函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法摘要函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性在高等數(shù)學(xué)中是非常重要的，對(duì)于求極限、導(dǎo)數(shù)等都是有重要的意義，也為以后的學(xué)習(xí)做了鋪墊和基礎(chǔ)。為了更好地理解和掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法，本文對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾種判別法進(jìn)行了分析、歸納和總結(jié)。舉出部分例子。首先在基礎(chǔ)知識(shí)部分列舉了大家熟知的幾種基本判別法，然后對(duì)基本判別法作了進(jìn)一步討論。利用大家已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列級(jí)數(shù)的定義和判別法對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義進(jìn)行推廣，對(duì)比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及判別法,給出了類似數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法比式判別法和根式判別法。本文還介紹分析了把Gauss指標(biāo)判別法如何應(yīng)用于正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別，得出了正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的另一種判別法，也就是Gauss型判別法。本文也拓展了部分知識(shí)?？紤]函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參變量廣義積分的一致收斂性的判別問題。關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；一致收斂；判別法

目錄引言 DiscriminantMethodForUniformConvergenceOfSeriesOfFunctionTermsABSTRACTInordertobetterunderstandandmasterthemethodofuniformconvergenceoffunctionseries,severaldiscriminantmethodsofuniformconvergenceoffunctionseriesareanalyzed,summarizedandsummarized.First,theintroductionlistsseveralbasicdiscriminantmethodswhicharewellknown,andthendiscussesthebasicdiscriminantmethodsfurther.Inthispaper,thedefinitionofseriesoffunctiontermsisgeneralizedandcomparedwithseriesoffunctiontermsanddiscriminantmethod.Thediscriminantmethodofuniformconvergenceofseriesoffunctiontermssimilartoseriesofnumbertermsisgiven,whichisratiodiscriminantmethodandrootdiscriminantmethod.ThispaperalsointroducestheGaussindexdiscriminantmethodappliedtothediscriminantoftheuniformconvergenceoftheseriesofpositiveterms,andgivestheGausstypediscriminantoftheuniformconvergenceoftheseriesofpositiveterms.Inaddition,theproblemofjudgingtheuniformconvergenceoftheseriesoffunctiontermsandthegeneralizedintegralwithparametervariablesisalsoconsidered.Keywords:seriesoffunctionterms;uniformconvergence;discriminantmethod

引言函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)既可以被看作是對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣,同時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可以看作是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)特例.它們?cè)谘芯績?nèi)容上有許多相似之處,比如它們很多問題都是借助數(shù)列和函數(shù)極限來解決,同時(shí)它們的斂散性的判別方法也有可以拿來借鑒的地方,如Cauchy判別法,阿貝爾判別法,狄利克雷判別法等.