.A1,A2,A3兩兩不互斥B.P(B|A2)=1C.A3與B是相互獨立事件D.P(B)=1[聽課筆記]

自測題(多選題)[2023·湖北十一校聯(lián)考]設A,B分別為隨機事件A,B的對立事件,已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,則下列說法正確的是 ()A.P(B|A)+P(B|A)=1B.P(B|A)+P(B|A)=0C.若A,B是相互獨立事件,則P(A|B)=P(A)D.若A,B是互斥事件,則P(B|A)=P(B)微點3條件概率與全概率公式例3(1)[2023·山東濟寧二模]在排球比賽的小組循環(huán)賽中,每場比賽采取五局三勝制.甲、乙兩隊小組賽中相遇,積分規(guī)則如下:以3∶0或3∶1獲勝的球隊積3分,落敗的球隊積0分;以3∶2獲勝的球隊積2分,落敗的球隊積1分.若甲隊每局比賽獲勝的概率為35,則在甲隊本場比賽所得積分為3分的條件下,甲隊前兩局比賽都獲勝的概率是(2)[2023·安徽懷遠一中等五校聯(lián)考]在某地A,B,C三個縣區(qū)爆發(fā)了流感,這三個縣區(qū)分別有3%,2%,4%的人患了流感.若A,B,C三個縣區(qū)的人數(shù)之比為4∶3∶3,現(xiàn)從這三個縣區(qū)中任意選取一個人,則這個人患了流感的概率是.(用小數(shù)表示)

[聽課筆記]

自測題1.[2023·湖南師大附中模擬]已知甲箱中有6個籃球,2個足球,乙箱中有5個籃球,3個足球.先從甲箱中隨機取出1個球放入乙箱,分別用事件A1,A2表示從甲箱中取出的球是籃球、足球,再從乙箱中隨機取出2個球,用事件B表示從乙箱中取出的2個球都是籃球,則P(B)= ()A.512 B.55144 C.2572 2.[2023·錦州模擬]某考生回答一道有4個選項的單項選擇題,設他會答該題的概率是35,并且會答時一定能答對,若不會答,則在4個選項中任選1個作為答案.已知該考生回答正確,則他確實會答該題的概率是【規(guī)律提煉】1.計算概率是概率小題解題技巧的重要環(huán)節(jié).在計算概率時,通常用兩種方法:頻率法和古典概型法,在解決古典概型相關問題時,可以用枚舉法或者排列組合法計算概率.2.在概率計算中,常常會遇到利用概率的基本性質(zhì)來解決與互斥事件、對立事件有關的概率的判斷或計算.3.當事件不是互斥事件、對立事件時,一般利用條件概率和全概率公式來解決復雜事件.1.[2022·新高考全國Ⅰ卷]從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為 ()A.16 B.13 C.12 2.[2021·新高考全國Ⅰ卷]有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則 ()A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立3.(多選題)[2023·新課標Ⅱ卷]在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).則 ()A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率4.[2022·全國甲卷]從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為.

5.[2023·天津卷]甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球,其總數(shù)之比為5∶4∶6,這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球,取到的三個球都是黑球的概率為;將三個盒子中的球混合后任取一個球是白球的概率為.

