朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第五章 層合板的剛度5.1引言層合板(Laminate)是由多層單向板按某種次序疊放并粘結(jié)在一起而制成整體的結(jié)構(gòu)板。每一層單向板(Unidirectionallamina)稱為層合板的一個鋪層。各個鋪層的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而層合板在厚度方向上具有非勻稱性。層合板的性能與各鋪層的材料性能有關(guān)，還與各鋪層的材料主方向及鋪層的疊放次序有關(guān)。因而，可以不改變鋪層的材料，通過改變各鋪層的材料主方向及疊放順設(shè)計出所需力學(xué)性能的層合板。與單向板相比，層合板有如下特征：(1)因為各個鋪層的材料主方向不盡相同，因而層合板普通沒有決定的材料主方向。(2)層合板的結(jié)構(gòu)剛度取決于鋪層的性能和鋪層的疊放次序，對于決定的鋪層和疊放次序，可以推算出層合板的結(jié)構(gòu)剛度。(3)層合板有耦合效應(yīng)，即面內(nèi)拉壓、剪切載荷可產(chǎn)生彎曲、扭改變形，反之，在彎、扭載荷下可產(chǎn)生拉壓、剪切變形。(4)一層或數(shù)層鋪層破壞后，其余各層尚可繼續(xù)承載，層合板不一定失效。因而，對層合板的強度分析要復(fù)雜無數(shù)。(5)在固化過程中，因為各單層板的熱脹冷縮不一致，在層合板中要引起溫度應(yīng)力，這是層合板的初應(yīng)力。(6)層合板由不同的單層粘結(jié)在一起，在變形時要滿意變形協(xié)調(diào)條件，故各層之間存在層間應(yīng)力。

5.2層合板的標記1212kN1zh/2h/2中面 如圖所示，層合板總厚度為h，有N個鋪層。通常將層合板中面(平分板厚的面)設(shè)置為xy坐標面，z軸垂直板面。沿z軸正方向?qū)⒏麂亴右来尉幪枮?～N，第k層的厚度為tk鋪設(shè)角(纖維與x軸的夾角)為k，其上下面坐標為zk和zk-1。

倘若各鋪層的材料和厚度相同，沿z軸正方向依次標出各層的鋪設(shè)角k(k=1,2,…,N)，便可表示囫圇層合板。如[0/45/90]T，表示有三個鋪層的層合板，各層厚度相同，鋪設(shè)角依次為0o、45o、90o，下標“T”表示已列出所有鋪層。[0/90]S＝[0/90/90/0]T，下標“S”表示對稱鋪設(shè)。[0/452/90]T＝[0/45/45/90]T，[0/90]2T＝[0/90/0/90]T，下標數(shù)字表示重復(fù)鋪層。[0/45]S＝[0/45/－45]S，表示正負鋪層延續(xù)鋪設(shè)。對于各鋪層厚度不同的層合板，還需注明各鋪層的厚度，如[0t/902t/453t]T，表示1到3鋪層的厚度依次為t、2t、3t。對于不同纖維的混雜鋪層，可用下標區(qū)別，如[02C/45G]S，C-碳纖維，G-玻璃纖維。對于單向與雙向鋪層混合鋪設(shè)，用“()”表雙向鋪設(shè)，如[0/(0,90)/(45)]S。

依層合板結(jié)構(gòu)的對稱性，層合板分為以下幾種：(1)對稱層合板：鋪層的幾何尺寸和材料性能都對稱于中面如[30/－60/15/15/－60/30]T=[30/－60/15]S，[0t/902t/453t/902t/0t]T=[0t/902t/451.5t]S。(2)反駁稱層合板：各層的鋪設(shè)角關(guān)于中面反駁稱，其它幾何尺寸及性能對稱如[－45/30/－30/45]T，把0o和90o也看作交錯角，以下層合板也是反駁稱的，[0/90/0/90/0/90]T，[－45/30/0/－30/45]T，[30/45/90/－45/－30]T。(3)非對稱層合板：各層的鋪設(shè)角關(guān)于中面沒有對稱性或反駁稱性。(4)夾芯層合板：用層合板作為面板，中間夾有低密度芯子的夾芯結(jié)構(gòu)。當材料質(zhì)量相同時，夾芯結(jié)構(gòu)可提高抗彎性能及受壓穩(wěn)定性。

5.3層合板的模量研究的層合板為等厚度薄板，即層合板厚度與長、寬相比小無數(shù)，沿厚度方向位移與板厚相比小無數(shù)。對于薄板，作如下基本假設(shè)：(1)直法線假設(shè)：變形前的中面法線，變形后仍保持直線且垂直于變形后的中面。這等于各鋪層間完好粘結(jié)，沿厚度方向位移延續(xù)且無剪切變形，有 (5-SEQ(5-\*ARABIC1)(2)層合板的厚度不變，即 (5-SEQ(5-\*ARABIC2)(3)正應(yīng)力與其它應(yīng)力比很小，可忽略，各鋪層處于平面應(yīng)力狀態(tài)。在上述假定基礎(chǔ)上建立的層合板理論稱為經(jīng)典層合板理論。

5.3.1層合板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系考慮N層厚度為h的層合板，xy坐標面為層合板的中面。層合板中隨意一點的位移分量為u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)。由基本假定得 (5-SEQ(5-\*ARABIC3)將上面式子對z積分，得 (5-SEQ(5-\*ARABIC4)式中、、w為中面的位移分量，且只是x、y的函數(shù)。w又稱為撓度函數(shù)。