教材中給出了對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別法:魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法等,而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法除阿貝爾判別法和狄利克雷判別法之外還有許多判別法,如比式判別法、根式判別法等，然而作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),能否對(duì)比式判別法,根式判別法等進(jìn)行推廣使其適用于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定呢，這是值得展開討論的課題。還有一些函數(shù)項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別法得分析討論。以下主要從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法展開討論,得到了一些值得借鑒的適用于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法.還有一點(diǎn)就是在正向級(jí)數(shù)中我們能用比式判別法和根式判別法對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性進(jìn)行判別，那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是否也有類似的定理呢？下面我們就進(jìn)一步討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本方法。還有正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法的推論，Gauss型判別法。

基礎(chǔ)知識(shí)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)收斂與函數(shù)項(xiàng)一致收斂的概念.設(shè)是定義在數(shù)集E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的部分和函數(shù)列，若在數(shù)集上收斂于，則稱為un(x)的和函數(shù)，記為，,并稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。類似}若在上一致收斂于，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在上一直收斂于，或稱un(x)在上一致收斂。一致收斂的柯西準(zhǔn)則。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)，總存在某自然數(shù)，使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)一切和一切自然數(shù)，都有或由此我們得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在數(shù)集上一致收斂的必要條件是函數(shù)列在上一致收斂于零。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是：，其中稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的余項(xiàng)。定理1(放大法)設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的部分和函數(shù)數(shù)列，函數(shù)列和函數(shù)都是定義在同一數(shù)集上，對(duì)于任意的，存在數(shù)列，使其對(duì)于任意的有，且，則稱函數(shù)列一致收斂于，即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在上一致收斂于。證明：由假設(shè)，對(duì)任給，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有。因?yàn)閷?duì)于一切總有，故對(duì)任給存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有。以上對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定都是需要知道函數(shù)，如果未給出，那么我們?cè)撊绾闻卸?，下面給出一個(gè)余項(xiàng)法解決此問題。定理2：（余項(xiàng)法）設(shè)un(x)為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的余項(xiàng)，即，若，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在上一致收斂于函數(shù)。證明：設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的部分和函數(shù)列，為和函數(shù)，則有，并令。而，即，有定理1得知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于函數(shù)。

