專題2.6平行線中常見模型專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【北師大版】1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°2．如圖，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180° C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A3．如圖，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)是（）A．75° B．65° C．55° D．50°4．如圖，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，則∠A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：35．如圖，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°6．如圖，已知AB∥CD，EF∥CD，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°7．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°8．一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝28°，則∠2＝（）A．62° B．58° C．52° D．48°9．如圖，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝．10．如圖，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，則∠AFC＝．11．如圖，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直線FG分別交AB、DE于點(diǎn)F、G．若∠1＝110°，則∠2＝．12．如圖所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4＝．13．如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，則∠4＝．14．如圖，若直線a∥b，那么∠x＝度．15．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，則∠BED的度數(shù)為度．16．如圖，已知直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．17．如圖，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．證明：β＝2α18．如圖，AB∥CD，CP∥FG，點(diǎn)E，G分別在CP，PQ上，連接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判斷AB與PQ存在什么位置關(guān)系？請(qǐng)?jiān)敿?xì)說(shuō)明理由．19．已知，AB∥CD，分別探討四個(gè)圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關(guān)系．（1）請(qǐng)說(shuō)明圖1、圖2中三個(gè)角的關(guān)系，并任選一個(gè)加以證明．（2）猜想圖3、圖4中三個(gè)角的關(guān)系，不必說(shuō)明理由．（提示：注意適當(dāng)添加輔助線吆?。?0．探究：（1）如圖a，若AB∥CD，則∠B+∠D＝∠E，你能說(shuō)明為什么嗎？（2）如圖a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直線AB與CD有什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明；（3）若將點(diǎn)E移至圖b所示位置，AB∥CD，此時(shí)∠B，∠D，∠E之間有什么關(guān)系？請(qǐng)證明；（4）若將點(diǎn)E移至圖c所示位置，AB∥CD，情況又如何？（5）在圖d中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？（6）在圖e中，若AB∥CD，又得到什么結(jié)論？21．已知，AB∥CD，試解決下列問題：（1）如圖1，∠1+∠2＝；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．22．如圖所示，AB∥CD，在AB與CD之間有P1、P2、P3三點(diǎn)，順次連接B、P1、P2、P3、D．（1）分別寫出圖甲、圖乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系與B、D之間的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)嗎？如果有，寫出這個(gè)規(guī)律；（2）如果在圖甲、圖乙中，B、D之間的點(diǎn)變?yōu)镻1、P2、P3、…、Pn，根據(jù)在（1）中的結(jié)論，直接寫出圖甲、圖乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之間的關(guān)系．23．已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．24．問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD＝．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一條折線段．依據(jù)此圖信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為．25．如圖，AB∥CD，EM是∠AMF的平分線，NF是∠CNE的平分線，EN、MF交于點(diǎn)O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度數(shù)；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度數(shù)；（3）探究∠MEN、∠MFN與∠MON之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果）26．課堂上老師呈現(xiàn)一個(gè)問題：已知：如圖，AB∥CD，EF⊥AB與點(diǎn)O，F(xiàn)G交CD與點(diǎn)P，當(dāng)∠1＝30°時(shí)，求∠EFG的度數(shù)．下面提供三種思路：思路一：過點(diǎn)F作MN∥CD（如圖（1））；思路二：過點(diǎn)P作PN∥EF，交AB于點(diǎn)N；思路三：過點(diǎn)O作ON∥FG，交CD于點(diǎn)N．解答下列問題：（1）根據(jù)思路一（圖（1）），可求得∠EFG的度數(shù)為；（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；（3）請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫出求∠EFG的度數(shù)的解答過程．27．已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說(shuō)明理由．28．如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)E和點(diǎn)H分別在直線AB和CD上，點(diǎn)F在直線AB和CD之間，連接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度數(shù)．29．（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．30．已知AB∥CD，線段EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F．（1）如圖①，當(dāng)∠A＝20°，∠APC＝70°時(shí)，求∠C的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括E、F兩點(diǎn)），∠A、∠APC與∠C之間有怎樣的數(shù)量？試證明你的結(jié)論；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，說(shuō)明理由；如果不成立，直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．