1.(2023?新課標I卷第4題)設(shè)函數(shù)f(x)=2Mxe在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.(3,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.⑵儕)

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，為較易題.

【解答】

解：結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，易得色..1,所以。的取值范圍是⑵田);故選。.

2

2x-l

2.(2023?新課標II卷第4題)若/(x)=(x+a)ln-------為偶函數(shù)，則。=()

2x4-1

1

A.-1B.0C.-D.1

2

【答案】8

【解析】

【分析】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，為基礎(chǔ)題.

【解答】

解：/(X)為偶函數(shù)，/(1)=/(-1)..-.(l+?)ln|=(-l+a)ln3,故選8

3.(2023?新課標I卷第10題)(多選)噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強弱，定

義聲壓級4=20xlg2，其中常數(shù)為(%>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓?下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

1060?90

燃油汽車

1050-60

混合動力汽車

1040

電動汽車

己知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10，"處測得實際聲壓分別為回，p2,凸，則()

p

A.B.p2>10p3C.3=100p0D.Pp,100/72

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

利用公式聲壓級公式結(jié)合每種汽車聲壓級范圍計算即可逐項判斷.

【解答】

解：A,-Aj=20xlg--20xlg—=20xlg—>0,.1.—>1,pt>p2,所以A正確;

PoPoP2Pl

&-4=20xlg".J0,.〔Ig隹.?.上所以B錯誤;

PiP32ft

.L,=20xIg^=40..-.^-=100,所以C正確；

P<>P<>

Z1-L1=20xIgA,90-50=40,.〔Ig且,,2,.?.旦,,100,所以。正確.

PiP2P2

故選ACD

4.(2023?新課標I卷第11題)(多選)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,/(盯)=>2/(x)+x"(y),貝4()

A./(0)=0B./⑴=0

C./(X)是偶函數(shù)D.x=0為/(X)的極小值點

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的極值點，屬中檔題.

通過賦值法，可判斷ABC選項.對于D選項可設(shè)常函數(shù)/(X)=0,進行排除.

【解答】

解：選項4令x=y=0,則/(0)=0xf(0)+0x/(0),則/(0)=0,故A正確;

選項8,令x=y=l,則/(l)=lxf(l)+lxf(D,則/(1)=0,故B正確；

選項C,令x=y=-l,貝iJ〃l)=(T)2x/(—l)+(—l)2*/(-l),則/(—1)=0,

再令y=T,則/(-x)=(—l)2/(x)+x2f(-l),BPf(-x)=f(x),故C正確；

選項D,不妨設(shè)/(x)=0為常函數(shù)，且滿足原題，(孫)=y?(x)+x2〃y),而常函數(shù)沒有極值點，故。錯誤.

故選：ABC.

[2022年真題】

5.(2022?新高考I卷第12題)(多選)已知函數(shù)/。)及其導(dǎo)函數(shù)7''(x)的定義域為R,記g(x)=/(x).

3

若/(/-2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，貝！]()

A./(O)=OB.g(-g)=OC./(-D=/(4)D.g(-D=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的對稱性及奇偶性，屬于難題.利用函數(shù)的奇偶性及周期性，導(dǎo)

函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系逐項分析即可.

【解答】

33

解：由-2x)為偶函數(shù)可知/(x)關(guān)于直線x=/對稱，

由g(2+x)為偶函數(shù)可知g(x)關(guān)于直線x=2對稱，

結(jié)合g(x)=f'(x),根據(jù)g(x)關(guān)于直線x=2對稱可知/(x)關(guān)于點(2,r)對稱，

根據(jù)/(%)關(guān)于直線x=3對稱可知：g(x)關(guān)于點(-,0)對稱，

22

綜上，函數(shù)/(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，所以有/(0)=/(2)=，，所以4不正確；

/(-1)=/(1),./(4)=/(2),/(1)=/(2),故/(—1)=/(4),所以C正確.

13

g(-a)=g(3)=o,g(—i)=g(i),所以B正確；

又g(l)+g(2)=0,所以g(—l)+g(2)=0,所以。不正確.