正文內(nèi)容對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，研究函數(shù)的解析性至關(guān)重要，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必須具有一致收斂性，可判斷函數(shù)項(xiàng)的一致收斂性往往是比較困難的，為了更好地理解判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種方法。當(dāng)然定義可以用來判別函數(shù)項(xiàng)是否一致收斂，但是如果較難得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和，或無法得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)得部分和時(shí)就要令尋它法，所以有的題目不能用定義來判別，故針對(duì)不同得題目就要用不同的方法，所以不能用定義來判斷時(shí)就可以用下面幾種判別函數(shù)項(xiàng)一致收斂的方法。我們先回顧一下我們熟知的幾種函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法。教材中給出了對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別法:定義法，常用的方法有：魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法等。還有推廣的Dini定理。這些定理是我們已經(jīng)學(xué)過和熟知地幾種判別法。下面我們先復(fù)習(xí)鞏固一下這些基本判別法。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本一致收斂性判別法維爾斯特拉斯判別法（或稱M判別法）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)定義在數(shù)集上，為收斂的正向級(jí)數(shù)，若對(duì)一切則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un阿貝爾判別法。設(shè)un對(duì)于每一個(gè)，是單調(diào)的；在上一致有界，即對(duì)一切和自然數(shù)n，存在正數(shù)M，使得，則級(jí)數(shù)在上一致收斂。狄利克雷判別法。設(shè)un在上一致有界；2)對(duì)于每一個(gè)，是單調(diào)的；3）在上則級(jí)數(shù)在上一致收斂。在很多情況下，我們很容易證明某個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，但是如何由收斂得出一致收斂呢，下面這個(gè)定理給出了一種由收斂推出一致收斂的方法。Dini定理：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均在有限區(qū)間上連續(xù)且非負(fù)；收斂于連續(xù)函數(shù)，則在一致收斂于證明:（反證法）假設(shè)在上非一致收斂，則存在，使得任意，存在，存在，，取，，存在，使；取，存在，存在，使，……,如此下去得一子列，使得,(1)有致密性定理，有界數(shù)列中存在收斂子列，有題設(shè)知是同號(hào)級(jí)數(shù)，因此關(guān)于單調(diào)遞減，所以(1)由得：當(dāng)時(shí)，由于在處連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，,這與在上收斂矛盾，故一致收斂。比式判別法、跟式判別法在實(shí)際問題中往往比較復(fù)雜，所以我們要解決實(shí)際問題僅有上面幾種方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因此我們需要再進(jìn)一步研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的其他的方法。接下來就是對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本判別法的進(jìn)一步討論。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)既可以被看作是對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣,同時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可以看作是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)特例.它們?cè)谘芯績?nèi)容上有許多相似之處,比如它們很多問題都是借助數(shù)列和函數(shù)極限來解決,同時(shí)它們斂散性的判別方法也具有相似之處,如Cauchy判別法,阿貝爾判別法,狄利克雷判別法等.教材中給出了對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別法:魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法等,而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法除阿貝爾判別法和狄利克雷判別法之外還有許多判別法,如比式判別法、根式判別法等，然而作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)推廣函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),能否對(duì)比式判別法,根式判別法等進(jìn)行推廣使其適用于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定呢，這是值得展開討論的課題,以下主要從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法展開討論,得到了一些值得借鑒的適用于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法.