由幾何方程有 (5-SEQ(5-\*ARABIC5)寫成矩陣形式為 (5-SEQ(5-\*ARABIC6)式中， (5-SEQ(5-\*ARABIC7)分離為中面的應(yīng)變分量和曲率分量(kxy為扭曲率)。

在xy坐標系中，第k層的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為其中、、、為的偶函數(shù)，、為的奇函數(shù)。把它帶入(5-6)得 (5-SEQ(5-\*ARABIC8)因為各鋪層的不同，層合板的應(yīng)變沿厚度方向是線性分布的，各層應(yīng)力不延續(xù)分布，但在每一層是線性分布的，見圖。11234z0zK+＝zQ=Q

xzxzyMxMyMxyNxNyNxyNyxMyx要使(5-8)所示的應(yīng)力分量在層合板的側(cè)面上確切地滿意應(yīng)力邊界條件，普通是相當艱難的?？蓱?yīng)用圣維南原理，使層合板在厚度方向的應(yīng)力分量合成的內(nèi)力(合力及合力矩)整體地滿意邊界條件。具有N層鋪層的層合板厚度為h，在x、y為常量的橫截面上，單位寬度上的合力、合力矩分離為Nx、Nxy、Mx、Mxy和Ny、Nyx、My、Myx。它們可由各鋪層上的應(yīng)力沿層合板厚度方向積分得到， (5-SEQ(5-\*ARABIC9)，沿z方向應(yīng)力分量在各鋪層間延續(xù)分布，把每一層的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(5-8)帶入式(5-9)，得 (5-SEQ(5-\*ARABIC10) 因為中面應(yīng)變與曲率與z無關(guān)，上式積分，得 (5-SEQ(5-\*ARABIC11)式中， (5-SEQ(5-\*ARABIC12)其中Aij稱為拉壓剛度，Bij為耦合剛度，Dij為彎曲剛度，為第k層的厚度，為第k層中面的z坐標。 因為Bij的存在，層合板的面內(nèi)內(nèi)力Nx、Ny、Nxy、可產(chǎn)生彎曲(kx、ky)與扭轉(zhuǎn)(kxy)變形，而彎矩(Mx、Mxy)和扭矩(Mxy)可引起面內(nèi)伸縮與剪切變形。

5.3.3層合板的柔度層合板的柔度矩陣可以由剛度矩陣求逆得到。將(5-11)寫成矩陣形式為 (5-SEQ(5-\*ARABIC13)式中，，，，，將其展開 (SEQ(\*alphabetica) (SEQ(\*alphabeticb)由(a)得 (SEQ(\*alphabeticc)將(c)帶入(b)得 (SEQ(\*alphabeticd)由(d)得 (SEQ(\*alphabetice)將(e)帶入(c)得 (SEQ(\*alphabeticf)把(e)、(f)合并，寫成分塊矩陣的形式為 (5-SEQ(5-\*ARABIC14)式中 (5-SEQ(5-\*ARABIC15)如耦合剛度矩陣B=0,層合板的面內(nèi)內(nèi)力/變形彎扭變形/力矩解耦。這是有剛度矩陣：即柔度矩陣為：即且

5.4典型層合板的剛度5.4.1單層板的剛度由一層單向板或多層單向板按相同的主方向鋪設(shè)粘合而成的層合板，均視為單層板。1．普通各向異性單層板因為單層板中面坐標，板厚為h，帶入(5-12)得， (5-SEQ(5-\*ARABIC16)對于單層板，Bij=0，故不存在拉彎耦合關(guān)系。2．正交各向異性單向板坐標軸與材料主方向重合時由(5-16)知，除還有。即不存在耦合效應(yīng)(無拉剪耦合，無彎扭耦合，也無拉彎耦合)。

5.4.2對稱層合板的剛度對稱層合板(Symmetriclaminite)各鋪層的材料與幾何尺寸都對稱于中面。1．對普通對稱層合板兩兩對稱于層合板中面的鋪層的模量相同，其中面坐標將等值反號，如，；，，帶入(5-12)得耦合剛度，Bij=0即對稱層合板，不存在拉彎耦合關(guān)系。2．對正交各向異性鋪層的對稱層合板坐標軸與材料主方向重合時，各鋪層的模量為由(5-16)知，除還有。即不存在耦合效應(yīng)(無拉剪耦合，無彎扭耦合，也無拉彎耦合)。 5.4.3反駁稱層合板的剛度反駁稱層合板(Skewsymmetriclaminite)各鋪層的材料、厚度、鋪設(shè)角度兩兩對稱于層合板的中面，但鋪設(shè)角的符號卻相反。其層數(shù)為偶數(shù)。由鋪層的模量隨鋪設(shè)角的的關(guān)系知，、、、為的偶函數(shù)，、為的奇函數(shù)。于是對于＋角鋪層 對于－角鋪層 對于兩兩反駁稱于層合板中面的鋪層的模量、將等值反號，厚度相等，中面坐標將等值反號，如，，，；，，，，帶入(5-12)得反駁稱層合板的剛度系數(shù)有，這樣，反駁稱層合板的合力與合力矩為對于反駁稱層合板，因為Bij的存在，層合板的面內(nèi)內(nèi)力Nx、Ny、Nxy、可產(chǎn)生彎曲(kx、ky)與扭轉(zhuǎn)(kxy)變形，而彎矩(Mx、Mxy)和扭矩(Mxy)可引起面內(nèi)伸縮與剪切變形。但因為，面內(nèi)拉壓與剪切不耦合，彎曲與扭轉(zhuǎn)不耦合。1．反駁稱角鋪設(shè)層合板因為、、、為的偶函數(shù)，可知其合力與合力矩為所以，此種反駁稱層合板有拉伸與扭轉(zhuǎn)的耦合。

