文科數(shù)學(xué)

測(cè)試范圍：學(xué)科內(nèi)綜合.共150分，考試時(shí)間120分鐘

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.已知全集。={—1,0,1,2,3,4,5,6},集合A={—1,2,3,5,6},「={0,4,5},

則@4)B=()

A.{0,-1,4}B.{-2,5,6}C.{0,4}D.{-1,4}

2.已知i是虛數(shù)單位，z=--3i2017,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知函數(shù)/(x)=[j+2則/(/(-2))=()

35

A.—B.—C.1D.2

24

4.已知夾角為9的向量滿足(a+5)=2,且|.|=2|川=2,則向量a,8的關(guān)系是()

A.互相垂直B.方向相同C.方向相反D.成120。角

5.公差不為零的等差數(shù)列{%}中，%,4，%成等比數(shù)列，則幺=()

7「7C.-2r13

A.—B.一D.——

23137

6.己知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()

97r97r

A.—+18B.—+36C.18萬(wàn)+18D.18?+36

22

7.已知。滿足sin(a+&)=正，則tan2a+1_

()

462tana

人99

C.3D.-3

88

8.運(yùn)行如圖所示的程序算法，若輸入機(jī)的值為20,則輸出的結(jié)果為()

A.20B.10C.0D.-10

9.隨著新政策的實(shí)施，海淘免稅時(shí)代于2016年4月8日正式結(jié)束，新政策實(shí)施后，海外購(gòu)

物的費(fèi)用可能會(huì)增加.為了解新制度對(duì)海淘的影響，某網(wǎng)站調(diào)查了喜歡海淘的1000名網(wǎng)友,

其態(tài)度共有兩類：第一類是會(huì)降低海淘數(shù)量，共有400人，第二類是不會(huì)降低海淘數(shù)量,

共有600人，若從這1000人中按照分層抽樣的方法抽取10人后進(jìn)行打分，其打分的莖葉

圖如下圖所示，圖中有數(shù)據(jù)缺失，但已知“第一類”和“第二類”網(wǎng)民打分的均值相等,

則“第一類”網(wǎng)民打分的方差為()

A.159B.179C.189D.209

x+y-220

10.若不等式組<辰->+220（左<0）所表示的平面區(qū)域的面積為4,則z=x-2y的取值范

）20

圍是（）

A.[0,6]B.[-2,4]C.[-4,2]D.[-4,6]

11.已知雙曲線0-4=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,K，點(diǎn)M在雙曲線的右支

ab

上，點(diǎn)N為gM的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|ON|-|八5|=2。，則該雙曲線的離心率為

)

A.及B.2C.孚D.半

-tJ一.-3x+lx20flnx-1x^l

12.已知函數(shù)f(x)=<與函數(shù)g(x)={的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

-x3+3x+l%<0[~xx<\

)

A.2B.3C.4D.5

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.）

13.不等式ox2+x+l>0的解集為（俄,1）,貝!J/?z+a=.

14.已知拋物線f=_2/（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為產(chǎn)（0,-3）,則直線y=x被拋物線截得的弦的

中點(diǎn)坐標(biāo)為.

15.在討論勾股定理的過(guò)程中，《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如

52+122=132,62+82=102,72+242=252,82+152=172,282+962=1002“弦數(shù)”，后人在此

基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若勾股數(shù)組中的某一個(gè)數(shù)機(jī)是確定的奇數(shù)（大于1）,

把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)，若勾股數(shù)組中

的某一個(gè)數(shù)機(jī)“由優(yōu)生成的一組勾股數(shù)”.若“由17生成的這組勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為A,

“由20生成的這組勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為3,則A+3=.

16.AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若36cosc+3ccos8=5asinA,且A為銳

2

角，則當(dāng)幺取得最小值時(shí)，'上的值為_(kāi)______________.

beb+c

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.（12分）已知數(shù)歹U｛a“-1｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“；

（2）若~(yú)--------S―；------求也｝的前〃項(xiàng)和北.

l°g2（“2〃+1—1）l°g2（"2n+31）

18.（12分）如圖，ABCD是正方形，平面平面ABCD,

CE^AB,PD=ACE.