在正向級(jí)數(shù)中我們能用比式判別法和根式判別法對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性進(jìn)行判別，那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是否也有類似的定理呢？下面我們就進(jìn)一步討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本方法。定理1：設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列,記，若且在上一致有界，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。這個(gè)定理為一致有界推出一致收斂提供了重要依據(jù)。定理2:設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列,若存在，那么若對(duì)任給，的，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂；若對(duì)任給，，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一定收斂。證明：由定理?xiàng)l件知，對(duì)任給，存在使得對(duì)任給的，有，即，則當(dāng)，對(duì)任給成立時(shí)，又，而當(dāng)時(shí)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂；而當(dāng)時(shí)對(duì)任給的成立時(shí)，有，而級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上不一致收斂。定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)列在區(qū)間上單調(diào)遞減收斂于0，則稱這一級(jí)數(shù)為萊布尼茲型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理3:若，為萊布尼茲型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，由此級(jí)數(shù)在上一致收斂。證明：因?yàn)槭巧系倪B續(xù)函數(shù)，在上收斂于連續(xù)函數(shù)；對(duì)，單調(diào)，所以由狄尼定理知在上一致收斂于又因?yàn)椋室恢掠薪?；?duì)任給的，單調(diào)有界，在上一致收斂于，所以由狄利克雷判別法知萊布尼茲型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。定理4：兩個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和，若，當(dāng)，有（其中為正常數(shù)）且函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂。則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂。證明：已知級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂，即對(duì)，，及，有。又由條件知有，當(dāng)，有，取，，，，有由級(jí)數(shù)一致收斂柯西準(zhǔn)則知，函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂。定理5：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和，若，當(dāng)，有（其中為正常數(shù)）且函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂。則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂。證明：已知，當(dāng)，，（其中為正常數(shù)），又函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂，即，，，，有。取，當(dāng)，，有從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)收斂。定理6：設(shè)函數(shù)序列在內(nèi)一致有界，且關(guān)于單調(diào)增加或單調(diào)減少，則在內(nèi)一致收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和都收斂。以上結(jié)論都是針對(duì)于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都有的性質(zhì)，若是定義在數(shù)集上的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，那么我們有以下結(jié)論。定理7：（比式判別法）設(shè)是定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，在上有界，若，，設(shè)則1）時(shí)，在上一致收斂；2）時(shí)，在上不一致收斂。證明：由當(dāng)，取存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有由在上有界，即存在，對(duì)一切有，，由收斂，得收斂，由優(yōu)先級(jí)數(shù)判別法知在上一致收斂。2）時(shí)，存在使得，因此不收斂，在上不一致收斂。