微專題15隨機變量及其分布微點1統(tǒng)計與概率的綜合問題例1[2022·新高考全國Ⅱ卷]在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查,隨機調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡,得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);(2)估計該地區(qū)這種疾病患者的年齡在區(qū)間[20,70)內(nèi)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%,從該地區(qū)選出1人,若此人的年齡在區(qū)間[40,50)內(nèi),求此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).自測題[2023·錦州模擬]某中學為提高學生身體素質(zhì),日常組織學生參加中短跑鍛煉,學校在一次百米短跑測試中,抽取了200名女生的成績(單位:秒),整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區(qū)間包含左端點,不包含右端點).(1)估計這200名女生短跑成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)假設該校女生的短跑成績X~N(μ,σ2),其中μ為樣本平均數(shù),σ2為樣本方差s2,經(jīng)計算得s2=5.79,若從該校女生中隨機抽取10人,記其中短跑成績在(11.34,20.98]內(nèi)的人數(shù)為Y,求P(Y≤8)(結(jié)果保留2位有效數(shù)字).附:取5.79等于2.41,若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973,0.682710≈0.0220,0.954510≈0.6277,0.997310≈0.9733,0.68279≈0.0322,0.95459≈0.657微點2比賽情境下的概率分布問題例2[2023·重慶一中模擬]2023年重慶市青少年圍棋團體錦標賽于3月25日在重慶一中開幕.現(xiàn)有來自兩個代表隊的學生報名表,分別裝入兩袋,第一袋有5名男生和4名女生的報名表,第二袋有6名男生和5名女生的報名表,現(xiàn)等可能地選擇一袋,然后從中隨機抽取2名學生的報名表,讓這2名學生與其他代表隊的選手比賽.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的報名表的概率.(2)若某代表隊派甲、乙兩名隊員參賽,比賽記分規(guī)則如下:在每局比賽中,勝者積1分,負者積-1分,沒有平局,比賽共進行兩輪,第一輪是甲、乙各與對方的隊員比賽一局,第二輪是每隊從第一輪比賽的兩名選手中再各派一名選手比賽一局,總積分高者獲勝.已知每局比賽甲贏的概率為34,乙贏的概率為12.甲、乙兩人所在代表隊以最佳策略派出隊員參加第二輪比賽,自測題[2020·全國卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場的概率;(2)求需要進行第五場比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.微點3風險與決策問題例3人工智能(AI)是一門極富挑戰(zhàn)性的科學,自誕生以來,理論和技術日益成熟.某校成立了A,B兩個研究性小組,分別設計和開發(fā)不同的AI軟件用于識別音樂.記兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂的概率分別為P1,P2.為測試AI軟件的識別能力,計劃采用以下兩種測試方案:方案一:將100首音樂隨機分配給A,B兩個小組識別,每首音樂只被一個AI軟件識別一次,并記錄結(jié)果;方案二:對同一首音樂,A,B兩組分別識別2次,如果識別的正確次數(shù)之和不小于3,那么稱該次測試通過.(1)若方案一的測試結(jié)果如下:正確識別的音樂數(shù)量之和占總數(shù)的35,在正確識別的音樂中,A組占23,在錯誤識別的音樂中,B組占(i)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析識別音樂是否正確與軟件類型是否有關聯(lián).單位:首軟件類型識別音樂是否正確合計正確錯誤A組的AI軟件B組的AI軟件合計100(ii)利用(i)中的數(shù)據(jù),將頻率視為概率,求方案二在一次測試中通過的概率.(2)研究性小組為了驗證AI軟件的有效性,需多次執(zhí)行方案二,假設P1+P2=43,問該測試至少要進行多少次,才能使通過次數(shù)的均值為16?并求此時P1,P2的值附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828自測題“五一”期間,某商場為吸引顧客,推出購物促銷優(yōu)惠活動,具體優(yōu)惠方案有兩種.方案一,消費金額不滿300元,不予優(yōu)惠,消費金額滿300元減60元.方案二,消費金額滿300元,可參加一次抽獎活動,活動規(guī)則為:從裝有3個紅球和3個白球共6個球的盒子中任取3個球(這些小球除顏色不同外其余均相同),抽獎者根據(jù)抽到的紅球個數(shù)不同將享受不同的優(yōu)惠折扣,具體優(yōu)惠如下:抽到的紅球個數(shù)0123優(yōu)惠折扣無折扣九折八折七折(1)現(xiàn)有甲、乙兩位顧客各獲得一次抽獎機會,求這兩位顧客中恰好有一人獲得八折優(yōu)惠的概率;(2)若李女士在該商場的消費金額為x(x>300)元,請以李女士實付金額的期望為決策依據(jù),對李女士選擇何種優(yōu)惠方案提出建議.【規(guī)律提煉】1.概率與統(tǒng)計問題體現(xiàn)了較高的思維能力,此類問題以真實情景為載體,注重考查學生的應用意識、化歸與轉(zhuǎn)化能力,充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和綜合性.2.概率問題的核心是概率計算、離散型隨機變量的分布列及其期望求解,其中事件的互斥、對立、相互獨立及條件概率是概率計算的核心,題目一般較為復雜,邏輯性強,需要根據(jù)題目選擇正確的模型和分布列,對號入座,尤其要關注比賽問題、風險決策問題背景的概率題;統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析,考題一般“廣而不深”,重點是統(tǒng)計圖表的應用、樣本的數(shù)字特征及統(tǒng)計案例.1.[2021·新高考全國Ⅱ卷]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下列結(jié)論中不正確的是 ()A.σ越小,該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等2.[2022·新高考全國Ⅱ卷]隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=.

3.[2022·浙江卷]現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

4.[2021·新高考全國Ⅰ卷]某學校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列.(2)為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.

熱點呈現(xiàn):概率與數(shù)列、函數(shù)的結(jié)合以及概率中的證明問題,是近幾年高考出現(xiàn)的熱點問題.概率與數(shù)列、函數(shù)的綜合題主要考查概率背景下數(shù)列及函數(shù)導數(shù)知識的應用.問題一與數(shù)列結(jié)合的概率問題例1[2023·新課標Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率.(2)求第i次投籃的人是甲的概率.(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則E∑i=1nXi=∑i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y自測題長江十年禁漁計劃全面施行,漁民老張積極配合政府工作,如期收到政府的補償款.他決定拿出其中10萬元進行投資,并看中了