（1）求證：PE±AD；

（2）若三棱錐C-3DE的體積為匕，幾何體的體積為匕，且*=g，求彳的值?

19.（12分）2016年5月20日以來(lái)，廣東自西北到東南出現(xiàn)了一次明顯降雨.為了對(duì)某地的

降雨情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，氣象部門(mén)對(duì)當(dāng)?shù)?0日~28日9天記錄了其中100小時(shí)的降雨情況，

得到每小時(shí)降雨情況的頻率分布直方圖如下：

若根據(jù)往年防汛經(jīng)驗(yàn)，每小時(shí)降雨量在[75,90)時(shí)，要保持二級(jí)警戒，每小時(shí)降雨量在

[90,100)時(shí)，要保持一級(jí)警戒.

(1)若從記錄的這100小時(shí)中按照警戒級(jí)別采用分層抽樣的方法抽取10小時(shí)進(jìn)行深度分

析.

①求一級(jí)警戒和二級(jí)警戒各抽取多少小時(shí)；

②若從這10個(gè)小時(shí)中任選2個(gè)小時(shí)，則這2個(gè)小時(shí)中恰好有1小時(shí)屬于一級(jí)警戒的概率.

(2)若以每組的中點(diǎn)代表該組數(shù)據(jù)值，求這100小時(shí)內(nèi)的平均降雨量.

20.(12分)已知橢圓C：W+?=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，點(diǎn)尸(也，述)

ab33

在橢圓C上，且△尸耳巴的面積為華.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)原點(diǎn)。作圓(彳-。)2+0-32=/的兩條切線，切點(diǎn)分別為從臺(tái)，求耳4.耳反

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-7nx+1.

(1)若y=/(X)在x=2處的切線與直線2x—3y+2017=0垂直，求y=f(x)的極值；

(2)設(shè)y=/(x)與直線x="交于點(diǎn)A(",%),拋物線y=/與直線x=〃交于點(diǎn)3(”,%),

若對(duì)任意n>l,恒有％<%,試分析y=f(x)的單調(diào)性.

請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)

清題號(hào).

22.(10分)選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=-l----1

已知直線/的參數(shù)方程為2(其中f為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以X軸為極軸建

y=2+叵

I2

立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2asin。(加為常數(shù)，且〃A0),直線/與曲線C

交于A,B兩點(diǎn).

(1)若|A1=2,求實(shí)數(shù)的值;

(2)若點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為(-1,2),S.\PA\-\PB\>4,求實(shí)數(shù)爪的取值范圍.

23.(10分)選修4—5不等式選講

已知函數(shù)/(%)=|(其中相為常數(shù)).

(1)若/(0)+/(2)<3,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求證：—————《("+〃)(二+二)對(duì)任意實(shí)數(shù)“力加恒成立.

/(-1)+/(3)a2b2>

文科數(shù)學(xué)答案與解析

1.【答案】C【解析】由條件可得Q,A={0,1,4},故&A)B={0,4}.

2.【答案】D【解析】z=2--3i20"=2二D-3i=i+l-3i=l-2i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,—2),

1+12

在第四象限.

3.【答案】A【解析】/(-2)=2-2=；,故/(/(-2))=y(l)=^172=|.

4.【答案】C【解析】由a?(a+))=2可得。2+々.)=2,BP|a|2+1a|?|^|-cos0=2,即4+2cos8=2,所

以8s0=-l,即8所以a,b方向相反.

5.【答案】B【解析】設(shè){見(jiàn)}的公差為或dWO),由%,，%成等比數(shù)列可得@二%%，即

(a.+5d)2=(a.+2d)(a.+6d),即2q=-13d,故包=T3〃+6d=2_.

a6-13d+Wd3

6.【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是圓柱的一半與長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半徑

j97r

為3,高為1,故其體積為：V=-(^x32xl+lx6x6)=—+18.