定理8：（根式判別法）設(shè)是定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，設(shè)，則時(shí)，在上一致收斂；時(shí)，在上不一致收斂證明：1）時(shí)，由，取，存在時(shí)，對(duì)一切有由，由先級(jí)數(shù)判別法知在上一致收斂。2）時(shí)，存在使由即在上不收斂。例題例1：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，由于，，由定理7知得知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。例2：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在，其中上一致收斂，因?yàn)?，設(shè)，由定理8得知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。定理9：設(shè)是定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，，對(duì)每一個(gè)非負(fù)函數(shù)在上遞減，若在數(shù)集上一致收斂，則在數(shù)集上一致收斂。證明：由在數(shù)集上一致收斂，對(duì)存在一個(gè)對(duì)一切自然數(shù)和一切有，由，所以在數(shù)集上一致收斂。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性Gauss指標(biāo)判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法Gauss指標(biāo)判別法，它是比值判別法、根式判別法和Raabe型判別法的推廣，本文把它應(yīng)用于正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別，給出了正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Gauss型判別法，它是已有的比值型判別法和Raabe型判別法等一般化.相關(guān)概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂的定義，可參見文獻(xiàn)[1].這里我們僅給出與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的相關(guān)概念.為了敘述方便，已有的結(jié)論用引理給出.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的充要條件(柯西準(zhǔn)則).正項(xiàng)級(jí)數(shù)的Gauss判別法與Gauss指標(biāo)判別法.引理1：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足條件：，其中與是常數(shù)，而是有界量即，，使得，則當(dāng)或，時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)或，時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。引理2：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正數(shù)列的Gauss指標(biāo)則當(dāng)或時(shí)，收斂，當(dāng)或時(shí)，發(fā)散。主要結(jié)果及其證明我們把正項(xiàng)級(jí)數(shù)的Gauss指標(biāo)判別法，應(yīng)用于判別正項(xiàng)函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性，給出如下的定理.定理1：設(shè)是在上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果，且或。且在上是一致有界，則在上一致收斂。如果，且或，則在上發(fā)散。證明：1）我們僅證明的情況。因?yàn)?gt;1根據(jù)數(shù)列極限的性質(zhì)，對(duì)于:,,,,有于是(1)以下證明，使得，有(2)由（1）式，，有故由泰勒定理可得，因?yàn)樗詫?duì)于，，有即，于是，由于在上是一致有界，，使得，，有于是，其中是常數(shù)，這就證明了（4）式成立。因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)引理2，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。2）僅證明的情況。因?yàn)?，根?jù)極限的性質(zhì)，對(duì)于滿足：，有，按1）中的證明方法，有即，，于是，，即，，其中，。由于對(duì)于任意，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散?？紤]函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參變量廣義積分的一致收斂性的判別問題，經(jīng)典的柯西準(zhǔn)則判別法是證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參變量廣義積分一致收斂的有效方法，經(jīng)過對(duì)經(jīng)典的柯西準(zhǔn)則的表述方式給予改進(jìn)，利用改進(jìn)表述的柯西準(zhǔn)則，給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參變量廣義積分的非一致收斂性的一般性方法，敘述簡便。