第二部分專題四第1講(理科)專題訓(xùn)練十四概率、隨機變量及其分布列一、選擇題1．(2020·滄州七校聯(lián)考)某道路的A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒，35秒，45秒，某車在這條路上行駛時三處都不停車的概率是(A)A．eq\f(35,192) B．eq\f(25,192)C．eq\f(55,192) D．eq\f(65,192)【解析】由P(ABC)＝eq\f(25,60)×eq\f(35,60)×eq\f(45,60)＝eq\f(35,192)，故選A．2．(2020·益陽模擬)軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱O′O中，以底面圓O為底面圓，OO′的中點O″為頂點作圓錐O″O，現(xiàn)在等邊圓柱O′O中隨機取一點，則該點取自圓錐O″O內(nèi)的概率是(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)【解析】設(shè)等邊圓柱O′O的高為h，由幾何概型的概率計算公式知，該點取自圓錐O″O內(nèi)的概率是P＝eq\f(V圓錐O″O,V等邊圓柱O′O)＝eq\f(\f(1,3)S圓O·\f(1,2)h,S圓O·h)＝eq\f(1,6)，故選C．3．(2020·福建模擬)已知隨機變量X∽N(2,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示．若在邊長為1的正方形OABC內(nèi)隨機取一點，則該點恰好取自黑色區(qū)域的概率為(D)附：若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544．A．0.1359 B．0.6587C．0.7282 D．0.8641【解析】由題意P(0＜X≤1)＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359．在正方形OABC內(nèi)隨機取一點，則該點恰好落在陰影部分的概率為P＝eq\f(1×1－0.1359,1×1)＝0.8641．故選D．4．(2020·梅州一模)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,32) D．eq\f(3,16)【解析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，即正面向上的概率為eq\f(1,2)，∵連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率P＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(3,16).故選D．5．(2020·四川省成都市期末)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則關(guān)于x，y方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－8＝0,x2＋y2－4＝0))，有實數(shù)解的概率為(B)A．eq\f(2,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,36) D．eq\f(9,36)【解析】因為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－8＝0,x2＋y2－4＝0))有解，故直線ax＋by－8＝0與圓x2＋y2＝4有公共點，所以eq\f(|8|,\r(a2＋b2))≤2即a2＋b2≥16，當a＝1時，b＝4,5,6，有3種情形；當a＝2時，b＝4,5,6，有3種情形；當a＝3時，b＝3,4,5,6，有4種情形；當a＝4,5,6時，b＝1,2,3,4,5,6，有18種情形；故方程有解有28種情形，而(a，b)共有36種不同的情形，故所求的概率為eq\f(28,36)＝eq\f(7,9).故選B．6．(2020·諸暨市模擬)隨機變量ξ的分布列如表，若E(ξ)＝0，則D(ξ)＝(A)ξ－303Peq\f(1,3)abA．6 B．2C．0 D．eq\r(6)【解析】由題可知，a＋b＋eq\f(1,3)＝1，∴a＋b＝eq\f(2,3)，E(ξ)＝－3×eq\f(1,3)＋0×a＋3b＝0，解得b＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(1,3)，∴D(ξ)＝(－3－0)2×eq\f(1,3)＋(0－0)2×eq\f(1,3)＋(3－0)2×eq\f(1,3)＝6．故選A．7．(2020·四川模擬)以正三角形的頂點為圓心，其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國機械工程專家、數(shù)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)．如圖，D，E，F(xiàn)為正三角形ABC各邊中點，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(陰影部分)，若在△ABC中隨機取一點，則該點取自于該勒洛三角形部分的概率為(C)A．eq\f(π－\r(3),2) B．eq\f(2\r(3)π－3,9)C．eq\f(\r(3)π－3,6) D．eq\f(\r(3)π－2,6)【解析】設(shè)三角形ABC邊長為2，則正三角形DEF邊長為1，以D為圓心的扇形面積是eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)△DEF的面積是eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴勒洛三角形的面積為3個扇形面積減去2個正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π－\r(3),2)，△ABC面積為eq\r(3)，所求概率P＝eq\f(π－\r(3),2\r(3))＝eq\f(\r(3)π－3,6).故選C．8．(2020·嵊州市二模)設(shè)0＜p＜eq\f(1,2)，隨機變量X的分布列是X－101Pp(1－p)1－2pp(1＋p)則當p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時(A)A．E(X)增大，D(X)增大 B．E(X)減小，D(X)增大C．E(X)增大，D(X)減小 D．E(X)減小，D(X)減小【解析】令p＝eq\f(1,4)，則E(X)＝－1×eq\f(3,16)＋0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(5,16)＝eq\f(1,8)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,8)))2×eq\f(3,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))2×eq\f(5,16)＝eq\f(31,64).令p＝eq\f(1,3)，則E(X)＝－1×eq\f(2,9)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＝eq\f(2,9)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,9)))2×eq\f(2,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,9)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,9)))2×eq\f(4,9)＝eq\f(50,81).∵eq\f(1,8)<eq\f(2,9)，eq\f(31,64)＜eq\f(50,81).