專題2.6平行線中常見模型專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【北師大版】1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．2．如圖，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180° C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A分析：根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求得．【解答】解：連接AC．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∵∠P+∠PAC+∠PCA＝180°，∴∠BAP+∠P+∠DCP＝∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA＝360°．故選：C．3．如圖，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)是（）A．75° B．65° C．55° D．50°分析：如圖作出兩直線的交點(diǎn)，由a∥b可以推出∠1+∠4＝180°，然后可以求出∠4＝75°．再根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可以求出∠3．【解答】解：如圖作出兩直線的交點(diǎn)，∵a∥b，則∠1+∠4＝180°，∴∠4＝75°，根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得到∠2＝∠3+∠4，則∠3＝65°．故選：B．4．如圖，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，則∠A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3分析：本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等作答．【解答】解：過點(diǎn)E、F分別作AB的平行線EG、FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=2∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=2∴∠BED：∠BFD＝3：2．故選：C．5．如圖，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°分析：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，在本題中，根據(jù)這兩條性質(zhì)即可解答．【解答】解：過點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故選：B．6．如圖，已知AB∥CD，EF∥CD，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)，找圖中的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角即可判斷，所以想到延長(zhǎng)DC到G，然后結(jié)合圖形去分析即可解答．【解答】解：延長(zhǎng)DC到G，∵EF∥CD，∴∠GCE＝∠CEF，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCG＝180°，∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°，∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°，故選：D．7．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°分析：此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．【解答】解：延長(zhǎng)DC交AB與G，延長(zhǎng)CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故選：C．8．一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝28°，則∠2＝（）A．62° B．58° C．52° D．48°分析：過直角的頂點(diǎn)C作CM∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過直角的頂點(diǎn)C作CM∥AB，如圖所示：由題意可得：AB∥DE，∠FCG＝90°，∵CM∥AB，∠1＝28°，∴CM∥DE，∠1＝∠MCG＝28°，∴∠2＝∠FCM，∠FCM＝90°﹣∠MCG＝62°，∴∠2＝62°．故選：A．二．填空題（共8小題）9．如圖，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝125°．分析：首先過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根據(jù)角平分線的定義，即可求得∠ABF+∠CDF的度數(shù)，又由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠BFD的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝110°，∴∠ABE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=1∴∠ABF+∠CDF=12（∠ABE+∠∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．故答案為125°10．如圖，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，則∠AFC＝59°．分析：在△CDE中由外角的性質(zhì)可求得∠FCD，過點(diǎn)F作FG∥AB，可得到∠AFC＝∠BAF+∠FCD，可求得答案．【解答】解：過F作FG∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BAF＝∠AFG，∠FCD＝∠GFC，∴∠AFC＝∠BAF+∠FCD，又∠FCD＝∠FED+∠CDE＝21°+17°＝38°，∴∠AFC＝21°+38°＝59°，故答案為：59°．11．如圖，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直線FG分別交AB、DE于點(diǎn)F、G．若∠1＝110°，則∠2＝70°．分析：如圖，過點(diǎn)C作CH∥AB，則∠ABC+∠BCH＝180°，再由∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，可得出∠DCH+∠CDE＝180°，推出CH∥DE，AB∥DE，再利用平行線性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH∥AB，則∠ABC+∠BCH＝180°，∵∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，即∠ABC+∠BCH+∠DCH+∠CDE＝360°，∴∠DCH+∠CDE＝180°，∴CH∥DE，∴AB∥DE，∴∠DGF＝∠1＝110°，∴∠2＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°．12．如圖所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．分析：連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB＝180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．故答案為：540°．13．如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，則∠4＝140°．分析：過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．【解答】解：過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，∠EFC＝60°，∴∠AEM＝30°，∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，∴∠4＝180°﹣40°＝140°，故答案為：140°．14．如圖，若直線a∥b，那么∠x＝64度．分析：兩平行線間的折線所成的角之間的關(guān)系是﹣﹣﹣﹣奇數(shù)角，由∠1與130°互補(bǔ)可以得知∠1＝50°，由a∥b，結(jié)合我們?nèi)粘？