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂柯西準(zhǔn)則判斷法的改進(jìn)形式在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(X)已知的情況下，記則有：定理1：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于的充要條件是含參變量廣義積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則的改進(jìn)設(shè)函數(shù)在上有定義，且對(duì)中任意，廣義積分都收斂。定理2：廣義積分關(guān)于在上一致收斂的充要條件是：對(duì)，，當(dāng)時(shí)，不等式，對(duì)上的所有的成立。定理3：廣義積分關(guān)于在上一致收斂的充要條件是：存在，對(duì)任意，存在及，滿足。定理3是證明含參變量廣義積分非一致收斂的常用方法，然而應(yīng)用此方法在證明各個(gè)含參變量廣義積分非一致收斂時(shí)都要重復(fù)的敘述一遍，表述有些繁瑣?？梢詫⒍ɡ斫Y(jié)果的表述形式給予改進(jìn)，使其指向性明確，方便于使用。記，，則有，，。定理4：廣義積分關(guān)于在上一致收斂的充要條件是：。定理5：如果當(dāng)時(shí)，不趨向于0，則積分關(guān)于在上不一致收斂。記定理6：廣義積分關(guān)于在上一致收斂的充要條件是：。例題設(shè)在上單調(diào)遞減非負(fù)且收斂，證明。證明：由于收斂，，存在，當(dāng)時(shí)，。又在上單調(diào)遞減非負(fù)，從而，故有。因此當(dāng)時(shí)，，所以。設(shè)在上可薇，可積，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減趨于零，又收斂，證明收斂。證明：首先非負(fù)，否則，若存在使得，則時(shí)，恒有，從而發(fā)散，而這與已知條件矛盾。其次由，且收斂可知，收斂與否取決于是否存在。由例1證明過程可知。故收斂。設(shè)在上由連續(xù)可微函數(shù)，積分和都收斂，證明。證明：要證，有極限，由歸結(jié)原則只要證恒有收斂。事實(shí)上，由收斂，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，于是，存在，當(dāng)時(shí)，有，從而。由Cauchy準(zhǔn)則，存在，所以收斂。由歸結(jié)原則存在。下證若，由局部保號(hào)性，存在，當(dāng)時(shí)有，從而時(shí)，（當(dāng)時(shí)）這與收斂矛盾。同理可證也不可能，故。結(jié)語以上方法解決了判斷一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否一致收斂的問題，需要指出的是判斷一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂的方法往往不是唯一的.深刻理解每種方法的優(yōu)點(diǎn)有利于我們更快更好地判斷一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，在這些方法中，柯西準(zhǔn)則判別法和魏爾斯特拉斯判別法是較為實(shí)用和方便的一致收斂判別法，一般要優(yōu)先考慮使用，這也是我們學(xué)習(xí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必備的知識(shí)。雖然有的我們已經(jīng)很熟悉但是在實(shí)際證明中我們要根據(jù)已知選擇特定的方法，加快解題速度，往往我們證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的問題時(shí)需要綜合運(yùn)用多種不同的方法，所以，要求我們要區(qū)分各個(gè)方法之間的優(yōu)越性和缺點(diǎn)，把握解題關(guān)鍵．這也需要在平時(shí)多思考、總結(jié)、歸納，在不斷的練習(xí)和實(shí)踐中提高自身的分析問題、解決問題的能力．

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HYPERLINK電腦快捷知識(shí)大全編輯本段一、常見用法F1顯示當(dāng)前程序或者windows的幫助內(nèi)容。F2當(dāng)你選中一個(gè)文件的話，這意味著“重命名”F3當(dāng)你在桌面上的時(shí)候是打開“查找：所有文件”對(duì)話框F10或ALT激活當(dāng)前程序的菜單欄windows鍵或CTRL+ESC打開開始菜單CTRL+ALT+DELETE在win9x中打開關(guān)閉程序?qū)υ捒駾ELETE刪除被選擇的選擇項(xiàng)目，如果是文件，將被放入回收站SHIFT+DELETE刪除被選擇的選擇項(xiàng)目，如果是文件，將被直接刪除而不是放入回收站CTRL+N新建一個(gè)新的文件CTRL+O打開“打開文件”對(duì)話框CTRL+P打開“打印”對(duì)話框CTRL+S保存當(dāng)前操作的文件CTRL+X剪切被選擇的項(xiàng)目到剪貼板CTRL+INSERT或CTRL+C復(fù)制被選擇的項(xiàng)目到剪貼板SHIFT+INSERT或CTRL+V粘貼剪貼板中的內(nèi)容到當(dāng)前位置ALT+BACKSPACE或CTRL+Z撤銷上一步的操作ALT+SHIFT+BACKSPACE重做上一步被撤銷的操作Windows鍵+L鎖屏鍵Windows鍵+M最小化所有被打開的窗口。