關(guān)于連續(xù)梁的矩陣位移法

結(jié)構(gòu)矩陣分析方法的廣泛應用是近年來結(jié)構(gòu)力學最重要的發(fā)展之一，這與計算機技術(shù)的迅速發(fā)展有直接的關(guān)系。它是以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學表述形式，以電子計算機作為計算手段的三位一體的方法。

一、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法§

3.1概述

結(jié)構(gòu)矩陣分析方法的基本思想是：把整個結(jié)構(gòu)看作是由若干單個桿件(稱為單元)所組成的集合體。

1）單元分析：在進行分析時，首先把結(jié)構(gòu)拆散成有限數(shù)目的桿件單元（結(jié)構(gòu)的離散化），寫出各單元桿端的力與位移兩者的關(guān)系式；

2）整體分析：即將這些單元再集合一起，使其滿足平衡條件和位移連續(xù)條件也就是保證離散化了的桿件單元重新集合后仍恢復為原結(jié)構(gòu)；

3）解方程組：求出結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移和內(nèi)力。第2頁,共30頁，2024年2月25日，星期天二、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法的分類

矩陣位移法又分為剛度法和直接剛度法。兩者的基本原理并無本質(zhì)的區(qū)別，只是在形成所謂整體剛度矩陣時使用的方法不同。直接剛度法比較簡便得多，因此得到廣泛的應用。這里就只介紹矩陣位移法中的直接剛度法。

與傳統(tǒng)的力法、位移法和混合法對應，也有矩陣力法、矩陣位移法和矩陣混合法。矩陣位移法具有易于實現(xiàn)計算過程程序化的優(yōu)點而被廣泛應用，我們主要介紹矩陣位移法。

三、矩陣位移法的基本思路

矩陣位移法的作法同上所述：是先把結(jié)構(gòu)拆散成有限數(shù)目的桿件單元進行單元分析而后進行整體分析也就是將這些單元再集合一起，使其滿足平衡條件和位移連續(xù)條件恢復為原結(jié)構(gòu)。第3頁,共30頁，2024年2月25日，星期天基本思路及過程

矩陣位移法分析問題的過程是，首先進行離散化和單元分析，然后進行整體分析，考慮單元的集合得出基本方程組，通過解線性方程組求出結(jié)構(gòu)的位移并求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。分析過程：

1．對結(jié)構(gòu)的結(jié)點和單元進行編號；

2．進行結(jié)構(gòu)的離散化：將結(jié)構(gòu)拆成兩個桿件單元①和②；

3．進行單元分析：建立單元剛度矩陣；

4．進行整體分析：將離散化的各單元重新集合，滿足原結(jié)構(gòu)的平衡條件和位移連續(xù)條件，而得到整體剛度方程。我們利用已求得的各單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣。形成整體剛度矩陣的方法，以直接剛度法最為常用?？偨Y(jié)為：“化整為零，積零為整”第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天123①②i1i2xy1①i12②i23單元①：單元②:由位移連續(xù)條件得：§

3.2連續(xù)梁的單元剛度矩陣第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天由結(jié)點平衡條件：再將(d)式代入，得：即為位移法方程引入矩陣形式（式a、b)可寫為：第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天其中：------稱為單元剛度矩陣。矩陣中的各元素稱為單元剛度影響系數(shù)。------稱為單元桿端力列陣。簡寫為：------稱為單元剛度方程------稱為單元桿端位移列陣。第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天將方程組也用矩陣表示：簡寫為：------稱為整體剛度方程------稱為整體剛度矩陣------為結(jié)點位移列陣------為結(jié)點力（荷載）列陣§

3.3整體剛度矩陣第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天結(jié)構(gòu)剛度矩陣的性質(zhì)：1、對稱性：結(jié)構(gòu)剛度矩陣是一個對稱矩陣，即位于主對角線兩邊對稱位置的兩個元素是相等的。3、結(jié)構(gòu)剛度矩陣是一帶狀矩陣。2、由于連續(xù)梁結(jié)構(gòu)為幾何不變體系，因此其整體剛度矩陣為非奇異矩陣。第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

綜上所述，可將直接剛度法的解算步驟歸納如下：

(1)將結(jié)點和單元進行編號；選擇結(jié)構(gòu)坐標系和局部坐標系。

(2)把所有結(jié)點力沿結(jié)構(gòu)坐標系分解；建立結(jié)點位移列向量和結(jié)點力列向量(兩者的分量要一一對應)。

(3)計算結(jié)構(gòu)坐標系中各單元剛度矩陣的四個子塊。

(4)將各單元剛度矩陣的四個子塊，按其兩個下標在結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣中“對號入座”。

(5)根據(jù)邊界條件修改結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣計算自由結(jié)點位移。