偨Y(jié)的規(guī)律“兩平行線間的折線所成的角之間的關(guān)系﹣?zhàn)筮吔侵偷扔谟疫吔侵汀钡贸龅仁剑霐?shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：令與130°互補(bǔ)的角為∠1，如圖所示．∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故答案為：64．15．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，則∠BED的度數(shù)為42度．分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，過點(diǎn)E作EP∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求∠BED的度數(shù)．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=1∴∠ABE+∠CDE=12（∠ABC+∠∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，故答案為：42．16．如圖，已知直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝17°．分析：過點(diǎn)A作l1的平行線，過點(diǎn)B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后計(jì)算出∠1+∠2＝30°，結(jié)合∠1比∠2大4°，即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作l1的平行線AC，過點(diǎn)B作l2的平行線BD，則∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°，∵∠1＝∠2+4°，∴∠1＝17°，故答案為：17°．三．解答題（共14小題）17．如圖，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．證明：β＝2α分析：此題的關(guān)鍵是過點(diǎn)C作AB的平行線，再利用平行線的性質(zhì)和判定，得出∠A+∠E＝180°，∠B+∠C+∠D＝360°，即可證明．【解答】證法1：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）過C作CF∥AB（如圖1）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一條直線的兩條直線平行）∵CF∥AB，∴∠B＝∠1，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵CF∥ED，∴∠2＝∠D，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠1+∠BCD+∠2＝360°（周角定義）∴β＝2α（等量代換）證法2：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）過C作CF∥AB（如圖2）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一條直線的兩條直線平行）∵CF∥AB，∴∠B+∠1＝180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵CF∥ED，∴∠2+∠D＝180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D＝180°+180°＝360°，∴β＝2α（等量代換）18．如圖，AB∥CD，CP∥FG，點(diǎn)E，G分別在CP，PQ上，連接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判斷AB與PQ存在什么位置關(guān)系？請(qǐng)?jiān)敿?xì)說(shuō)明理由．分析：延長(zhǎng)BA交CP于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)和判定解答即可【解答】解：AB∥PQ，理由如下：延長(zhǎng)BA交CP于點(diǎn)H，∵CP∥FG，∴∠FGQ＝∠CPQ，∵∠CAB＝∠ACP+∠CHA，∵∠CAB＝∠ACP+∠FGQ，∴∠CHA＝∠FGQ，∴∠CHA＝∠CPQ，∴AB∥PQ．19．已知，AB∥CD，分別探討四個(gè)圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關(guān)系．（1）請(qǐng)說(shuō)明圖1、圖2中三個(gè)角的關(guān)系，并任選一個(gè)加以證明．（2）猜想圖3、圖4中三個(gè)角的關(guān)系，不必說(shuō)明理由．（提示：注意適當(dāng)添加輔助線吆?。┓治觯海?）首先過P作AB的平行線PE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，用旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得到∠APC+∠BAP+∠PCD＝360°；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出圖3的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）圖1，∠A+∠P+∠C＝360°，圖2，∠A+∠C＝∠APC，證明圖1：過P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，又∵AB∥CD，∴CD∥PE，∴∠C+∠CPE＝180°，∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C＝360°；（2）圖3：∠PCD＝∠PAB+∠APC，圖4：∠PAB＝∠PCD+∠CPA．20．探究：（1）如圖a，若AB∥CD，則∠B+∠D＝∠E，你能說(shuō)明為什么嗎？（2）如圖a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直線AB與CD有什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明；（3）若將點(diǎn)E移至圖b所示位置，AB∥CD，此時(shí)∠B，∠D，∠E之間有什么關(guān)系？請(qǐng)證明；（4）若將點(diǎn)E移至圖c所示位置，AB∥CD，情況又如何？（5）在圖d中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？（6）在圖e中，若AB∥CD，又得到什么結(jié)論？分析：已知AB∥CD，連接AB、CD的折線內(nèi)折或外折，或改變E點(diǎn)位置、或增加折線的條數(shù)，通過適當(dāng)?shù)馗淖兤渲械囊粋€(gè)條件，就能得出新的結(jié)論，給我們創(chuàng)造性的思考留下了極大的空間，解題的關(guān)鍵是過E點(diǎn)作AB（或CD）的平行線，把復(fù)雜的圖形化歸為基本圖形．【解答】解：（1）過E作EF∥AB，則∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．（2）若∠B+∠D＝∠E，由EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠E＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（3）若將點(diǎn)E移至圖b所示位置，過E作EF∥AB，∴∠BEF+∠B＝180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，∴∠E+∠B+∠D＝360°；（4）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∵∠D+∠E＝∠BFD，∴∠D+∠E＝∠B；（5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D；（6）由以上可知：∠E1+∠E2+…+∠En＝∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D；21．已知，AB∥CD，試解決下列問題：（1）如圖1，∠1+∠2＝180°；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝180°（n﹣1）．