2023年陜西省延安市高考文科數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）設集合A={x∣x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},則（CRA）∩B=（）

A.{-1,1}B.{-2,-1）

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2）

2.（5分）已知，為虛數(shù)單位，若J-=I-2i,則IZl=（）

1-1

A.10B.√10C.√5D.√2

3.（5分）正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為√IL則其體積為（）

28

A.28B.—C.32D.24

3

4.（5分）設{〃”}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則'Z<-2”是“對任意的正整數(shù)

n,α2"-ι+"2"<0''的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）如圖，在正方體ABeo-AIBICIDI中，P是線段CZh上的動點，則（）

A.AP〃平面BC1。B.Ap〃平面AlBel

C.APJ_平面AIBDD.AP_L平面BBlDl

6.（5分）冶鐵技術在我國已有悠久的歷史，據(jù)史料記載，我國最早的冶鐵技術可以追溯到

春秋時代已知某鐵塊的三視圖如圖所示，若將該鐵塊澆鑄成一個鐵球，則該鐵球的表面

積為（）

2

2

側(cè)視

圖

2

2

俯

圖

視

233

202B24

A.c?赤D.4VTT

7.（5分）在三棱錐A-BCD中，已知43_1_平面3C。，BC.LCD,若AB=2,BC=CD=Af

則AC與BO所成角的余弦值為（）

√152√2√10√3

A.——B.——C.—D.一

5353

8.（5分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,ca>h,Cos(A-B)=*,a=

10,且CoSC=I則AABC的面積為（）

1515√715√7

A.B.-----C.-----D.15√7

442

9.（5分）在如圖所示的圓臺OOi中，AC為圓。的一條直徑，3為圓弧AC上靠近點C的

一個三等分點，若OiALOcOιA=OιC=2√2,則點A到平面CBOx的距離為（）

2√72√21

A.一B.一C.—D.-----

7777

TC

10.（5分）函數(shù)/（x）=sinωΛ-（ω>0）的圖象向右平移五個單位長度得到函數(shù)y=g（x）

TTTTTCTT

的圖象，并且函數(shù)g（X）在區(qū)間［9（上單調(diào)遞增，在區(qū)間寫，萬］上單調(diào)遞減，則實數(shù)

ω的值為（）

A.10B.18C.2D.8

11.（5分）在通用技術課上，某小組將一個直三棱柱ABC-4陰。展開，得到的平面圖如

圖所示.其中A8=4,AC=3,BC=AA?=59M是BBl上的點，則在直三棱柱ABC-A?B?C?

中，下列結論錯誤的是（)

A.AM與AICj是異面直線

B.AC±A?M

C.平面ABiC將三棱柱截成一個五面體和一個四面體

D.4M+MC的最小值是2屆

12.（5分）設a=3e<3,h=e0β,C=1.6,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）如圖，梯形ABCQ是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中NA8C=45°,

AB=AD=I,DCLBC,則原圖形的面積為.

14.（5分）在平面直角坐標系xθy中，已知向量α=（1,2）,b=（-2,-1）,試寫一個

非零向量C=,使得α?c=b,c.

15.（5分）已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S”，且2S=3""-2",若",”>560,則正整數(shù),〃的

最小值是.

16.（5分）已知在正方體A8CZ）-AIBICIQI中，AB=2,E是8。的中點，F(xiàn)是側(cè)面BBICIC

內(nèi)（含邊界）的動點，若DiELEF,則EF的最小值為.

三、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）如圖，矩形4BC。所在平面與半圓弧前所在平面垂直，M是加上異于C,D

的點.

（1）證明：平面AMQ_L平面BMC；

（2）在線段AM上是否存在點P,使得MC〃平面PB。？說明理由.

M

18.(12分)已知數(shù)列｛麗｝滿足斯+ι+αn=2"+5(n∈N*),且αι=3.

(1)求數(shù)列｛加｝的通項公式;

,

(2)數(shù)列｛加｝滿足bn=*,若hi??2?3......bk=3(A∈N*),

Jog(n+I)α7t,n≥2,neN

求A的值.

19.(12分)如圖，四邊形ABCr)是圓柱的軸截面，O',。分別是上、下底面圓的圓心，EF

是底面圓的一條直徑，DE=DF.

(1)證明：EFLAB-,

(2)若4。=例8=2遙，求三棱錐F-CDE的體積.