2．反駁稱正交鋪設(shè)層合板如0/90/0/90。因為，及，可知，其合力與合力矩為所以，此種反駁稱層合板有拉伸與彎曲的耦合。

5.4.4準各向同性層合板倘若疊層板各層的彈性性質(zhì)和厚度均相同，總層數(shù)，各層纖維方向按下列次序羅列：則疊層板在x-y平面內(nèi)具有各向同性的彈性性質(zhì)。證實如下。當時，有帶入得到值與無關(guān)，具有面內(nèi)各向同性的彈性性質(zhì)。符合條件的鋪層方式可以是(亦即[0/60/-60])、(亦即[0/45/90/-45])等等。此種鋪層為平面內(nèi)為各向同性，但并不符合各向同性條件，彎扭時不是各向同性。因而稱為準各向同性(quasi-isotropic)鋪層方式。也可以采用工程彈性系數(shù)的形式來表示準各向同性疊層材料的面內(nèi)剛度為：5.4.4不對稱層合板的剛度各向異性不對稱成合板A,B,D皆為滿陣。5.4.5平行移軸定理前面推薦的層合板模量計算，總是把參考坐標系的原點取在層合板的中面上，這樣計算的層合板模量可稱為層合板的中面模量。然而，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件中的模量分析，不一定都是就層合板中面而言的，因而要涉及如何計算層合板非中面的模量問題。例如在飛機及火箭結(jié)構(gòu)上的某些部分，采用截面形狀非對稱構(gòu)件，如常用的T型桁條、各種盒形件等。通常，計算這些構(gòu)件的模量普通取截面形心為坐標原點計算關(guān)于該參考軸的模量值。OOzOz0OO′z′x′x如圖，軸位于層合板的中面，離開中面的距離為，兩坐標系見有關(guān)系。新坐標系下的合力與合力矩為相對于軸的力矩為相對于軸力矩與內(nèi)力對于軸力矩之和。層合板的變形在新坐標系下為因為兩坐標系平行，故層合板中應(yīng)力為令為移軸模量在新坐標系下的本構(gòu)關(guān)系為：利用平行移軸公式可方便地計算具有異形截面的構(gòu)件的模量。如圖為航空航天結(jié)構(gòu)中常見的蒙皮桁條組合件，如蒙皮和T形桁條采用的是復(fù)合材料，便可用平行移軸定理計算此組合件的剛度。將它分解為幾個矩形1、2、3，取隨意軸，求出此典型單元的形心軸式中為各矩形形心到軸的距離，為各矩形的面積，為組合件總截面積。然后以形心軸為參考軸求得各部分的移軸距離。然后再按移軸公式求得囫圇組合件相對于形心軸的剛度?？紤]到各部分的不同寬度，則剛度值為面內(nèi)剛度耦合剛度彎曲剛度xx0x′‘‘d1d2d3b1b2b3123d

第六章 層合板的應(yīng)力與強度6.1引言因為層合板在厚度方向是非均質(zhì)的，在載荷作用下，各鋪層的應(yīng)力狀態(tài)也不同，在加載過程中，破壞首先從達到極限應(yīng)力的那一層開始。但一層破壞并不意味著囫圇層合板的總算失效，只是板的剛度有所減少，稱為剛度降階，此時尚可繼續(xù)增強載荷。繼而又一鋪層破壞，剛度再次降低，直至所有鋪層破壞，層合板總算失效。因而，層合板的失效不是驟然發(fā)生的，從開始失效到總算失效的是一個累積過程。層合板的強度(或破壞)分為最先一層失效強度與極限強度。在舉行分析時，應(yīng)按照詳細情況來以某一狀態(tài)來判定層合板是否失效的根據(jù)。

6.2層合板的應(yīng)力分析為了分析對層合板舉行強度分析，需要分析層合板各鋪層中的應(yīng)力。1．單向板及對稱層合板對于單向板及對稱層合板，由前面層合板的剛度分析知，其拉彎耦合剛度系數(shù)為零，即Bij=0不存在拉彎耦合關(guān)系。層合板的面內(nèi)合力(Nx、Ny、Nxy)與只與中面應(yīng)變(、、)有關(guān)，而合力矩(Mx、My、Mxy)只引起中面的彎扭變形(kx、ky、kxy)：當只受到面內(nèi)載荷時，中面應(yīng)變?yōu)橐驘o合力矩(Mx、My、Mxy)，因而中面的彎扭變形(kx、ky、kxy)為零。對于比例加載，設(shè)，這時中面變形與載荷關(guān)系為得到層合板中面的變形后，板內(nèi)其它位置的變形可以由中面的變形表示：因為中面沒有彎扭變形，即，層合板內(nèi)各點的變形等于層合板中面變形，即層合板內(nèi)各點的變形得到后，可按照各鋪層的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，得到每一層的應(yīng)力，第k層為：在各單層中，沿材料主方向的應(yīng)力，可通過坐標變換得到：至此，層合板各鋪層內(nèi)的應(yīng)力與外載荷的關(guān)系得到，可以由單向板的強度準則，判斷各鋪層的失效應(yīng)力。2．非對稱層合板剛度系數(shù)、、都存在，存在拉伸與彎扭的耦合。當層合板受到載荷(合力與合力矩)作用時，層合板中面的變形為：在比例加載下，設(shè)，，這時，層合板中面的變形為：層合板中面的變形后得到后，板內(nèi)其它位置的變形可以由中面的變形表示：層合板各層的的變形已知，按照各層的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，得到每一層的應(yīng)力，第k層為：在各單層中，沿材料主方向的應(yīng)力可通過坐標變換得到。6.3層合板的強度分析分析層合板從開始失效到總算失效的過程，計算步驟如下：先設(shè)定各外載荷間的比例，按比例加載。由各鋪層的性能，計算層合板的剛度。求各鋪層的應(yīng)力與外載荷間的關(guān)系。選用強度準則，判斷哪一層最先失效，得到最先一層失效的強度。將已破壞鋪層從層合板中排除，保持其余鋪層的幾何位置，重新計算層合板的剛度。檢查其他鋪層能否繼續(xù)承載。增強載荷，重復(fù)上述計算過程，直至所有鋪層所有失效，得到極限強度。

