考點(diǎn)鞏固卷18空間向量與立體幾何(九大考點(diǎn))考點(diǎn)01 空間向量及其運(yùn)算1．已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)算即可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.2．已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，求出n值，再利用夾角公式計(jì)算作答.【詳解】向量，則，由，得，解得，，因此，，，所以與的夾角的余弦值.故選：B3．設(shè)空間向量，，若，則．【答案】9【分析】先利用空間向量共線定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，再利用向量模的計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：因?yàn)榭臻g向量，，且，所以，即，可得，解得，，所以，則，所以．故答案為：94．在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，則．【答案】1【分析】由向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可．【詳解】如圖所示，

在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，則.故答案為：1.5．如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，則．

【答案】/【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.6．已知向量，若，則．【答案】【分析】設(shè)，依題意可得，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故答案為：.考點(diǎn)02空間共面向量定理7．已知點(diǎn)，，，分別位于四面體的四個(gè)側(cè)面內(nèi)，點(diǎn)是空間任意一點(diǎn)，則“”是“，，，四點(diǎn)共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共面定理，結(jié)合充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】充分性：因?yàn)?，且，由空間向量共面定理可知，，，，四點(diǎn)共面，所以充分性成立，必要性：若，，，四點(diǎn)共面，，則，其中，，只是其中的一種情況，，，也可以是其他和為1的取值，所以必要性不成立，綜上所述，“”是“，，，四點(diǎn)共面”的充分不必要條件，故選：A．8．已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】利用向量共面定理，設(shè)，列出方程組，即可求出實(shí)數(shù)．【詳解】，三向量共面，可設(shè)，即，，解得．故選：A．9．（多選）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)各項(xiàng)中向量之間的線性關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.【詳解】A：，如下圖，，

由的關(guān)系不定，則不一定在面上，滿足；B：，如下圖，此時(shí)滿足上式，

此時(shí)，M與A，B，C不共面，滿足；C：因?yàn)?，所以，所以M，A，B，C共面，不滿足.D：，如下圖，

此時(shí)，M與A，B，C不共面，滿足；故選：ABD10．設(shè)，，是三個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①；②；③；④；⑤中選出可以與，構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量，則所有可以選擇的向量為（填序號(hào)）.【答案】③④⑤【分析】利用空間向量基本定理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)空間向量基本定理知，構(gòu)成基底只要三個(gè)向量不共面即可，故①②不合題意，又，，是三個(gè)不共面的向量，故只要含有向量即可，故③④⑤都可以.故答案為：③④⑤.11．如圖，從所在平面外一點(diǎn)O作向量.求證：(1)四點(diǎn)共面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用共面向量定理證明，由可得四點(diǎn)共面；（2）利用共線向量定理，可得：，，從而利用面面平行的判定定理即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，因?yàn)閺乃谄矫嫱庖稽c(diǎn)O作向量，所以,所以共面，因?yàn)橛泄捕它c(diǎn)，所以四點(diǎn)共面；（2）證明：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由?）知，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平?12．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．

【答案】證明見解析【分析】利用重心的性質(zhì)并利用平面向量的加減法則將向量可表示成，根據(jù)空間向量的共面定理即可得出證明.【詳解】如圖，分別連接PE，PF，PG，PH并延長(zhǎng)交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)M，N，Q，R，連接EG，MQ，EF，EH．