20.(12分)如圖，已知正三棱錐V-ABC中，VALVB,Ml=I2,l，T?_L平面ABC,垂足為

D,OE，平面V?B,垂足為E,連接ME并延長，交AB于點

(1)證明：M是AB的中點；

(2)過點E作EFL平面01C,垂足為F,求四面體口5EF的外接球的體積.

21.(12分)在等腰梯形ABCD中，BC//AD,BC=^AD=2,NA=60°,E、0、尸分別

為A。、BE、DE中點(如圖1),將AABE沿BE折起到aAiBE的位置，使得AlOJ_BC

(如圖2).

(I)證明：EUL平面AlOF；

(II)求8到平面MED的距離.

圖1圖2

22.(12分)已知/(x)-ex-x1+h,曲線y=∕(x)與直線y=0r+l相切于點(1,f(1)).

(1)求4,b的值；

(2)證明：當x>0時，3^≥e-2恒成立.

X

2023年陜西省延安市高考文科數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)設集合A={x∣x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},則(CRA)∏B=()

A.{-1,1}B.{-2,-1}

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2}

【解答】解：：A={x|x<-4或x>l},.?.CRA={X∣-4WXW1},

二(CRA)CB={-2,-I,1}.

故選：C.

2.(5分)已知i為虛數(shù)單位，若J-=I-2i,則IZI=()

1-1

A.10B.√10C.√5D.√2

【解答】解：=I-2i,

1-1

?*?z=(1^z)(1-2Z)=-1-3i,

Λ∣z∣=√(-l)2+(-3)2=√10.

故選：B.

3.(5分)正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為，IL則其體積為()

28

A.28B.—C.32D.24

3

【解答】解：如圖所示，正四棱臺中，001是高，

連接OB,。1囪，設從1_。8,垂足為E,

2222

顯然OB=i√4+4=2√2,O1B1=^√2+2=√2,

，該正四棱臺的高為0。1=BIE=Jll—(2√2—V2)2=3,

???正四棱臺的體積V=∣×(22+2×4+42)×3=28.

故選：A.

4.(5分)設｛.｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則％<-2”是“對任意的正整數(shù)

n,a2n-l+α2n<0,'的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：因為。2"-1+。2”<0,

2n22n1

由等比數(shù)列的通項公式可得，a1(q-+q-)<0,

即/(,,^1)(q+↑)<0,所以q∈(-8,-1),

故''qV-2”是“對任意的正整數(shù)〃，"2".|+。2"<0”的充分不必要條件.

故選：B.

5.(5分)如圖，在正方體ABCQ-AIBICIQI中，P是線段CQI上的動點，則()

A.AP〃平面BCiOB.A尸〃平面48。

C.APj_平面AiBOD.APJ_平面BBlDl

【解答】解：如圖，正方體ABeQ-4BιCiQi中，由AAl與CCl平行且相等得平行四邊

形ACelA1,

AiCi//AC,由ACc平面AlBC1,AlCIU平面CIB由,

所以AC〃平面AlBC同理AOi〃平面AlBC

而AOi,AC是平面A。IC內(nèi)兩條相交直線，

因此平面AoIC〃平面AIBC1,又APU平面ADC,

所以AP〃平面AlBCi,

故選：B.

6.（5分）冶鐵技術在我國已有悠久的歷史，據(jù)史料記載，我國最早的冶鐵技術可以追溯到

春秋時代已知某鐵塊的三視圖如圖所示，若將該鐵塊澆鑄成一個鐵球，則該鐵球的表面

積為（）

2

側(cè)視圖

4

c?樂D.4VTT

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為四面體A8CD,其中正方體的棱長為2,

Il4

設四面體ABCD外接球的半徑為r,由VEX*x2x2x2=∣πr3,解得r=??

?7Γ

得4斤

，該鐵球的表面積為S=4π∕=4πx

故選：D.

7.（5分）在三棱鏈A-BC。中，已知ABJ_平面BCD,BCLCD,若AB=2,BC=CD=4,

則AC與BD所成角的余弦值為（）

√15√3

D.

3

【解答】解：如圖，取BC，AB,AO的中點E,F,G連接FG,EF,EG,

?'EF∕∕AC,FG//BD,

：.NEFG（或其補角）即為AC與所成的角.

平面BCD,

：.ABLBC,

：.AC=2√5,則EF=√5,

VBClCD,BD=4√2,FG=2√2.