層合板在載荷作用下，從一層開始失效到總算失效的破壞過程，計算程序如下：給出層合板各鋪層的材料性能(模量及基本強度)及幾何參數(shù)(鋪層角度，厚度，次序)給出層合板各鋪層的材料性能(模量及基本強度)及幾何參數(shù)(鋪層角度，厚度，次序)各鋪層的在材料主方向的模量及在總體坐標下的偏軸模量層合板的剛度系數(shù)、、及柔度系數(shù)、、層合板中面的變形(應(yīng)變及曲率k)及各鋪層的變形()各鋪層的應(yīng)力(總體坐標下)及在材料主方向的應(yīng)力分量選用強度準則，比較哪一鋪層首先破壞破壞鋪層的失效應(yīng)力判斷鋪層失效模式:若或,則基體失效若,則纖維失效失效層剛度降階:若基體失效而纖維未失效,不變,其余模量為零若纖維失效,所有模量為零所有鋪層失效,極限強度Nx2Nx231yx三層正交鋪設(shè)層合板如圖所示。外層厚度為t1,內(nèi)層為t2＝10t1,總厚度為t,各鋪層均為玻璃、環(huán)氧樹脂，力學(xué)性能如表。板承受面內(nèi)拉力Nx,分析層合板的強度。E1/GPaE2/GPa21G12/GPaXt=Xc/GPaYt/GPaYc/GPaS/GPa53.7417.950.258.631.0340.0270.1380.041計算層合板首層破壞的強度計算各鋪層的剛度計算材料主方向的剛度系數(shù):得GPa計算各鋪層在整體坐標系xy下的剛度因為是正交鋪設(shè)，于是有GPaGPa

計算層合板的剛度層合板的合力與合力矩為與層合板中面變形的關(guān)系為拉伸剛度為，，計算得到GPa耦合剛度為，彎扭剛度為(此例中無彎扭載荷，不用計算)。層合板的柔度矩陣可以由剛度矩陣求逆得到， 層合板的拉伸柔度為(GPa)-1

層合板中面及各鋪層的變形層合板中面的變形為(GPa)-1，{k}=0各鋪層的變形為(GPa)-1

層合板各鋪層的應(yīng)力GPa在材料主方向坐標系下，采用強度準則，計算各鋪層破壞的強度將各鋪層的應(yīng)力帶入強度準則，如Tsai-Hill準則，計算出各鋪層破壞時的載荷Nx，其中最小的Nx所對應(yīng)的鋪層就是最先破壞的鋪層。將各鋪層材料主方向下的應(yīng)力，帶入Tsai-Hill準則中得第1、3層的破壞載荷為Nx/t=209.08MPa第2層的破壞載荷為Nx/t=36.68MPa第2層首先破壞的載荷小，所有第2層首先破壞，其破壞載荷即為最先一層失效的強度為Nx/t=36.68MPa。此載荷下層合板的應(yīng)變及各鋪層的應(yīng)力為MPaMPa可見MPa，故第二層沿2方向(即x方向)拉伸破壞。層合板首層破壞后繼續(xù)加載一次降階后各鋪層的剛度第1、3層的剛度不變。第二層沿2方向(即x方向)破壞了，在1方向(即y方向)尚可受力。這時剛度為GPaGPa，GPa上標(1)表示一次降階后的量降階后層合板的剛度第2層降階后，仍為對稱層合板，故耦合剛度，拉伸剛度由，，計算得到GPa層合板的拉伸柔度為(GPa)-1

層合板的變形與應(yīng)力層合板中面及鋪層的變形為(GPa)-1，{k}=0層合板各鋪層的應(yīng)力在破壞載荷Nx/t=36.68MPa作用下，MPaMPa帶入強度準則，，因此在首次破壞載荷Nx/t=36.68MPa作用下，不會繼續(xù)破壞。可以繼續(xù)增強載荷，設(shè)為。在繼續(xù)加載時，計算中通常假定凍結(jié)了破壞剛開始時的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)，即不考慮破壞時的應(yīng)力重新分布，繼續(xù)加載的起點應(yīng)變及應(yīng)力狀態(tài)為MPaMPa

計算各鋪層繼續(xù)破壞的強度降階后層合板的應(yīng)變及應(yīng)力增量為：(GPa)-1，{k}=0應(yīng)力為將應(yīng)力帶入Tsai-Hill準則，計算出各鋪層進一步破壞時最小載荷增量 MPa此時第1、3層破壞，層合板第二次降階，其應(yīng)變及應(yīng)力狀態(tài)為MPa其應(yīng)變及應(yīng)力狀態(tài)為可見MPa，故第1、3層沿2方向(即y方向)拉伸破壞。這時，1、3層和2層沿纖維方向可繼續(xù)承載。

層合板再次降階后的計算二次降階后各鋪層的剛度第1、3層，及第二層都沿2方向破壞了，只沿1方向尚可受力。這時剛度為GPaGPa，GPa二次降階后層合板的剛度拉伸剛度，計算得到GPa層合板的拉伸柔度為(GPa)-1