22

7.【答案】B【解析】由sin(a+3=@可得交(sina+cosa)=也，即sina+cosa='，平方可得

46263

亞￡+1

。?日口.c岳

l1+2smacosa二1一,艮fJsm2a=一—8,故-ta-n--?-+-1=cos2.a——=-----1----=---1--=一一9.

992tana2sma2sinorcos6Zsin2a8

cosa

8.【答案】B【解析】該框圖的運(yùn)行結(jié)果是：

5=20+(-20+19)+(-18+17)++(-2+1)-0=10.

9.【答案】B【解析】抽取的網(wǎng)民中，“第一類”抽取4人，缺失一個(gè)數(shù)字，設(shè)為相，“第二類”抽取6人，

則‘”+56+60+88=52+58+66+68+70+76,解之得加=56,其兩組數(shù)的均值都是65,則“第一類”

46

網(wǎng)民打分的方差為：

52=-[2(56-65)2+(60-65)2+(88-65溝=179.

4

2

10.【答案】D【解析】畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示.圖中點(diǎn)A(2,0),5(-7,0),。(0,2),

k

171

故陰影部分的面積為5x(——2)x2=4,解之得％=-3,由圖易得z在點(diǎn)3(6,0)處取得最大值6,在點(diǎn)

C(0,2)處取得最小值一4,故z的取值范圍是[-4,6].

11.【答案】C【解析】由N為"工的中點(diǎn)，所以0N//MR,且|0N|=1M￡|,故N犀明=60。，

\ON\-\NF2\=^(\MFl\-\MF2\)=a,故°=加，設(shè)雙曲線的焦距為2c,由1=46?可得

a2=4&2=4(c2-a2),故雙曲線的離心率為e=(.

12.【答案】D【解析】當(dāng)x》0時(shí)，f(x)=x3-3x+l,貝I」f\x)=3x2-3,由尸(x)=0可得x=-1(舍去)或x=l；

當(dāng)x>l時(shí)，/'U)>0,當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(%)<0，故/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,叱)x<0時(shí)，則r>0,

且/(-%)=-X3+3x+l=/(x),故/(%)的圖象關(guān)于y,在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)與曲線y=g(x)的

圖象如圖所示.

由圖可知，它們有5個(gè)交點(diǎn).

13.【答案】【解析】由條件可知1是方程ar2+x+l=0的實(shí)根，故4+1+1=0,即a=-2,不等式為

2

-2X2+x+l>0,解集為(-工,1),即，*=-2，所以加+<?=—*.

222

14.【答案】(-6,-6)【解析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得〃=6,故拋物線方程為/=T2y,把尸元代入

拋物線方程可得或,故弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,-6).

15.【答案】246【解析】由172=289,而289=144+145,則“由17生成的這種勾股數(shù)”為：17,144,145,

由(5)2=100，則“由20生成的這種勾股數(shù)”為：20,99,101,則4+5=145+101=246.

16.【答案】【解析】由％cosC+3ccos3=5asinA及正弦定理可得3sin3cosc+3sinCcosB=5sin2A,

10

即3sin(B+C)=5sin2A,由sin(6+C)=sinA〉0可得sinA=1,而A是銳角，所以cosA=g,貝(J

8

a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2——be,

5

則d="二々土3絲￡-9=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)，《取得最小值2,

bebebe5be55be5

故02=工〃，故°=巫6,所以，」L=巫.

55b+c10

17.【解析】

(1)由條件可得。"-1=擊*+1，

j_±

???S”=1+耳+尹+尹+…+西+〃=---+n=n--+2.(6^)

1-2

(2)由(1)可知2=-------------------------=------.........—

10g2(?2?+1-l)10g2(?2?+3-l)bg,3.log,占

ozDZ02〃+2

[1]1J1、

(—2/1)(—2n—2)4n(n+1)4nn+\

貝+-L__1-)=1(1__L_)=_1_.(12分)

4223nn+14n+\4(幾+1)