(6)計算在結(jié)構(gòu)坐標系中由桿端位移產(chǎn)生的桿端力；再計算單元在局部坐標系中的桿端力。

(7)計算支座反力。

(8)校核。第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天§3.4非結(jié)點荷載的處理

以上關(guān)于矩陣位移法的討論，是說結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移作為基本未知量。在討論中，我們只考慮了作用結(jié)點荷載的情況。由此所得到的矩陣位移法基本方程，即整體剛度方程，表述了結(jié)點位移和給點荷裁的關(guān)系。而實際上，不論是恒載還是活載常常是作用在桿件單元上的均布荷載、分布荷載或集中荷載。對于這種非結(jié)點荷載的處理，一種方法是，不論均布或分布荷載都適當?shù)馗挠萌舾杉泻奢d加以代替，并把集中荷載的作用點也看作結(jié)點。這樣處理的結(jié)果是，加多了單元和結(jié)點位移，從而增加了計算工作量。另一種則是目前通用的處理方法，即采用所謂的等效結(jié)點荷載。舉例說明如下：第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天1、在施加荷載之前先在結(jié)點處各加上一個剛臂用以限制結(jié)點角位移，這樣，單元即成為固端梁，而后施加荷載。由于荷載作用，在各桿端將產(chǎn)生固端剪力和固端彎矩。2、在原結(jié)構(gòu)的結(jié)點處分別施加與約束反力數(shù)值相等、方向相反的外力、，將兩種情況進行疊加，就可得到原來的荷載作用情況。12=12+12=a)b)c)

、稱為單元的等效結(jié)點荷載(這里所識“等效”，是指圖c與圖a兩種情況的結(jié)點位移是相等的，因為圖b情況的結(jié)點位移為零)。第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

結(jié)構(gòu)全部荷載的處理方法與剛度矩陣類似：首先，針對每一單元的非結(jié)點荷載建立單元等效結(jié)點荷載列矩陣；然后，遵循對號入座的方式，建立結(jié)構(gòu)整體等效結(jié)點荷載列矩陣；最后，將結(jié)構(gòu)直接作用在結(jié)點上的結(jié)點荷載矩陣與結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載矩陣相加，得到整個結(jié)構(gòu)全部的荷載矩陣。

有非結(jié)點荷載作用時的單元桿端力，可以由兩部分疊加而得：一部分是結(jié)點受有約束、各桿件為固端梁情況下的桿端力(固端力)，另部分是綜合結(jié)點荷載作用下的桿端力，即第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天§3.5

直接剛度法的解題步驟和算例直接剛度法中后處理作法的解題步驟：

1．對各單元和結(jié)點進行編號

2．計算整體坐標系的單元剛度矩陣。

3．將各單元剛度矩陣的子塊“對號入座”形成整體剛度矩陣。

4．計算總的荷載列陣，建立整體剛度方程。

5．引入支承條件，修改整體剛度矩陣和整體剛度方程。

6．解整體剛度方程求各結(jié)點位移。

7．計算各單元的桿端力，并進一步求各單元的其它內(nèi)力。。

8．校核。第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例1:計算圖示梁,作彎矩圖解:1.離散化12123(1)(2)(3)2.計算總剛,總荷3.解方程,求位移4.求桿端力67/21/23M第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天M063

五.(零位移)邊界條件處理方法:先處理法后處理法12123(1)(2)(3)后處理法:置0置1法乘大數(shù)法(1)置0置1法00010作彎矩圖練習:第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天作彎矩圖練習:123(1)(2)(3)12M1/2121第17頁,共30頁，2024年2月25日，星期天12123(1)(2)(3)

五.(零位移)邊界條件處理方法:先處理法后處理法后處理法:置0置1法乘大數(shù)法(1)置0置1法(2)乘大數(shù)法若,則將總剛主對角元素乘以大數(shù)N.第三個方程變?yōu)?第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天EI作業(yè):1.作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖2.推導圖示單元的單剛l3.計算圖示梁總剛中元素l2l3l2llEI2EI3EI4EI5EI4.思考題

(1).連續(xù)梁的總剛為何應是一個三對角矩陣?(2).荷載不作用于結(jié)點上時怎么辦?(3).連續(xù)梁單剛和總剛是奇異還是非奇異矩陣?第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例題2矩陣位移法解圖示梁,作M圖.解:1.離散化1234123(1)(2)(3)(4)2.求總剛第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天1234123(1)(2)(3)(4)例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.解:1.離散化2.求總剛3.求總荷21第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.1234123(1)(2)(3)(4)解:1.離散化2.求總剛3.求總荷4.邊界條件處理第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天1234123(1)(2)(3)(4)例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.解:1.離散化2.求總剛3.求總荷4.邊界條件處理5.解方程6.求桿端力第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.1234123(1)(2)(3)(4)解:1.離散化2.求總剛3.求總荷4.邊界條件處理5.解方程6.求桿端力7.作M圖1.2927.4319.439.71第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天邊界條件的先處理法解:1.離散化1234123(1)(2)(3)(4)2.求總剛1234123(0)(1)(2)(0)3+8448+34.解方程先處理法后處理法其它過程同后處理法3.求總荷第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天九.

無結(jié)點線位移的剛架計算1(0)2(1)3(2)4(0)123解:1.離散化2.求總剛3.求總荷2312第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天1(0)2(1)3(2)4(0)123九.

無結(jié)點線位移的剛架計算