分析：（1）根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)作答；（2）過點(diǎn)E作平行于AB的直線，運(yùn)用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和；（3）分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作AB的平行線，運(yùn)用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個(gè)角的和；（4）同樣作輔助線，運(yùn)用（n﹣1）次平行線的性質(zhì)，則n個(gè)角的和是（n﹣1）180°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；（2）過點(diǎn)E作一條直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）過點(diǎn)E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n﹣2）條輔助線，運(yùn)用（n﹣1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n個(gè)角的和是180°（n﹣1）．22．如圖所示，AB∥CD，在AB與CD之間有P1、P2、P3三點(diǎn)，順次連接B、P1、P2、P3、D．（1）分別寫出圖甲、圖乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系與B、D之間的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)嗎？如果有，寫出這個(gè)規(guī)律；（2）如果在圖甲、圖乙中，B、D之間的點(diǎn)變?yōu)镻1、P2、P3、…、Pn，根據(jù)在（1）中的結(jié)論，直接寫出圖甲、圖乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之間的關(guān)系．分析：（1）分別過P1、P2、P3作直線AB的平行線P1E，P2F，P3G，由平行線的傳遞性可知AB∥P1E∥P2F∥P3G，在圖甲中，由平行線的性質(zhì)可得出∠B+∠1＝180°，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6+∠D＝180°，再把各式相加即可；在圖乙中可知∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6＝∠D，再把各式相加即可．（2）由（1）中的規(guī)律即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）有．分別過P1、P2、P3作直線AB的平行線P1E，P2F，P3G，∵AB∥CD，∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．在圖甲中，由平行線的性質(zhì)可得出∠B+∠1＝180°①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6+∠D＝180°④，①+②+③+④得，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝4×180°＝720°∴∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1）?180°；在圖乙中可知∠1＝∠B①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6＝∠D④，①+②+③+④得，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝180°+180°+∠B+∠D＝360°+∠B+∠D．∴∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．（2）由（1）可知，圖甲、圖乙中，B、D之間的點(diǎn)變?yōu)镻1、P2、P3、…、Pn時(shí)，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1）?180°；圖乙中，B、D之間的點(diǎn)變?yōu)镻1、P2、P3、…、Pn，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．23．已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．分析：（1）過點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，過點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【解答】（1）過點(diǎn)G作GE∥AB，因?yàn)锳B∥GE，所以∠A+∠AGE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），因?yàn)椤螦＝140°，所以∠AGE＝40°，因?yàn)锳B∥GE，AB∥CD，所以GE∥CD（平行的傳遞性），所以∠C+∠CGE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螩＝150°，所以∠CGE＝30°，所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．（2）過點(diǎn)G作GF∥AB，因?yàn)锳B∥GF，所以∠A＝AGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)锳B∥GF，AB∥CD，所以GF∥CD（平行的傳遞性），所以∠C＝∠CGF，所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，因?yàn)椤螦＝x°，∠C＝y(tǒng)°所以∠AGC＝（x+y）°，（3）如圖所示，過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，過點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的傳遞性），∴∠BAE＝∠AEM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠MEF＝∠EFN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠NFG＝∠FGQ（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠QGC＝∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，∠FGC＝∠NFG+GCD，而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．24．問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD＝252°．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一條折線段．依據(jù)此圖信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．分析：根據(jù)平行線的判定可得PE∥AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（1）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；問題拓展：分別過A2，A3…，An﹣1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn﹣1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖2，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠APC＝108°，∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；故答案為：252°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖3﹣1，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖3﹣2，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．問題拓展：分別過A2，A3…，An﹣1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn﹣1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．25．