取BO的中點H,連接GH,EH,

J.HG//AB,

."G，平面BCD,

11

HG1.EH,又G”=*?IB=LEH=WCD=2,

：.EG=√G"2+E"2=√5,

222__

(√g)+(2√?-(√?國

ΛCOSZ-EFG=

2×vf5×2τ∕25?

.?.AC與8。所成角的余弦值為厚.

故選：C.

8.(5分)在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,a>b,CoSG4-B)J〃=

Ql

10,且CoSC=Il,則AABC的面積為()

1515√715√7

A.—B.C.-------D.15√7

442

31

【解答】解：?.ZosC=

32,

.*.cos(A+B)=-cosC=-sin(A+8)=

1

又YcosQl—B)=?,a>b,

ΛA>B,

Λ0<A-B<π,

?*?si∏(√4—B)—&，

?cos2B—cos[(√4+8)-(√4-B)]=一×θH—X:=*

?4O?LΛOO

因為COS28=1-2sin2B=?,

O

..2n_7,_√7?_3?，一?W?-Q31,33√7-5√7

??SLTIΔB—"τ∑^SiTIB=~τ^fcosB=?,siτιA=SITI(B+C)=-?-XZ+9XxZ??="τz^?

JLo1T*T4T?Δ1?A>?O

αb

?-;=~;>'

smASinB

?'?O=8,

???SΔΛBC=；X8X1OX婆=苧.

故選：B.

9.（5分）在如圖所示的圓臺OOi中，AC為圓O的一條直徑，B為圓弧AC上靠近點C的

一個三等分點，若OiALOlGOlA=OlC=2√Σ,則點A到平面CBOi的距離為（）

2√72√21

A.一B.一C.—D.-------

7777

【解答】解：如圖，連接AB，BC,00?,BO,

因為OlA_LOIC,OlA=OIC=2√Σ

所以AC=4,OOl=2,

因為B為圓弧AC上靠近點C的一個三等分點,

所以NBoC=卷NBAC=N

?。

因為AC為圓。的一條直徑,

所以NABC=}AB=2√3,BC-2,

因為。。1，底面48。,

所以三棱錐Oi-4BC的體積V=∣×∣×2√3×3X3=警,

因為。1是圓01的圓心，A,B,C都在圓。上，

所以OIA=OIC=OIB=2√Σ,

因為。18=2或，O∣C=2√2,BC=2,

所以SAO1BC=I×2×J(2√2)2-12=√7,

設點A到平面CBol的距離為d,

由等體積法可得:X√7Xd=隼，

解得d=寫，

Tl

10.(5分)函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)的圖象向右平移石個單位長度得到函數(shù)y=g(x)

的圖象，并且函數(shù)g(X)在區(qū)間盧，芻上單調(diào)遞增，在區(qū)間C，芻上單調(diào)遞減，則實數(shù)

6332

ω的值為()

A.10B.18C.2D.8

Tr

【解答】解：函數(shù)/(x)=sinωx(ω>0)的圖象向右平移石個單位長度得到函數(shù)y=g

(x)=Sin[coCx--^2)]的圖象,

即g(X)=sin(ωx-瞿)；

TCTC_TCTC

由于函數(shù)g(X)在區(qū)間廠，小上單調(diào)遞增，在區(qū)間二，不上單調(diào)遞減，

6332

當X=E時，函數(shù)g(x)取得最大值，即—彳5=5+2"，(A∈Z);

解得3=2+82,(*∈Z),

TτrTT2.71Tt

由函數(shù)的單調(diào)性可知；≥7-二，所以一≥:7,整理得0VωW6,

2376ω3

故當Z=O時，解得3=2.

故選：C.

11?（5分）在通用技術課上，某小組將一個直三棱柱ABC-481。展開，得到的平面圖如

圖所示.其中AB=4,AC=3,BC=AA?=5,M是BBI上的點，則在直三棱柱ABC-4BlCI

A.AM與4。是異面直線

B.AClAiM

C.平面ABiC將三棱柱截成一個五面體和一個四面體

D.4M+MC的最小值是2點

【解答】解：由題設，可得直三棱柱，如圖.