18.【解析】

(1)ABCD是正方形，.?.AD_LCD,POJ■平面ABCD,：.AD1PDf

而PDiCD=D,PD,CDu平面PDCE,AD上平面PDCE,

又PEu平面PDCE,/.PE_LAO.(6分)

(2)?AB-a,貝IA￡>=CE=a,貝Ig二匕_BDE=%-CDE=1x(1/)〃=J_/,

326

11111c3

V=V+V=Xa22

2B-PDEP-ABD~(~^)X^+-X—X^a=~Aa,

由匕=」可得H=工，故力=3.(12分)

匕31助332

3

19.【解析】

(1)①由頻率分步直方圖可知，屬于一級(jí)警戒的頻率為：(0.04+0.02)X5=0.3,

則屬于二級(jí)警戒的頻率為1—0.3=07

所以，抽取的這10個(gè)小時(shí)中，屬于一級(jí)警戒的有3小時(shí)，

屬于二級(jí)警戒的有7小時(shí).(3分)

②設(shè)抽取的這10小時(shí)中，屬于一級(jí)警戒的3小時(shí)分別為1,2,3,

屬于二級(jí)警戒的分別為4,5,6,7,8,9,0.則從中抽取2小時(shí)的不同情況有：

(1,2),(1,3),(1.4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(1,0),

(2,3),(2,4),(3,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,0),

(8,9),(8,0),

(9,0).

共9+8+7+…+2+1=45種不同情況，其中恰好有1小時(shí)屬于一級(jí)警戒的情況有:

717

7+7+7=21種不同情況，故所求概率為P='='.(8分)

4515

(2)這五組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻率分別為：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.

故這100小時(shí)的平均降雨量為：

XXXXX(mm).(12分)

20.【解析】

(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,

由△刊工的面積為逑可得、2CX"1=N1,;.C=1,

-3233

則a2=b2+1,由點(diǎn)P(也，延)在橢圓C上可得；+3=1，

339(廿+1)9b2

2

解之得6=1,故橢圓C的方程為、v+V=L(6分)

(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率不存在的直線顯然與圓(x-&y+(y-l)2=2相切，切點(diǎn)為A(O,1),

設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線為y=去，即辰-y=0,

由圓心(點(diǎn),1)到直線區(qū)-y=0的距離恰好等于圓的半徑也可得

卒解之得尢=一也，

(%_應(yīng))2+(yT)2=2022歷20

由0可得”—土%+1=0,即(土%—1)2=0,

y=----x824

I4

二X=半，>=-；，即點(diǎn)B(羊,-g),，EA=(l,l),￡8=(^+l,-g),

與4巾=述+1」=^±1U12分)

11333

21.【解析】

113

(1)由/(%)=lnx-m￥+l可得/(%)=——m,由條件可得/(2)=——m=——，即加=2.

x22

11_2x

貝U/(x)=lnx-2x+l,f'(x)=——2=----(x>0),

xx

令/(盼=0可得x.當(dāng)0<x<；時(shí)，f\x)>0,當(dāng)x>；時(shí)，f\x)<0.

/(X)在(0,；)上單調(diào)遞增，在(；,+8)上單調(diào)遞減，

/(x)的極大值為了(■1)=ln；T+l=-ln2,無(wú)極小值.(6分)

(2)由條件可知/(%)</對(duì)任意的x>1恒成立.

即Lnx—“zx+lvx，，即m>^-^-+--x對(duì)任意的x>l恒成立.

%X

人/、Inx,1.|，/、1-lnx1-(lnx+x2)

令g(%)=一+一-X，則mg(%)=-2----2~1=----2——，

XXXXX

當(dāng)%>1時(shí)，Inx+x2>0,故g(x)vO,

g(%)在(1,+oo)上單調(diào)遞減,故g(尤)vg⑴=0,「.根，0.

①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，f\x)=--m>0,故/'CO在(0,+x))上單調(diào)遞增；

X

②當(dāng)機(jī)>0時(shí)，由/(%)=工一根=0可得％=上.

xm

當(dāng)0