Windows鍵+SHIFT+M重新將恢復(fù)上一項(xiàng)操作前窗口的大小和位置Windows鍵+E打開資源管理器Windows鍵+F打開“查找：所有文件”對(duì)話框Windows鍵+R打開“運(yùn)行”對(duì)話框Windows鍵+BREAK打開“系統(tǒng)屬性”對(duì)話框Windows鍵+CTRL+F打開“查找：計(jì)算機(jī)”對(duì)話框SHIFT+F10或鼠標(biāo)右擊打開當(dāng)前活動(dòng)項(xiàng)目的快捷菜單SHIFT在放入CD的時(shí)候按下不放，可以跳過自動(dòng)播放CD。在打開word的時(shí)候按下不放，可以跳過自啟動(dòng)的宏ALT+F4關(guān)閉當(dāng)前應(yīng)用程序ALT+SPACEBAR打開程序最左上角的菜單ALT+TAB切換當(dāng)前程序ALT+ESC切換當(dāng)前程序ALT+ENTER將windows下運(yùn)行的MSDOS窗口在窗口和全屏幕狀態(tài)間切換PRINTSCREEN將當(dāng)前屏幕以圖象方式拷貝到剪貼板ALT+PRINTSCREEN將當(dāng)前活動(dòng)程序窗口以圖象方式拷貝到剪貼板CTRL+F4關(guān)閉當(dāng)前應(yīng)用程序中的當(dāng)前文本（如word中）CTRL+F6切換到當(dāng)前應(yīng)用程序中的下一個(gè)文本（加shift可以跳到前一個(gè)窗口）在IE中：ALT+RIGHTARROW顯示前一頁（前進(jìn)鍵）ALT+LEFTARROW顯示后一頁（后退鍵）CTRL+TAB在頁面上的各框架中切換（加shift反向）F5刷新CTRL+F5強(qiáng)行刷新目的快捷鍵激活程序中的菜單欄F10執(zhí)行菜單上相應(yīng)的命令A(yù)LT+菜單上帶下劃線的字母關(guān)閉多文檔界面程序中的當(dāng)前窗口CTRL+F4關(guān)閉當(dāng)前窗口或退出程序ALT+F4復(fù)制CTRL+C剪切CTRL+X刪除DELETE顯示所選對(duì)話框項(xiàng)目的幫助F1顯示當(dāng)前窗口的系統(tǒng)菜單ALT+空格鍵顯示所選項(xiàng)目的快捷菜單SHIFT+F10顯示“開始”菜單CTRL+ESC顯示多文檔界面程序的系統(tǒng)菜單ALT+連字號(hào)(-)粘貼CTRL+V切換到上次使用的窗口或者按住ALT然后重復(fù)按TAB，切換到另一個(gè)窗口ALT+TAB撤消CTRL+Z編輯本段二、使用“Windows資源管理器”的快捷鍵目的快捷鍵如果當(dāng)前選擇展開了,要折疊或者選擇父文件夾左箭頭折疊所選的文件夾NUMLOCK+負(fù)號(hào)(-)如果當(dāng)前選擇折疊了，要展開或者選擇第一個(gè)子文件夾右箭頭展開當(dāng)前選擇下的所有文件夾NUMLOCK+*展開所選的文件夾NUMLOCK+加號(hào)(+)在左右窗格間切換F6編輯本段三、使用WINDOWS鍵可以使用Microsoft自然鍵盤或含有Windows徽標(biāo)鍵的其他任何兼容鍵盤的以下快捷鍵。目的快捷鍵在任務(wù)欄上的按鈕間循環(huán)WINDOWS+TAB顯示“查找：所有文件”WINDOWS+F顯示“查找：計(jì)算機(jī)”CTRL+WINDOWS+F顯示“幫助”WINDOWS+F1顯示“運(yùn)行”命令WINDOWS+R顯示“開始”菜單WINDOWS顯示“系統(tǒng)屬性”對(duì)話框WINDOWS+BREAK顯示“Windows資源管理器”WINDOWS+E最小化或還原所有窗口WINDOWS+D撤消最小化所有窗口SHIFT+WINDOWS+M編輯本段四、“我的電腦”和“資源管理器”的快捷鍵目的快捷鍵關(guān)閉所選文件夾及其所有父文件夾按住SHIFT鍵再單擊“關(guān)閉按鈕（僅適用于“我的電腦”）向后移動(dòng)到上一個(gè)視圖ALT+左箭頭向前移動(dòng)到上一個(gè)視圖ALT+右箭頭查看上一級(jí)文件夾BACKSPACE編輯本段五、使用對(duì)話框中的快捷鍵目的快捷鍵取消當(dāng)前任務(wù)ESC如果當(dāng)前控件是個(gè)按鈕，要單擊該按鈕或者如果當(dāng)前控件是個(gè)復(fù)選框，要選擇或清除該復(fù)選框或者如果當(dāng)前控件是個(gè)選項(xiàng)按鈕，要單擊該選項(xiàng)空格鍵單擊相應(yīng)的命令A(yù)LT+帶下劃線的字母單擊所選按鈕ENTER在選項(xiàng)上向后移動(dòng)SHIFT+TAB在選項(xiàng)卡上向后移動(dòng)CTRL+SHIFT+TAB在選項(xiàng)上向前移動(dòng)TAB在選項(xiàng)卡上向前移動(dòng)CTRL+TAB如果在“另存為”或“打開”對(duì)話框中選擇了某文件夾，要打開上一級(jí)文件夾BACKSPACE在“另存為”或“打開”對(duì)話框中打開“保存到”或“查閱”F4刷新“另存為”或“打開”對(duì)話框F5編輯本段六、桌面、我的電腦和“資源管理器”快捷鍵選擇項(xiàng)目時(shí)，可以使用以下快捷鍵。目的快捷鍵插入光盤時(shí)不用“自動(dòng)播放”功能按住SHIFT插入CD-ROM復(fù)制文件按住CTRL拖動(dòng)文件創(chuàng)建快捷方式按住CTRL+SHIFT拖動(dòng)文件立即刪除某項(xiàng)目而不將其放入SHIFT+DELETE“回收站”顯示“查找：所有文件”F3顯示項(xiàng)目的快捷菜單APPLICATION鍵刷新窗口的內(nèi)容F5重命名項(xiàng)目F2選擇所有項(xiàng)目CTRL+A查看項(xiàng)目的屬性ALT+ENTER或ALT+雙擊可將APPLICATION鍵用于Microsoft自然鍵盤或含有APPLICATION鍵的其他兼容鍵編輯本段七、Microsoft放大程序的快捷鍵這里運(yùn)用Windows徽標(biāo)鍵和其他鍵的組合?？