由直三棱柱的結構特征知AM與AlCl是異面直線，A項正確；

因為AAl_L4C,RAlAC,且A4∏8A=A,所以4C_L平面A4B18,

又AIMU平面AAlBlB,故AC_L4M,8項正確；

由圖知，平面ABIC將三棱柱截成四棱錐BLAeClAl和三棱錐BLABC,一個五面體和

一個四面體，C項正確：

將平面AΛ1B∣B和平面CCIBlB展開，展開為一個平面，如下圖，

當Aι,M,C共線時，A∣M+MC的最小值為√痂，。項錯誤.

故選：D.

A4B5C

06

12.(5分)設.=3e°3,?=e?,c=1.6,則()

A.a<b?cB.c<h<aC.h<a?cD.h<c<a

【解答】解：設/(χ)=ex-χ-?,則/(X)="-1,

當犬Vo時，f(X)<0,/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，當x>0時，f(X)<0,/(%)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當XWo時，/(x)>f(O)=0,即d>x+l,

o6

所以α=3e°?3>3X(-0.3+1)=2.1,?=e?>O.6+l=1.6,所以c=1.6最小，

he°?6e°?9e

又因為一=----=——-<-<1,所以b<a.

a3e-0?333

綜上可知，c<b<a.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)如圖，梯形ABCQ是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中∕A8C=45°,

AB=AD^?,DClBC,則原圖形的面積為_2+乎

B

【解答】解：因為AB=40=1,NABC=45°,DCkBC,

/?

所以BC=I+與，A,D,=1,AE=2,B'C'=1+與，

所以S=*{A'D'+B'C')?A'B'=∣×(2+^)×2=2+?.

故答案為：2+孝.

14.(5分)在平面直角坐標系xθy中，已知向量α=(1,2),b=(-2,-1),試寫一個

非零向量”=(-1,1)(答案不唯一)，使得益c=b?c.

【解答】解：因為向量α=(1,2),b=(-2,-1),

所以向量工?關于原點對稱，只要取向量七，所在直線構成的角平分線上的向量均滿足

題意，

不妨取C=(-1,1).

故答案為：(-1,1)(答案不唯一).

15.(5分)已知數(shù)列｛板｝的前〃項和為品，且2S=30"-2”,若所>560,則正整數(shù)，〃的

最小值是6.

【解答】解：?.?2S"=3t?-2"①，

當〃=1時，2Sι=34ι-2,解得“ι=2,

當“22時，2S∏-1=3a∩-i-2(n-1)②，

由①-②得-1+2,即“”+1=3(a.-1+1),

?.Z∣+1=3,.?.數(shù)列｛珈+1｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

則。"+1=3",即an-3n-1,

要使S”>560,即3m-l>56O,

V∕w∈N*,二"？》6，

故正整數(shù)m的最小值是6.

16.(5分)已知在正方體ABCQ-AlBiCiDi中，A5=2,E是BO的中點，F(xiàn)是側(cè)面BBiCiC

內(nèi)(含邊界)的動點，若DIE上EF,則EF的最小值為手.

—5—

【解答】解：取中點M,連接MC,EC,EM,

在矩形BBiDiD中，∕?D?DEs∕?EBM,

則易得力1EJ_EF,又在正方體中，ECjL平面88田1。，所以EULr>1E,

又EMCEC=E,則OlE，平面EMC,即尸點的軌跡是線段MC,在直角aEMC中，

EM=y[3,EC=√2,MC=√5,當EF1MC時,EF=叱廿'=等

MC5

即EF的最小值為^

故答案為：—

三、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)如圖，矩形ABC。所在平面與半圓弧而所在平面垂直，M是加上異于C,D

的點.

(1)證明：平面AMD_L平面BMG

(2)在線段AM上是否存在點P,使得Λ∕C〃平面PBD?說明理由.

【解答】(1)證明：矩形ABC。所在平面與半圓弦前所在平面垂直,

所以AOL半圓弦詼所在平面，CMU半圓弦前所在平面，

：.CMlAD,

M是加上異于C,。的點.：.CM1.DM,DM∏AD=D,

；.CM_L平面AMD,CMU平面CMB,

.?.平面AMr)_L平面BMC；

(2)解：存在P是AM的中點，

理由：連接B。、4C交于。，取AM的中點P,連接0P,連接PZλPB,

可得MC〃。/5,MC?3FSBDP,0P?5FSBDP,

所以MC〃平面PBZx

18.(12分)已知數(shù)列｛。〃｝滿足斯+ι+o∕∕=2"+5(n∈N*),且m=3.