由于E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分別為所在邊的中點(diǎn)，即，，且；所以順次連接M，N，Q，R所得的四邊形為平行四邊形，且有，，，．由于四邊形MNQR為平行四邊形，可得．由于三個(gè)向量有公共點(diǎn)E，根據(jù)空間向量的共面定理可得向量共面；所以四點(diǎn)共面.考點(diǎn)03求平面的法向量13．已知向量，平面α的一個(gè)法向量，若，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到得到，從而得到關(guān)系式.【詳解】由題意可知，故，故選：C14．已如點(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出法向量，利用向量垂直得到方程組，取求出，與共線的向量也是法向量，得到答案.【詳解】由，，，得，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即,取，則，故，則與共線的向量也是法向量，經(jīng)驗(yàn)證，只有C正確..故選：C．15．（多選）已知平面與平面平行，若是平面的一個(gè)法向量，則平面的法向量可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由平行平面的法向量共線，可求解.【詳解】設(shè)平面的法向量可能為，則由題意可得，對(duì)于選項(xiàng)，，滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，無解，所以不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，無解，所以不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，滿足題意．故選：AD．16．（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】，由為平面的一個(gè)法向量，得，解得.故選：AC.17．在正方體中，棱長(zhǎng)為2，G，E，F(xiàn)分別為，AB，BC的中點(diǎn)，求平面GEF的一個(gè)法向量．【答案】一個(gè)法向量為【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．由此可得，．

設(shè)平面GEF的法向量為，則，令，則，，即平面GEF的一個(gè)法向量為．考點(diǎn)04 利用空間向量證明平行，垂直18．如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求平面的法向量，根據(jù)線面平行可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因?yàn)?，則，由∥平面，可得，解得.故選：C.19．如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

證明：平面平面.【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，利用法向量證明面面垂直.【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，

在正三棱柱中，不妨設(shè);以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，即.因?yàn)椋云矫嫫矫妫?0．如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，．求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理推出平面，進(jìn)一步推出，再根據(jù)空間向量可證.【詳解】在矩形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因平面，所以，又，所以，所?21．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來證得平面【詳解】由題意，在矩形中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，平面，∴面，面，∴，取中點(diǎn)，連接，∵，∴，所以四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵面，面，∴面，∵平面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，∴，面的一個(gè)法向量為，∵，平面，∴平面.

22．如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.證明：平面.【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來證得平面【詳解】在三棱柱中，平面，，，.所以，則，則，則如下圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，即，所以，得，又平面，所以平面.23．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點(diǎn)，已知，．

(1)求證：；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明．（2）運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理可證得，進(jìn)而運(yùn)用線面垂直的判定定理可證得平面PAC，進(jìn)而可證得面面垂直.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，所以，，所以，所以．（2）連接，，如圖所示，

因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)?，、面，所以面，又因?yàn)槊?，所以平面平面．考點(diǎn)05 求空間角24．如圖，在棱錐中，，，兩兩垂直，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），

則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.25．如圖，在幾何體中，，，，，，平面，則直線與平面所成角的正弦值為.

【答案】【分析】由且可得四點(diǎn)共面，則可延長(zhǎng)交與，由平面,可知直線與平面所成角即，中求即可.【詳解】且四點(diǎn)共面延長(zhǎng)交與,如圖

平面,平面直線與平面所成角即,,則即可解得則中可得故答案為：.26．如圖，在四棱錐中，，，，E為PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面PAD；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取CD的中點(diǎn)O，連接EO，BO，利用三角形中位線和同位角相等兩直線平行，通過證明平面平面PAD即可得證.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可.【詳解】（1）取CD的中點(diǎn)O，連接EO，BO，∵E為PC中點(diǎn)，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵，，∴，又，∴，∴,∴為等邊三角形，∴，又，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又，平面∴平面平面PAD，而平面EOB，∴平面PAD.

（2）∵，∴.∵平面平面ABCD，平面，∴平面ABCD，又為等邊三角形，∴，又∵平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，∴平面PCD，∵在中，，，∴，∵，∴，在等邊中，∵，∴，.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面PCB的法向量為，所以，令，則，由上可知，平面PCD的一個(gè)法向量為，∴，故二面角的余弦值為

27．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱上，且，．

(1)證明：；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在上取一點(diǎn)G，使得，連接EG，，通過證明四邊形是平行四邊形，以及四邊形是平行四邊形得到；（2）連接AC，BD交于點(diǎn)O，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，求其夾角的余弦值即可得答案.【詳解】（1）如圖，在棱上取點(diǎn)，使得，

又，所以四邊形為平行四邊形，則且，又且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以．（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

，，設(shè)平面的法向量為，由得，，解得，，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，由得，，解得，令，則，設(shè)兩個(gè)平面夾角大小為，則．28．如圖，正三棱柱中，，，，，.