6.(2022漸高考II卷第8題)若函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,

22

則Z/伏)=()

k=\

A.-3B.-2C.OD.1

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的周期與賦值法的應(yīng)用。

【解答】

解：令y=1得/(x+1)+/(X—1)=/(%)-/(1)=/(x)=f(x+1)=f(x)-/(x-1)

故/(x+2)=/(x+l)—/(x),/(x+3)=/(x+2)-/(x+l),

消去/(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=-/(x),故f{x}周期為6;

令x=1,y=0得/(1)+/(I)=/⑴?/(O)=/(O)=2,

/(2)=/(l)-/(0)=l-2=-l,

/(3)=/(2)-/(l)=-l-l=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-2-(-l)=-l,

/(5)=/(4)-/(3)=-l-(-2)=l,

/(6)=/(5)-/(4)=l-(-l)=2,

22

故Z/⑹=3"⑴+/(2)++/⑹]+/(19)+/(20)+f(21)+/(22)

k=\

=/(1)+/⑵+/(3)+/(4)=1+(-1)+(-2)+(-l)=-3

即3.

[2021年真題】

7.（2021?新高考I卷第13題）已知函數(shù)/0）=1（。.2/-27）是偶函數(shù)，則。=.

【答案】1

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

利用/(X)=/(-%)即可求出a的值.

【解答】

解：函數(shù)/(X)=X“G2'—2T)是偶函數(shù);

/./(x)=.2X-2-r)=/(-x)=(一x)3(a-2~X-2X),

化簡可得x3(a-2'-2'+a-2T-)=0,

解得a=l,故答案為L

8.(2021?新高考II卷第7題)已知a=logs2,匕=1。&3,c=-,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了對數(shù)的單調(diào)性與大小比較，合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較。、》與。的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

【解答】

解：a=log；2<log5石=；=log8272<logs3=b,

即a<c<0.

故選c.

9.(2021?新高考II卷第8題)設(shè)函數(shù)/(幻的定義域為/?,且/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù),

則()

A./[-￡|=0B./(-D=0C./⑵=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

【分析】

本題是對函數(shù)奇偶性和周期性的綜合考查.

推導(dǎo)出函數(shù)/(幻是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出/(1)=0,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.

【解答】

解：因為函數(shù)“X+2)為偶函數(shù)，則〃2+x)=f(2-x),可得“x+3)=/(l—x),

因為函數(shù)/(2x+l)為奇函數(shù),則/(I—2x)=—〃2x+l),所以=—/(x+1),

所以，/(x+3)=-/(%+1),即/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因為函數(shù)/(x)=〃2x+l)為奇函數(shù),則/(0)=/(1)=0,

故/(-1)=一/。)=0,其它三個選項未知.

故選B.

10.(2021?新高考H卷第14題)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(X)：.

①/(百馬)=/(%)/(%2)；②當(dāng)xe(0,+℃)時，f'(x)>0;③/'(X)是奇函數(shù).

【答案】

/(X)=X2(答案不唯一，/(x)=("eN*)均滿足)

【解析】

【分析】

本題是開放性問題，合理分析所給條件找出合適的函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題.

根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)可得所求的J一

【解答】

解:取/(》)=了2,則/(中2)=(中2)2=X：%=/(3)/(工2),滿足①，

/'(x)=2x,*>0時有廣。)>0,滿足②，

f'(x)=2x的定義域為R,

又f(-x)=-2x=-/'(x),故/，I是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為：/(x)=f(答案不唯一，/(x)=x2"(〃eN*)均滿足)

【2020年真題】

11.(2020?新高考I卷第6題)基本再生數(shù)&與世代間隔7是新冠肺炎流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指

一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指

數(shù)模型：/?)=e”描述累計感染病例數(shù)/(/)隨時間f(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與T近似

滿足&=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出9=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感

染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(In2?0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

本題結(jié)合實際問題考查指數(shù)對數(shù)化簡求值，屬于中檔題.