（1）求數(shù)列｛劭｝的通項公式;

1fTi--1

(2)數(shù)列｛加｝滿足hn=,若如?歷?加?…?hk=3("∈N*),

,ogs+i)Qn,n≥2,n∈∕V*

求Z的值.

【解答】解：(1)?.?q〃+ι+Gι=2"+5①，

?*?Cln+2^^Cln+1=2〃+7②，

由②-①得“〃+2-a〃=2,

???數(shù)列｛z｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等差數(shù)列且公差為2,

?.Z1=3,s+αι=7,

.?.42=4,

?*?ciin-1=αι+2(72-1)=2〃+1=2〃-1+2,即當n為奇數(shù)時，cin=M÷2,

?a2n=a2+2(/2-1)=2∕ι+2,即當"為偶數(shù)時，an=π+2,

綜上所述，an=n+2("∈N*);

?九?

(n∈N*),

log)(n+2),n≥2

l(n+1

.,.bι?b2?b3...bk—Iog34×log45×...×log(*+i)(k+2)=log3(?+2)=3,解得A:=25.

19.(12分)如圖，四邊形ABCo是圓柱的軸截面，0，，。分別是上、下底面圓的圓心，EF

是底面圓的一條直徑，DE=DF.

(1)證明：EFLABi

(2)若A。=√5AB=2√5,求三棱錐F-CQE的體積.

【解答】解：（1）證明：連接。。，

因為。E=OF.EF是底面圓的一條直徑，

所以￡>0J_EF,因為AQ是圓柱的母線，EF在底面圓。內(nèi),

所以AO_LEF,因為。OCAO=。，DO,AD?-5FSABCD,

所以EF_L平面ABCO,ABU平面A8C。，

：.EFYAB-,

(2)過點C作CHJ_。力，垂足為H,連接。C,

因為AD=√3AB=2√3,所以OA=OB=I,貝IJOD=OC=√12+1=√13,

在aOCQ中，由余弦定理可得cosZCOD="瑟「=則SinNC0。=Jl-(?j)2=

4√3

"13^,

因為C”_L。。，所以NO4C=90°,所以CH=OC?sin/COH=√Πx等=

由(1)知EF_L平面A8CQ,且C4u平面ABC￡>,所以E凡LC”，

因為CHLOD,且ODHEF=O,所以CH_L平面DEF,

則三棱錐C-DEF的體積為，×∣×2×√13×培^=竽.

4√3

故三棱錐F-CDE的體積為不一.

20.(12分)如圖，已知正三棱錐V-ABC中，VALVB,%=12,Vcl.平面A8C,垂足為

D,OE，平面以8,垂足為E,連接ME并延長，交月B于點M.

(1)證明：例是AB的中點；

(2)過點E作EFL平面W4C,垂足為F,求四面體VDEF的外接球的體積.

V

【解答】證明：(1)VVDl5FffiABGΛVDLAB.

VDEl5FffiVAB,：.DElAB.

'JVDΠDE=D,.?.ABJ>平面W)E,則ABLVM.

又V-ABC是正三棱錐，.?.V?=V8,可得M是A3的中點；

解：(2)?；正三棱錐V-ABC中，VBLVA,.,.VBLVC.

'：V?∩VC=V,；.VB_L平面VAC.

又EF_L平面VAC,.?EF∕∕VB,EF與四交于點F.

如圖1,連接CM,?."D1^A8C,力是正三角形ABC的中心.

圖I

由(1)知，M是AB的中點，,O在CM上.

又AB=√2VΛ=12√2,

F51

：.CM=造AB=6√6,得DM=∣CM=2√6,

又VM=AM=^AB=6√2,.,.VD=√KM2-DM2=4√3,

連接。F,：EF_L平面?4C,￡)E_L平面38,：.VArEF,VA±DE,

'：EFCDE=E,%_L平面DEF,得VFl.DF.

如圖2,取V。的中點0,連接0E,0F.

圖2

在Rt?VFD和Rt?VED中，F(xiàn)O=EO=OV=OD,

，。為四面體VT)EF的外接球的球心，且0。=^VD=2√3.

設四面體VDEF的外接球的半徑為R,則R=2√3.

，四面體VDEF的外接球的體積為V=gττR3=32√3π.

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21.(12分)在等腰梯形A8CE>中，BC//AD,BC=^AD=2,ZA=60a,E、0、尸分別

為A。、BE、DE中點(如圖1),將44BE沿BE折起到aAiBE的位置，使得Alo