層合板的應(yīng)變及應(yīng)力在載荷作用下，層合板變形及應(yīng)力增量為(GPa)-1應(yīng)力為

計算鋪層繼續(xù)破壞的強度將降階后各鋪層的應(yīng)力帶入Tsai-Hill，計算出各鋪層進一步破壞時最小載荷增量MPa第1、3層沿纖維方向破壞了，層合板達到了極限強度。此載荷增量下，層合板的應(yīng)變增量為層合板總算破壞的極限載荷及應(yīng)變?yōu)椋?/p>

6.4層合板的層間應(yīng)力與邊緣效應(yīng)層合板是由性能不同的鋪層疊合粘結(jié)而成。在載荷作用下，各鋪層的變形機理不同，因為已粘結(jié)成一體，鋪層與鋪層之間必然存在互相制約，通過層間產(chǎn)生互相作使勁使變形協(xié)調(diào)，產(chǎn)生層間應(yīng)力。理論分析及實驗表明，層間應(yīng)力在自由邊緣處最大，且有神奇性。層間應(yīng)力的存在，常常引起板的自由邊緣的分層破壞，從而影響層合板的強度、剛度及疲勞等性能，這種現(xiàn)象稱為邊緣效應(yīng)。在經(jīng)典層合板理論中，因為假定鋪層均在平面應(yīng)力狀態(tài)下，忽略了應(yīng)力、、，無法求解層間應(yīng)力。要分析層間應(yīng)力，應(yīng)用三維空間力學(xué)分析主意。

第七章 復(fù)合材料的熱濕應(yīng)力7.1單層板的熱濕變形纖維與基體的熱膨脹性能不同，吸濕性也不同，材料性能各向異性。正交各向異性復(fù)合材料單層板在不受外載荷情況下，溫度變化t時，在材料主方向會產(chǎn)生線應(yīng)變而無剪應(yīng)變，熱膨脹應(yīng)變可表示為：yxyx21在非材料主方向，由應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式其中偏軸向的熱膨脹系數(shù)復(fù)合材料在濕潤環(huán)境中吸收水分，吸水濃度為：其中為纖維與基體的吸水濃度與質(zhì)量含量。材料吸水后會變形，在材料主方向產(chǎn)生線應(yīng)變。濕膨脹系數(shù)定義為單位吸水濃度時的應(yīng)變：單層板吸濕后會發(fā)生膨脹變形，在材料主方向會產(chǎn)生線應(yīng)變而無剪應(yīng)變，濕膨脹應(yīng)變可表示為：在非材料主方向，由應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式可得其中偏軸向的濕膨脹系數(shù)7.2單層板的熱濕應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系單層板在溫度變化及濕度環(huán)境中受載荷作用，其總的變形為彈性變形加溫度變形再加濕度變形，在材料主方向應(yīng)變?yōu)椋罕硎境蓱?yīng)力：在非材料主方向坐標系下，有簡寫為：7.3考慮熱濕變形的層合板的剛度關(guān)系第k層板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：設(shè)層合板變形符合直法線假設(shè)，層合板的變形可以用中面的變形表示出來： 把層合板的面內(nèi)應(yīng)力沿板厚度方向積分得到，得層合板的合力為與合力矩， ，沿z方向應(yīng)力分量在各鋪層間延續(xù)分布，把每一層的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系帶入，得式中其中,為熱內(nèi)力和熱力矩，它們由溫度變化引起，但惟獨在徹低約束條件下才是真正的力和力矩；,為濕內(nèi)力和濕力矩，由材料吸濕引起的，對于勻稱溫度及吸水濃度，及與坐標無關(guān)?？砂阉鼈兏膶懗删o湊形式：求逆為：式中7.4疊層復(fù)合材料的熱膨脹系數(shù)1中面熱膨脹系數(shù)對于單層復(fù)合材料有2個熱膨脹系數(shù),,沿偏軸方向有3個熱膨脹系數(shù),,，其中兩個自立的。而對于疊層復(fù)合材料，普通可以有6個熱膨脹系數(shù)。在公式中取得到無外應(yīng)力作用下，因為溫度變化引起的中面應(yīng)變和曲率變化為：可以把和看作6個廣義的熱膨脹系數(shù)。對于對稱鋪設(shè)層合板，[B]=0，{Mt}=0，因而有此時，溫度的變化僅有中面內(nèi)的變形而無面外的翹曲變形。定義疊層材料中面在x-y坐標中的熱膨脹系數(shù)為：這3個熱膨脹系數(shù)是互相自立的，它們不是材料的天然熱膨脹，而是熱變形的結(jié)果。因為有把代入得如各層厚度相同，有此為對稱疊層復(fù)合材料中面熱膨脹系數(shù)的計算公式。計算的合理性已為實驗證實。2厚度方向熱膨脹系數(shù)在此僅考慮對稱疊層復(fù)合材料，且各層的材料及厚度均相同。由上所述，在溫度變化下引起的疊層材料在x-y坐標中產(chǎn)生的面內(nèi)應(yīng)變?yōu)椋米鴺俗儞Q，可以得出每層沿材料主軸方向的溫度應(yīng)變?yōu)椋浩渲?，詳細寫出每層沿主軸方向的溫度應(yīng)變分量為：按照應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，求出各單層沿主軸方向的應(yīng)力分量為：因為，且單層材料沿橫向（2-3平面）為各項同性，因而各單層沿3方向的應(yīng)變可以表示為：把代入，并利用，可以求出各單層材料沿厚度方向相當?shù)臒崤蛎浵禂?shù)為：囫圇疊層材料沿厚度方向的平均熱膨脹系數(shù)可以表示為：顯然，與單層材料沿厚度方向的熱膨脹系數(shù)不同，普通不等于。因為為了保持各層的溫度變形互相協(xié)調(diào)，使得在各層內(nèi)部產(chǎn)生了溫度應(yīng)力，而這種溫度應(yīng)力會影響沿3方向的溫度應(yīng)變。7.5疊層復(fù)合材料的零熱膨脹系數(shù)設(shè)計某些重要的復(fù)合材料構(gòu)件，要求在溫度變化環(huán)境下具有良好的尺寸穩(wěn)定性。為此，最有效的途徑就是采用熱膨脹系數(shù)盡量小的材料，從而減小相應(yīng)的溫度變形。目前，一些新型的纖維增強復(fù)合材料，如碳纖維、凱夫拉纖維復(fù)合材料，不僅熱膨脹系數(shù)值很小，且其縱向熱膨脹系數(shù)為負值。因而，利用復(fù)合材料的可設(shè)計性，可以設(shè)計出理論上為零熱膨脹系數(shù)的材料。7.5.1全方向零熱膨脹系數(shù)的設(shè)計全方向零熱膨脹系數(shù)是指在中面內(nèi)任何方向上的熱膨脹系數(shù)均為零。為此，首先要把復(fù)合材料設(shè)計成具有各項同性的熱膨脹系數(shù)性質(zhì)。在疊層復(fù)合材料中面內(nèi)具有各項同性熱膨脹系數(shù)性質(zhì)的條件為：各層的材料性質(zhì)及厚度均相同，總層數(shù)，且各層纖維方向按如下次序羅列：則疊層板在x-y平面內(nèi)具有各向同性的熱膨脹系數(shù)。證實如下。把代入當時，有當時，有當時，有其中因而有可得到：，這符合在中面內(nèi)熱膨脹系數(shù)各向同性的要求。在實際使用時，偶爾還需要考慮以下兩點：希翼不產(chǎn)生溫度翹曲現(xiàn)象，因而往往要對稱鋪設(shè)；希翼不僅溫度變形為各向同性，而且彈性性質(zhì)也為各向同性。彈性各向同性也要求，但需。因此，實際可以采用至少6層對稱鋪設(shè)成合板，如[0/60/-60]s。為了使各向同性熱膨脹系數(shù)為零，即，因而需要有此式為實現(xiàn)零熱膨脹系數(shù)的基本條件。對于碳纖維、凱夫拉纖維復(fù)合材料，因為縱向熱膨脹系數(shù)，而且，，由此有可能滿意或基本滿意。倘若再利用細觀力學(xué)的公式計算，可以舉行細微觀設(shè)計，得到最佳纖維體積含量的計算公式。固然，材料設(shè)計需結(jié)合實驗來決定。7.5.2單方向零熱膨脹系數(shù)的設(shè)計

