第一節(jié)線性方程組的消元法第二節(jié)矩陣的初等變換第一章線性方程組的消元法

和矩陣的初等變換第一節(jié)線性方程組的消元法一、線性方程組的基本概念1.線性方程組的定義二、消元法解線性方程組2.線性方程組的線性組合1、線性方程組的初等變換2、利用初等變換解一般線性方程組一、線性方程組的基本概念1.線性方程組的定義引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t引例

有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運費為1元，問各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運費最少？幾個線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)的個數(shù)為n

，方程個數(shù)為m

，則線性方程組可以寫成如下形式：若常數(shù)項均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組.n個數(shù)x1=c1，x2=c2，…，xn=cn組成的有序數(shù)組稱為方程組的一個解，記為：所有解組成的集合稱為解集合兩個方程組有相同的解集合，則稱為同解方程組2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來兩個線性方程的和。線性方程乘常數(shù)將線性方程方程的數(shù)乘。兩邊同乘以已知常數(shù)，得到一個新的線性方程：線性方程的線性組合再將所得的兩個方程相加，得到新方程：將線性方程(1)和(2)分別乘兩個已知常數(shù)(3)稱為原來兩個方程(1)和(2)的一個線性組合，稱為這個線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個方程組等價等價的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成同解方程組(II)的過程稱為同解變換。給定的兩個線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。二、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．1、線性方程組的初等變換例1解于是解得小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)例2求解線性方程組定理2在齊次線性方程組第二節(jié)矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換1.矩陣的定義2.幾種特殊矩陣5.矩陣的初等變換7.行階梯形矩陣8.行最簡形矩陣二、用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型3.矩陣相等的概念4.矩陣的轉(zhuǎn)置6.矩陣的等價為了簡化方程組的表達，可以省掉各個未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項，把它們排成一個表，用這個表代替線性方程組，直接對這個表進行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達上可以更加簡潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項一、矩陣及其初等變換對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為矩陣的定義由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱陣.記作矩陣的定義1.矩陣的定義定義1：簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,矩陣中的所以元素非負，稱為非負矩陣.矩陣的定義例如是一個實矩陣,是一個非負矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.矩陣的定義例如是一個3階方陣.2.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作矩陣的定義只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1②兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.3.矩陣相等的概念①兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例4.矩陣的轉(zhuǎn)置線性方程組稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。求解線性方程組在前面：用消元法解下列方程組的過程．例1因為在前述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣A(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．5.矩陣的初等變換???íì=++=+-=++4223224321321321xxxxxxxxx定義2：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:矩陣的初等變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.記作經(jīng)初等變換變成矩陣如果矩陣B,AB.A則等價關(guān)系的性質(zhì)：一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．定義3：6.矩陣的等價例3

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解．例4

求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進行初等變換故方程組有解，且有其中c,d為任意常數(shù)例5求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組行階梯形矩陣行最簡形矩陣稱滿足下列兩個條件的矩陣為行階梯形矩陣：①若有零行（元素全為零的行），則零行位于底部；7.行階梯形矩陣②各非零行的首非零元位于上一行首非零元之右邊.例如：注:豎階梯只下一級。8.行最簡形矩陣例如利用初等行變換，可以把矩陣化為行最簡形矩陣.稱滿足下列三個條件的矩陣為行最簡形矩陣：①行階梯形矩陣；②首非零元均為1；③首非零元所在列其它元素均為０.對增廣矩陣施行初等行變換化到階梯形就是消元法解方程組的消元過程，繼續(xù)施行初等行變換化到行最簡形就是回代的過程。行階梯形行最簡形增廣矩陣例如，二、用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型稱滿足下列兩個條件的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形：①左上角為單位陣；標(biāo)準(zhǔn)形②