旖萱I目的Windows徽標(biāo)+PRINTSCREEN將屏幕復(fù)制到剪貼板（包括鼠標(biāo)光標(biāo)）Windows徽標(biāo)+SCROLLLOCK將屏幕復(fù)制到剪貼板（不包括鼠標(biāo)光標(biāo)）Windows徽標(biāo)+PAGEUP切換反色。Windows徽標(biāo)+PAGEDOWN切換跟隨鼠標(biāo)光標(biāo)Windows徽標(biāo)+向上箭頭增加放大率Windows徽標(biāo)+向下箭頭減小放大率編輯本段八、使用輔助選項(xiàng)快捷鍵目的快捷鍵切換篩選鍵開關(guān)右SHIFT八秒切換高對(duì)比度開關(guān)左ALT+左SHIFT+PRINTSCREEN切換鼠標(biāo)鍵開關(guān)左ALT+左SHIFT+NUMLOCK切換粘滯鍵開關(guān)SHIFT鍵五次切換切換鍵開關(guān)NUMLOCK五秒QQ快捷鍵，玩QQ更方便Alt+S快速回復(fù)Alt+C關(guān)閉當(dāng)前窗口Alt+H打開聊天記錄Alt+T更改消息模式Ait+J打開聊天紀(jì)錄Ctrl+A全選當(dāng)前對(duì)話框里的內(nèi)容Ctrl+FQQ里直接顯示字體設(shè)置工具條Ctrl+J輸入框里回車(跟回車一個(gè)效果)Ctrl+M輸入框里回車(跟回車一個(gè)效果)Ctrl+L對(duì)輸入框里當(dāng)前行的文字左對(duì)齊Ctrl+R對(duì)輸入框里當(dāng)前行的文字右對(duì)齊Ctrl+E對(duì)輸入框里當(dāng)前行的文字居中Ctrl+V在qq對(duì)話框里實(shí)行粘貼Ctrl+Z清空/恢復(fù)輸入框里的文字Ctrl+回車快速回復(fù)這個(gè)可能是聊QQ時(shí)最常用到的了Ctrl+Alt+Z快速提取消息Ctrl+Alt+A捕捉屏幕最常用的快捷鍵F5刷新DELETE刪除TAB改變焦點(diǎn)CTRL+C復(fù)制CTRL+X剪切CTRL+V粘貼CTRL+A全選CTRL+Z撤銷CTRL+S保存ALT+F4關(guān)閉CTRL+Y恢復(fù)ALT+TAB切換CTRL+F5強(qiáng)制刷新CTRL+W關(guān)閉CTRL+F查找SHIFT+DELETE永久刪除CTRL+ALT+DEL任務(wù)管理SHIFT+TAB-反向切換CTRL+空格--中英文輸入切換CTRL+Shift輸入法切換CTRL+ESC--開始菜單CTRL+ALT+ZQQ快速提取消息CTRL+ALT+AQQ截圖工具CTRL+ENTERQQ發(fā)消息Alt+1保存當(dāng)前表單Alt+2保存為通用表單Alt+A展開收藏夾列表資源管理器END顯示當(dāng)前窗口的底端HOME顯示當(dāng)前窗口的頂端NUMLOCK+數(shù)字鍵盤的減號(hào)(-)折疊所選的文件夾NUMLOCK+數(shù)字鍵盤的加號(hào)(+)顯示所選文件夾的內(nèi)容NUMLOCK+數(shù)字鍵盤的星號(hào)(*)顯示所選文件夾的所有子文件夾向左鍵當(dāng)前所選項(xiàng)處于展開狀態(tài)時(shí)折疊該項(xiàng)，或選定其父文件夾向右鍵當(dāng)前所選項(xiàng)處于折疊狀態(tài)時(shí)展開該項(xiàng)，或選定第一個(gè)子文件夾自然鍵盤【窗口】顯示或隱藏“開始”菜單【窗口】+F1幫助【窗口】+D顯示桌面【窗口】+R打開“運(yùn)行”【窗口】+E打開“我的電腦”【窗口】+F搜索文件或文件夾【窗口】+U打開“工具管理器”【窗口】+BREAK顯示“系統(tǒng)屬性”【窗口】+TAB在打開的項(xiàng)目之間切換輔助功能按右邊的SHIFT鍵八秒鐘切換篩選鍵的開和關(guān)按SHIFT五次切換粘滯鍵的開和關(guān)按NUMLOCK五秒鐘切換切換鍵的開和關(guān)左邊的ALT+左邊的SHIFT+NUMLOCK切換鼠標(biāo)鍵的開和關(guān)左邊的ALT+左邊的SHIFT+PRINTSCREEN切換高對(duì)比度的開和關(guān)運(yùn)行按“開始”－“運(yùn)行”，或按WIN鍵+R，在『運(yùn)行』窗口中輸入：（按英文字符順序排列）%temp%打開臨時(shí)文件夾.C:\DocumentsandSettings\用戶名所在文件夾..C:\DocumentsandSettings...我的電腦\C盤appwize.cpl添加、刪除程序access.cpl輔助功能選項(xiàng)Accwiz輔助功能向?qū)mdCMD命令提示符commandCMD命令提示符chkdsk.exeChkdsk磁盤檢查certmgr.msc證書管理實(shí)用程序calc啟動(dòng)計(jì)算器charmap啟動(dòng)字符映射表cintsetp倉頡拼音輸入法cliconfgSQLSERVER客戶端網(wǎng)絡(luò)實(shí)用程序clipbrd剪貼板查看器control打開控制面板conf啟動(dòng)netmeetingcompmgmt.msc計(jì)算機(jī)管理cleanmgr垃圾整理ciadv.msc索引服務(wù)程序dcomcnfg打開系統(tǒng)組件服務(wù)ddeshare打開DDE共享設(shè)置dxdiag檢查DirectX信息drwtsn32系統(tǒng)醫(yī)生devmgmt.msc設(shè)備管理器desk.cpl顯示屬性dfrg.msc磁盤碎片整理程序diskmgmt.msc磁盤管理實(shí)用程序dvdplayDVD播放器eventvwr事件查看器eudcedit造字程序explorer打開資源管理器fsmgmt.msc共享文件夾管理器firewall.cplWINDOWS防火墻gpedit.msc組策略hdwwiz.cpl添加硬件iexpress木馬捆綁工具，系統(tǒng)自帶inetcpl.cplINTETNET選項(xiàng)intl.cpl區(qū)域和語言選項(xiàng)（輸入法選項(xiàng)）irprops.cpl無