根據(jù)題意，先將9=3.28,7=6代入&=1+4,求得〃再由題意即可求解.

【解答】

解：將與=3.28,7=6代入&,=l+rT,

濕一&T_3.28-1

彳寸K———O.3o，

T6

由（）=/施得》」（/（，））,

0.38

當(dāng)增加1倍時，，’環(huán)"'"，

().：W

m中"ri4，(2/UilInl/U)：In2061)

所需時間為/'I>

（L3HO.3M（1.380.38

故選B.

12.(2020?新高考I卷、II卷第8題)若定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且/(2)=0,

則滿足4XxT）..O的x的取值范圍是（）

A.[―1,1]U[3,+8）B.[-3,-l]u[0,l]

C.[-1,0]51,+8）D.[-l,0]u[l,3]

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查運算求解及邏輯推理能力，屬于一般題.

x>0x<0

根據(jù)題意，不等式時.0-1)..0可化為，/八…或八/八從而利用奇函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)

性求解即可.

【解答】

x>0[x<0

解：根據(jù)題意，不等式獷.(x-l)..?？苫癁榘恕或

/(x-l)>0[,/(x-l)<0

由奇函數(shù)性質(zhì)得/(-2)=-/(2)=0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以｛H1-142*'tr1C-2或｛2<r-1CI>2'

解得啜*3或一啜Ik0.

滿足廿'(X—1)..0的X的取值范圍是X€[—l,0]u[l,3].

故選D.

13.(2020?新高考H卷第7題)已知函數(shù)/0)=聯(lián)/一4%-5)在(。,+8)上單調(diào)遞增，則4的取值范圍

是()

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，屬于中檔題.

由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，令f=i一4%一5,由外層函數(shù)y=lgf是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，要使函數(shù)/、。)=館(一一4%-5)在(。,+8)上單調(diào)遞增，需內(nèi)層函數(shù)

/一4犬一5在(。,+8)上單調(diào)遞增且恒大于0,轉(zhuǎn)化為(a,y)a(5,*o),即可得到。的范圍.

【解答】

解：由Jr?一4工一5>0，得x<-l或x>5.

令f=/-4x-5>

外層函數(shù)y=lgf是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，

???耍使函數(shù)/(x)=lg(x2-4x-5)在(?,+00)上單調(diào)遞增，

則需內(nèi)層函數(shù)￡=尤2_4犬_5在(a,+c。)上單調(diào)遞增且恒大于0,

則(a,+00)a(5,+00),即a.5.

的取值范圍是［5,+8).

故選：D.

14.(2020?新高考I卷第12題)(多選)信息嫡是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取

值為1,2,,〃，且P(X=i)=p‘>0a=l,2,,〃)，名化=1,定義X的信息烯"(X)=—fpjog2P,()

i=lMl

A.若〃=1,貝Ij”(x)=o

B.若〃=2,則H(x)隨著的增大而增大

C.若P,='(i=l,2,,n),則”(x)隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2相，隨機變量y的所有可能取值為1,2,，燒，且p(y=/)=Pj+P2,“+「j0=1,2,,〃?)，

則”(X)H(Y)

【答案】AC

【解析】

【分析】

本題以信息燧的定義為載體，涉及了對數(shù)運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作差法的運用等，旨在考查

學(xué)生接收新知識，運用新知識的意識，考查化簡變形、運算求解能力，屬于難題.

對于4選項，求得H(X),由此判斷出A選項的正確性；對于B選項，利用特殊值法進行排除；對于C選

項，計算出"(X),利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項的正確性；對于O選項，計算出H(x),〃(y),

利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出。選項的正確性.

【解答】

解：A選項中，由題意知Pi=1,此時"(X)=-lxlog21=0,故A正確；

B選項中，由題意知Pi+P2=l,且Pie(0,1),

H(X)=-P|10g2Pl-p210g2Pl=-P\10§2Pl一(I-Pl)log2(1-Pl)，

設(shè)/(x)=-xlog2x-(