(1)試用，，表示；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，且，，，，可得，，，則，所以異面直線與角的余弦值為.29．如圖，等腰直角，，，、分別為、中點(diǎn)，將沿翻折成，得到四棱錐，為中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若直線與平面成角為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三線合一可得，，在結(jié)合平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知直線與平面成角為，進(jìn)而可證平面，建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，，可得∥，，則為平行四邊形，可得∥，由，且分別為的中點(diǎn)，則，可得，由，且分別為的中點(diǎn)，則，且，平面，所以平面.（2）由（1）可知：平面，則直線與平面成角為，可得，連接，則，即，可得，又因?yàn)?，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，且直線與平面所成角為銳角，所以與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)06 已知夾角求其他量30．如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，則線段的長(zhǎng)為【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出的最大值，從而確定Q點(diǎn)在上的位置，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠矫婺辏詢蓛纱怪?以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,因?yàn)?設(shè)，又，則，又，從,設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為,即直線與所成角的余弦值的最大值為，而直線與所成角的范圍為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故此時(shí)直線與所成角最小，又因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得的夾角的余弦的最大值，即可確定Q點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得答案，因此在解決類似問題時(shí)，可以嘗試建立空間坐標(biāo)系，利用向量解決問題，可以簡(jiǎn)化題目的難度.31．如圖，在長(zhǎng)方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值取最大值時(shí)，.

【答案】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，再求出平面的法向量，利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，，取，可得平面的法向量為所以，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)故答案為：

32．正四棱柱中，與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為．【答案】/0.75【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出異面直線的夾角的余弦值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槔庵鶠檎睦庵?，設(shè)，，則，其中平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，解得：，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，所以.故答案為：33．如圖，平行六面體中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1與平面D1EB的夾角的余弦值為，則線段D1E的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】先證明平面ABCD，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，由平面與平面夾角的余弦值為，列式求得線段的長(zhǎng)度．【詳解】底面ABCD和側(cè)面是矩形，，，又，平面，平面，平面，平面，；又，且，平面ABCD,平面ABCD．平面ABCD．以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，過E作交于，以分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0,，1,，1,，0,．設(shè)，則0,，2,．設(shè)平面的一個(gè)法向量為y,，1,，0,，由，令，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，0,，1,，由，令，得．由平面與平面所成的夾角的余弦值為，得，解得(負(fù)值舍去)．．故答案為：34．如圖，在直三棱柱中，，，為上一點(diǎn)．若二面角的大小為，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得點(diǎn)D坐標(biāo)，即得AD長(zhǎng).【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，.設(shè)平面的法向量為，

則，令，則，即，又平面的一個(gè)法向量為，記為，則由，得，即，故.故答案為：.35．三棱錐中，，，記二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值的取值范圍是.【答案】【分析】取中點(diǎn)，連，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與所成角的余弦值取值范圍．【詳解】取中點(diǎn)，連接，，．，，，且，，是二面角的平面角，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，連、，則，，，，設(shè)、的夾角為，則，，，,,,則．故答案為：

考點(diǎn)07 求異面直線，點(diǎn)到面或者面到面的距離36．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線距離可得.【詳解】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設(shè)P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設(shè)異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點(diǎn)P到直線AC的距離為：，點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