∴當p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時，E(X)增大，D(X)增大．故選A．二、填空題9．(2020·全國三模)隨著國內(nèi)疫情形勢好轉(zhuǎn)，暫停的中國正在重啟，為了盡快提升經(jīng)濟、吸引顧客，哈西某商場舉辦購物抽獎活動，凡當日購物滿1000元的顧客，可參加抽獎，規(guī)則如下：盒中有大小質(zhì)地均相同5個球，其中2個紅球和3個白球，不放回地依次摸出2個球，若在第一次和第二次均摸到紅球則獲得特等獎，否則獲得紀念獎，則顧客獲得特等獎的概率是__eq\f(1,10)__.【解析】設(shè)2個紅球分別為A，B,3個白球分別為a，b，c，不放回地依次摸出2個球，基本事件總數(shù)有10個，分別為：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，第一次和第二次均摸到紅球包含的基本事件只有(A，B)，則顧客獲得特等獎的概率是P＝eq\f(1,10).10．(2020·新疆二模)點P是△ABC內(nèi)部任意一點，則△PAB的面積小于△ABC面積一半的概率為__eq\f(3,4)__.【解析】設(shè)D，E分別為CB，AC的中點，由題意可知，△PAB的面積小于△ABC面積一半P，∴P到BA的距離小于C到BA的距離的一半，P所在的區(qū)域為如圖DE下方所示的陰影部分，∵S△CDE＝eq\f(1,4)S△ABC，則所求概率為eq\f(3,4)11．(2020·焦作四模)某一批花生種子的發(fā)芽率為p，設(shè)播下10粒這樣的種子，發(fā)芽的種子數(shù)量為隨機變量X.若D(X)＝eq\f(12,5)，則p＝__eq\f(2,5)或eq\f(3,5)__.【解析】X服從二項分布，即X～B(10，p)．因為D(X)＝eq\f(12,5)，所以10×p×(1－p)＝eq\f(12,5)，解得p＝eq\f(2,5)或p＝eq\f(3,5).12．(2020·浙江模擬)兩個實習(xí)生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(1,2)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，設(shè)兩人加工的零件中為一等品的個數(shù)為ξ，則E(ξ)＝__eq\f(7,6)__；若η＝3ξ－1，則D(η)＝__eq\f(17,4)__.【解析】兩個實習(xí)生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(1,2)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，設(shè)兩人加工的零件中為一等品的個數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，∴Eξ＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(7,6)，Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(7,6)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,6)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,6)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(17,36)，∵η＝3ξ－1，∴Dη＝9Dξ＝9×eq\f(17,36)＝eq\f(17,4).三、解答題13．(2020·陜西省漢中市質(zhì)檢)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值為200,300,400，P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)A\o\al(3,3)×2,A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，(或P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝eq\f(3,5))，故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(6,10)E(X)＝200×eq\f(1,10)＋300×eq\f(3,10)＋400×eq\f(3,5)＝350(元)．14．(2020·鎮(zhèn)江三模)隨機將2n(n∈N*，n≥2)個連續(xù)正整數(shù)1,2,3，……，2n分成A，B兩組，每組n個數(shù)，A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記ξ＝a2－a1，η＝b2－b1，設(shè)D表示“ξ與η的取值恰好相等”的事件，P(D)表示事件D發(fā)生的概率．(1)當n＝3時，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)當n＝3時，求P(D)；(3)請判斷P(D)與eq\f(1,2)的大小(只判斷不證明)．【解析】(1)當n＝3時，ξ的取值可能為2,3,4,5其中P(ξ＝2)＝eq\f(4,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(6,C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(6,C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝5)＝eq\f(4,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故隨機變量ξ的分布列為：ξ2345Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)eq\f(1,5)ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(1,5)＝eq\f(7,2).(2)∵D表示“ξ與η的取值恰好相等”的事件，∴P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,6)＋…＋C\o\al(n－2,2n－2),C\o\al(n,2n))，當n＝3時，P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(2,5).(3)P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,6)＋…＋C\o\al(n－2,2n－2),C\o\al(n,2n))，n＝1時，P(D)＝2×eq\f(1,C\o\al(1,2))＝1＞eq\f(1,2)，n＝2時，P(D)＝2×eq\f(1＋1,C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)>eq\f(1,2)，n＝3時，P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(2,5)＜eq\f(1,2).綜上，n＝1或n＝2時，P(D)＞eq\f(1,2)，n≥3時，P(D)＜eq\f(1,2).15．(2020·中衛(wèi)三模)2020新型冠狀病毒感染的肺炎的傳播有飛沫、氣溶膠、接觸等途徑，為了有效抗擊疫情，隔離性防護是一項具體有效措施．某市為有效防護疫情，宣傳居民盡可能不外出，鼓勵居民的生活必需品可在網(wǎng)上下單，商品由快遞業(yè)務(wù)公司統(tǒng)一配送(配送費由政府補貼)．快遞業(yè)務(wù)主要由甲公司與乙公司兩家快遞公司承接：“快遞員”的工資是“底薪＋送件提成”．這兩家公司