第八章 層合板的彎曲、屈曲與震動8.1層合板的彎曲在橫向載荷作用下，板的撓度、變形及應(yīng)力。合力與合力矩的平衡方程為：由上面后三式得把板的本構(gòu)關(guān)系帶入平衡方程，得到用中面位移表示的平衡方程為：其中算子含有，反映拉彎的耦合效應(yīng)。對于對稱層合板，平衡方程互相自立，彎曲的平衡方程為對正交各向異性層合板，，方程為：對各向同性材料，，方程為：

邊界條件：需同時規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，每邊有4個邊界條件，共8種可能的簡支和固定邊界條件：簡支邊界條件：固支邊界條件：考慮一沿x向為a,沿y向為b的層合板，四個邊簡支，受分布載荷作用，可以用雙三角級數(shù)，將橫向載荷展開為對均布載荷，有，研究幾種異常層合板的解。1.正交各向異性板，，平衡方程為簡支邊界條件為：設(shè)撓度為它滿意邊界條件。帶入平衡方程可得對均布載荷有解為位移知道后，可求應(yīng)變及應(yīng)力。2.對稱角鋪設(shè)層合板，但，平衡方程為簡支邊界條件為：仍設(shè)撓度為但平衡方程和邊界條件(位移滿意，但力矩不滿意)不能鄭重滿意。將由最小勢能原理求解。應(yīng)變能為外力作的功為總的勢能為將撓度表達式帶入，由最小勢能原理得到關(guān)于的線形代數(shù)方程組，可求解出。3.反駁稱正交鋪設(shè)層合板剛度有、、，、、，，因為有耦合剛度系數(shù)，平衡方程為聯(lián)立的：在如下簡支邊界條件下：選取下列位移它們能滿意平衡方程及邊界條件，可以通過級數(shù)展開，得到確切解。4.反駁稱角鋪設(shè)層合板剛度有，拉彎耦合剛度有和，平衡方程為聯(lián)立的：在如下簡支邊界條件下：選取下列位移它們能滿意平衡方程及邊界條件，可以通過級數(shù)展開，得到確切解。8.2層合板的屈曲在平面內(nèi)壓縮和剪切載荷作用下，載荷達到一定值，會產(chǎn)生橫向撓度的一種不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，稱為板的屈曲。產(chǎn)生屈曲的載荷為臨界載荷。板屈曲形式有無窮多，對應(yīng)最小的臨界載荷，為屈曲載荷。不考慮拉彎耦合影響，當板受平面載荷時，控制屈曲的微分方程為由后三個方程有：在可能的簡支和固定邊界條件：簡支邊界條件：固定邊界條件