如圖，AB∥CD，EM是∠AMF的平分線，NF是∠CNE的平分線，EN、MF交于點(diǎn)O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度數(shù)；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度數(shù)；（3）探究∠MEN、∠MFN與∠MON之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果）分析：（1）作EH∥AB，如圖，利用平行線的性質(zhì)得EH∥CD，則∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，于是得到∠MEN＝∠AME+∠CNE，而∠AME=12∠AMF，所以∠MEN=12∠AMF+∠CNE；同理可得∠MFN＝∠AMF+12∠（2）由（1）的結(jié)論得到∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，變形得到2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，利用等式的性質(zhì)得2∠MFN﹣∠MEN=32∠AMF，加上2∠（3）與（1）的證明方法一樣可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，再變形∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE得到2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，把兩式相加得2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），則∠AMF+∠CNE=2【解答】解：（1）作EH∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分線，∴∠AME=12∠∴∠MEN=12∠AMF+∠CNE同理可得∠MFN＝∠AMF+12∠CNE＝52°（2）∵∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+1∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MFN﹣∠MEN=32∠∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，∴32∠AMF∴∠AMF＝30°；（3）與（1）的證明方法一樣可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，而∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+1∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE=23（∠MEN+∠∴∠MON=23（∠MEN+∠26．課堂上老師呈現(xiàn)一個(gè)問題：已知：如圖，AB∥CD，EF⊥AB與點(diǎn)O，F(xiàn)G交CD與點(diǎn)P，當(dāng)∠1＝30°時(shí)，求∠EFG的度數(shù)．下面提供三種思路：思路一：過點(diǎn)F作MN∥CD（如圖（1））；思路二：過點(diǎn)P作PN∥EF，交AB于點(diǎn)N；思路三：過點(diǎn)O作ON∥FG，交CD于點(diǎn)N．解答下列問題：（1）根據(jù)思路一（圖（1）），可求得∠EFG的度數(shù)為120°；（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；（3）請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫出求∠EFG的度數(shù)的解答過程．分析：（1）過F作MN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，過P作PN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NPD的度數(shù)，再根據(jù)∠1的度數(shù)以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠EFG的度數(shù)；若選擇思路三，過O作ON∥FG，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠BON的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖（1），過F作MN∥CD，∵M(jìn)N∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案為：120°；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，理由如下：如圖（2），過P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若選擇思路三，理由如下：如圖（3），過O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．27．已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說(shuō)明理由．分析：（1）過點(diǎn)P作PE∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得：∠BPE＝∠DBP=12∠MBA＝40°．（2）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥MN，根據(jù)平角可得∠DBA＝180°﹣80°＝100°．由角平分線和平行線的性質(zhì)得∠BPE＝130°．∠PCA=∠CPE=1（3）如圖3，作平行線，同理可得結(jié)論，如圖4和圖5，同理根據(jù)三角形的外角可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PE∥MN．∵M(jìn)N∥GH．∴PE∥MN∥GH．∵PB平分∠DBA．∴∠DBP=12∠∵M(jìn)N∥PE，∴∠BPE＝∠DBP＝40°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．同理可證．∠CPE=∠PCA=1∴∠BPC＝40°+25°＝65°．（2）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=1∵M(jìn)N∥PE，∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=∠CPE=1∴∠BPC＝130°+25°＝155°．（3）如圖3，過點(diǎn)P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝40°＝∠BPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．∴∠PCA=1∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠BPC＝40°+115°＝155°；如圖4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；如圖5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；綜上，∠BPC的度數(shù)為25°或155°．28．如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)E和點(diǎn)H分別在直線AB和CD上，點(diǎn)F在直線AB和CD之間，連接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度數(shù)．分析：（1）過點(diǎn)作FT∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)M作MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義與（1）的結(jié)論分別計(jì)算出∠CHM，∠AEF，∠AEM的度數(shù)，即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）過點(diǎn)作FT∥AB，如圖，∴∠AEF+∠EFT＝180°．∵AB∥CD，F(xiàn)T∥AB，∴FT∥CD，∴∠TFH+∠CHF＝180°．又∠EFT+∠TFH＝∠EFH，∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°．（2）過點(diǎn)M作MN∥AB，如圖2所示，∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠CHM＝∠HMN，∴∠AEM＝∠EMN，∴∠FMH＝∠HMN﹣∠EMN，∴∠FMH＝∠CHM﹣∠AEM．由題知：∠DHF＝80°，∴∠CHF＝100°．∵HM平分∠CHF，∴∠CHM＝50°．由（1）知∠AE