37．（多選）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，則（

）

A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為2C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為【答案】AD【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離，判斷A；先證明，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解，判斷B；求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，判斷C；把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；因?yàn)?，所以，即所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，所以直線到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，.由，令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由C得平面的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為，故D正確.故選：AD.38．（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量逐項(xiàng)分析.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如下圖所示坐標(biāo)系：則：，，設(shè)，則有：，又，解得，，，，同理可得；對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，，，即，又,故是異面直線與的公垂線段，正確；對(duì)于C，設(shè)與所成的角為，則，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知是與的公垂線段，，正確；故選：ABD.39．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，且側(cè)棱底面，底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，，分別為，的中點(diǎn)，則平面與平面之間的距離為．【答案】/【分析】先證明平面平面，則平面與平面間的距離即為點(diǎn)到平面的距離，以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求點(diǎn)到平面的距離，從而可得答案.【詳解】如圖，連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，∴平面與平面間的距離即為點(diǎn)到平面的距離.根據(jù)題意，底面，，兩兩垂直，則以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取可得，點(diǎn)到平面的距離記為d，則d＝＝＝，∴平面與平面間的距離為.故答案為：.40．已知在邊長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段取得最小值.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，線段取得最小值，此時(shí)滿足，再根據(jù)向量法求解即可.【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，線段取得最小值，此時(shí)滿足.所以，，所以，即，解得，此時(shí)所以當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，最小值為故答案為：；.41．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線到直線的距離；（2）轉(zhuǎn)化為到平面的距離,利用點(diǎn)到平面的距離向量法可得答案.【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.考點(diǎn)08 求點(diǎn)到線的距離42．如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量線性運(yùn)算可求得，根據(jù)向量夾角公式可得，進(jìn)而求得，由可求得結(jié)果.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，且為銳角，，點(diǎn)到的距離.故選：D.43．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離是 B．點(diǎn)到平面的距離為C．點(diǎn)到直線的距離為 D．平面與平面間的距離為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積求得各個(gè)選項(xiàng)的距離，得出結(jié)論.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．對(duì)于A，設(shè)，則．故到直線的距離，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又?平面,所以平面，平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)到的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，．設(shè)平面的法向量為，所以令，得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，所以平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，故D正確．

故選：ABD.44．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是．【答案】/【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出點(diǎn)到直線的距離為.【詳解】因?yàn)槠矫妫酌鏋檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，，，，所以，，所以，的中點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.45．如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共面.

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長(zhǎng)度為2，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作，交底面弧于，連接，有為平行四邊形，根據(jù)題設(shè)可得，即，再由線面垂直的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，令半圓柱半徑為，高為，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求平面、平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及已知條件可得，即可求出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】（1）過作，交底面弧于，連接，易知：為平行四邊形，所以，又為弧的中點(diǎn)，則是弧的中點(diǎn)，所以，而由題設(shè)知：，則，所以，即，由底面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由題意，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，令半圓柱半徑為，高為，則，，，，所以，，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，整理可得，則，又，由題設(shè)可知，此時(shí)點(diǎn)，，，則，，所以點(diǎn)到直線的距離.

.考點(diǎn)09點(diǎn)的存在性問題46．如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動(dòng)的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必然異面；③設(shè)直線AE，AF分別與平面相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)可能在直線PQ上.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時(shí)，可證明四邊形是平行四邊形，故可判斷①②；建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)，且長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，利用空間向量證明三點(diǎn)共線【詳解】長(zhǎng)方體中，，連接，，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四邊形是平行四邊形，所以在F運(yùn)動(dòng)的過程中，直線能與AE平行，與EF相交，①正確，②錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)且長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，，，則，，則，又兩向量有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故則點(diǎn)可能在直線PQ上，③正確.故選：B47．圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且.

(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為【分析】（1）由二面角平面角定義可知是二面角的平面角，利用勾股定理可說明，由此可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）在圖①中，連接，交于，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，，；在圖②中，相交直線均與垂直，是二面角的平面角，，，，，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖②所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，解得：，，；點(diǎn)到平面的距離，解得：或（舍），，，，直線與平面所成角的正弦值為.

48．已知正四棱臺(tái)的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）先求得正四棱臺(tái)的高，然后求得側(cè)棱與底面所成的角.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法確定是否存在符合題意的點(diǎn).【詳解】（1）依題意，在正四棱臺(tái)中，，所以上底面積，下底面積，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則.連接，則，所以，設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，由于線面角的取值范圍是，所