對于對稱層合板，，把帶入平衡方程得對稱正交各向異性層合板剛度有。只受單向載荷，基本方程為邊界為簡支：設(shè)解為它滿意邊界條件。帶入平衡方程可得當n=1時，壓縮載荷有最小值。此時，縱向壓縮載荷為由條件，來判斷m為何值時最小。由此得因為m必須為正整數(shù)，當為的整數(shù)倍時，臨界載荷最小。板的撓度為此時，板產(chǎn)生的變形為在下x方向有m個半波正弦波形，y方向上有1個半波正弦波形。如有一層合板，，板為方形，此時，m=1在x方向板以一個半波屈曲。臨界載荷為。

對稱角鋪設(shè)層合板剛度有。只受單向載荷，基本方程為邊界為簡支：設(shè)解為級數(shù)它不能鄭重滿意邊界條件及平衡方程。可由最小勢能原理求解。對反駁稱鋪設(shè)層合板剛度有。只受單向載荷，基本方程u,v,w在平衡方程中相耦合。可以把u,v,w都設(shè)為雙三角級數(shù)。帶入邊界及平衡方程中求解。

8.3層合板的震動主要求解板的固有頻率和振型?？紤]板的慣性力，略去平面內(nèi)載荷,板的自由震動方程為

由后三個方程有：對于對稱層合板，，把帶入平衡方程邊界條件與屈曲問題同。1.對稱簡支層合板的自由震動剛度，，平衡方程為簡支邊界為：設(shè)撓度為空間與時光可分解的函數(shù)滿意邊界條件。帶入平衡方程有：解得各頻率對應(yīng)于不同振型。當時，得到基頻(最低頻率)。

2.對稱角鋪設(shè)層合板剛度有。振動基本方程為邊界為簡支：設(shè)解為級數(shù)它不能鄭重滿意邊界條件及平衡方程?？捎勺钚菽茉砬蠼?。3.對稱反駁稱鋪設(shè)層合板剛度有。u,v,w在平衡方程中相耦合。按照邊界條件及平衡方程，可以把u,v,w都設(shè)為雙三角級數(shù)。帶入邊界及平衡方程中求解。

第三篇復(fù)合材料細觀力學(xué)第九章單向板的細觀力學(xué)分析9.1引言細觀力學(xué)從組分材料的性能和界面特征來預(yù)測復(fù)合材料的性能。主要目的：1由組分材料彈性性能預(yù)測復(fù)合材料的彈性性能式中，Vf,Vm為纖維與基體的體積比，Vf＋Vm＝1。2由組分材料強度來預(yù)測復(fù)合材料的基本強度復(fù)合材料細觀力學(xué)基本假設(shè)：1復(fù)合材料是宏觀均質(zhì)、線彈性、無初始應(yīng)力。2各組分材料是均質(zhì)、線彈性、各向同性的。3增強材料的形狀和分布是規(guī)矩的。4界面處變形延續(xù)，不滑移。5各組分材料處于小變形狀態(tài)。代表性體積單元：復(fù)合材料假設(shè)為宏觀均質(zhì)材料，因而只需取其中一小部分來研究即可。這一小部分必須足以表示細觀材料的組成結(jié)構(gòu)，稱為代表性體積單元。如在代表性體積單元中，至少有一根纖維，尺寸為纖維間距或板厚。9.2用材料力學(xué)主意分析剛度112w1彈性模量E1的決定

，2彈性模量E2的決定，3泊松比21的決定惟獨力作用，沿方向2的變形為：，4剪切模量G12的決定剪切變形，總的剪切變形為,5半經(jīng)驗公式(Halpin-Tsai),M為預(yù)測的復(fù)合材料彈性模量，Mf、Mm為纖維與基體相應(yīng)的彈性模量，是對纖維增強作用的量度。 時， 給出復(fù)合材料彈性常數(shù)的下限。 時， 給出復(fù)合材料彈性常數(shù)的上限。參數(shù)越大，表示纖維的增強作用越大。對模量和可取對模量和可取，或分離取和。9.3用彈性力學(xué)能量原理分析剛度范圍對于彈性體變形時，其應(yīng)變能為：按照彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，彈性應(yīng)變能可寫成只是應(yīng)變的函數(shù)(稱為應(yīng)變能)，亦可表示為只是應(yīng)力的函數(shù)(稱為余能)。對于線彈性體，兩種能量相等：最小余能原理認為，在彈性體內(nèi)滿意平衡方程，又在邊界上滿意應(yīng)力邊界條件的容許應(yīng)力場所對應(yīng)的余能，總是大于等于真切應(yīng)力場所對應(yīng)的余能，即最小勢能原理認為，在邊界上滿意位移邊界條件的容許應(yīng)變場所對應(yīng)的應(yīng)變能，總是大于等于真切應(yīng)變場所對應(yīng)的應(yīng)變能，即1彈性模量E1下限的決定應(yīng)用最小余能原理。在代表性體積單元中，滿意力的平衡及應(yīng)力邊界條件的容許應(yīng)力場為該容許應(yīng)力場對應(yīng)的余能為分解為在纖維與基體中分離積分：真切應(yīng)力場所對應(yīng)的余能為由最小余能原理有：得即決定了E1下限：2彈性模量E1上限的決定應(yīng)用最小勢能原理。在代表性體積單元中，容許應(yīng)變場為利用廣義胡克定律可以分離得到纖維與基體中與該容許應(yīng)變場相對應(yīng)的應(yīng)力為：將應(yīng)力應(yīng)變式帶入應(yīng)變能公式中，分離在纖維與基體體積中積分，得真切應(yīng)變場對應(yīng)的勢能為：由最小勢能原理得，解得：由，及，決定這就是泊松比的表達式。將其帶入上限表達式，得上限。對于，有：3彈性模量E2、G12的上下限的決定用同樣的主意可得該容許應(yīng)力場對應(yīng)的余能為分解為在纖維與基體中分離積分：真切應(yīng)力場所對應(yīng)的余能為由最小余能原理有：得即決定了E1下限：

9.4強度的細觀力學(xué)分析一單向板沿纖維方向的抗拉強度強度預(yù)測比剛度預(yù)測精度差。1212w復(fù)合材料破壞取決于多種因素：纖維于基體的物理、力學(xué)性質(zhì)；纖維形狀、分布、體積含量；纖維與基體的界面情況；工作環(huán)境和載荷狀態(tài)(如濕熱、疲勞、沖擊等)…對工藝過程異常敏感，各種工藝參數(shù)的變化(如固化溫度、壓力時光、纖維表面處理狀態(tài))，會引起影響強度因素的變化(如纖維分布、空隙與微裂紋、殘余應(yīng)力、界面強度等)。單向復(fù)合材料在縱向拉伸載荷作用下基本破壞模式：脆性斷裂(纖維體積分數(shù)低，強界面)纖維拔出的脆性斷裂(中等纖維體積分數(shù)，弱界面)帶脫粘和基體破壞的脆性破壞(高纖維體積分數(shù))假設(shè)纖維等強度，纖維與基體粘結(jié)結(jié)實，且復(fù)合材料在同一橫截面上發(fā)生破壞。對單向板沿纖維方向拉伸，，破壞前，應(yīng)力為用分離表示纖維，基體的破壞應(yīng)變；用分離表示纖維，基體的抗拉強度分兩種情況：(主要情況)較低時，在較小載荷下，纖維被拉斷，但因纖維斷裂而轉(zhuǎn)移到基體上的載荷不足以使基體開裂，基體還能繼續(xù)承載，直到復(fù)合材料的應(yīng)變達到基體材料的斷裂應(yīng)變，即。此時，復(fù)合材料的破壞由基體控制，其縱向拉伸強度為較高時，在纖維斷裂而轉(zhuǎn)移到基體上的載荷很大，使基體無法承受，纖維斷裂時基體隨即斷裂，復(fù)合材料的斷裂應(yīng)變等于纖維的斷裂應(yīng)變，即。此時，復(fù)合材料的破壞由纖維控制，其縱向拉伸強度為式中，為與纖維斷裂應(yīng)變相對應(yīng)的基體應(yīng)力。抗拉強度隨纖維體積含量的變化如圖所示。由上兩式聯(lián)立求解，得兩條曲線的交點，即臨界纖維體積比為當較小時，，使復(fù)合材料的強度低于基體的強度。因為，纖維太少，其斷裂后，仍站著一部分體積，但載荷所有由基體承受，故不如全為基體材料承受載荷大。欲使纖維起到增強作用，復(fù)合材料中纖維的體積分數(shù)應(yīng)該大于一臨界分數(shù)，即較低時，在較小載荷下，基體先于纖維斷裂，所有載荷轉(zhuǎn)移到纖維上，但因為，纖維不能承受此載荷而斷裂，此時，復(fù)合材料的破壞由基體控制，其縱向拉伸強度為式中，為對應(yīng)于基體斷裂應(yīng)變時纖維應(yīng)力。較高時，基體承載較小，其破壞時，向纖維轉(zhuǎn)移的載荷不足以引起纖維的斷裂，纖維還能繼續(xù)承載，直到達到纖維的抗拉強度，此時，復(fù)合材料的破壞由纖維控制，其縱向拉伸強度為抗拉強度隨纖維體積含量的變化如圖所示。由上兩式聯(lián)立求解，得兩條曲線的交點，即臨界纖維體積比為理論上，纖維體積分數(shù)增強，復(fù)合材料強度提高，但當很高時()，復(fù)合材料的強度反而有下降的趨勢。因為纖維體積分數(shù)太大時，工藝上不能保證基體與纖維的勻稱分布，以致有的纖維周圍沒有基體，形成缺陷，導(dǎo)致強度下降。二單向板沿纖維方向的抗壓強度單向復(fù)合材料在縱向壓縮載荷時，有至少三種破壞模式：纖維微屈曲破壞(分拉壓型和剪切型)；橫向開裂破壞；剪切破壞。應(yīng)該取最小載荷來決定壓縮強度。纖維屈曲理論復(fù)合材料彈性板受到沿著纖維方向的載荷時，纖維就象受到彈性(基體)支撐的細長受壓桿，纖維會發(fā)生微屈曲(Buckling)。纖維屈曲有兩種可能形式：(1)纖維彼此反向屈曲形成拉伸型或異相型屈曲模式，基體交替地產(chǎn)生垂直于纖維的拉壓變形；(2)纖維同向屈曲形成剪切型或同相型屈曲模式，基體承受剪切變形。可用能量法求解纖維臨界屈曲載荷。分離計算纖維發(fā)生屈曲時，纖維與基體的應(yīng)變能增量之和，應(yīng)等于作用于纖維上的外力所做的功，設(shè)纖維在垂直于纖維的2方向的位移為拉壓型取的代表性體積單元?；w的應(yīng)變?yōu)椋?c為纖維間距，對應(yīng)的應(yīng)力為，基體應(yīng)變能變化為：利用屈曲桿的應(yīng)變能公式，可得纖維屈曲后應(yīng)變能增量其中h為纖維寬度，為纖維的截面慣性矩。外力所做的功式中為纖維在外力作用下兩端縮短的距離，為作用于纖維端點的載荷。由能量關(guān)系得：設(shè)第m各正弦波，P達到極小值由，得到的極小值為由纖維的體積