線性代數(shù)期末考試復(fù)習考點-同濟大學(第六版)目錄CONTENCT行列式與矩陣向量與線性方程組特征值與特征向量二次型與正定矩陣線性變換與矩陣對角化向量組的線性相關(guān)性01行列式與矩陣010203行列式的定義由n階方陣的元素所構(gòu)成的代數(shù)和，其值等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和。行列式的性質(zhì)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等；互換行列式的兩行（列），行列式變號；行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式；行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零等。行列式的計算化為三角形行列式法、降階法、拆分法、范德蒙德行列式等。行列式性質(zhì)與計算0102030405矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)矩陣運算及性質(zhì)兩個矩陣的加法就是其相對應(yīng)元素的加法。一個數(shù)乘以一個矩陣，就是該數(shù)乘以矩陣的每一個元素。兩個矩陣相乘，要求第一個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)，結(jié)果是一個新的矩陣，其行數(shù)等于第一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于第二個矩陣的列數(shù)。把矩陣A的行和列互相交換所產(chǎn)生的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。結(jié)合律、分配律、數(shù)乘的結(jié)合律等。逆矩陣的定義逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的求法矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)矩陣的逆與轉(zhuǎn)置對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使得AB=BA=I，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。若矩陣A可逆，則A的逆矩陣唯一；若矩陣A可逆，則AT也可逆，且(AT)?1=(A?1)T；若矩陣A可逆，數(shù)λ≠0，則λA可逆，且(λA)?1=1/λA?1等。伴隨矩陣法、初等變換法等。把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣。(AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(λA)T=λAT等。02向量與線性方程組向量空間由向量構(gòu)成的集合，滿足對加法與數(shù)乘的封閉性、結(jié)合律、交換律等性質(zhì)，構(gòu)成線性空間。向量的線性組合與線性表示通過向量的加法與數(shù)乘運算，可以得到向量的線性組合，進而研究向量之間的線性關(guān)系。向量的定義與性質(zhì)向量是既有大小又有方向的量，滿足加法與數(shù)乘的封閉性、結(jié)合律、交換律等性質(zhì)。向量空間與基本概念80%80%100%線性方程組求解方法通過消元將線性方程組化為階梯形方程組，再回代求解未知量。利用行列式的性質(zhì)，直接求解線性方程組的解。將線性方程組表示為矩陣形式，通過矩陣的初等變換求解未知量。高斯消元法克拉默法則矩陣方法幾何應(yīng)用物理應(yīng)用工程應(yīng)用線性方程組的應(yīng)用在力學、電學等領(lǐng)域中，常常需要利用線性方程組求解物理量之間的關(guān)系。在土木工程、機械工程等領(lǐng)域中，需要利用線性方程組解決結(jié)構(gòu)設(shè)計、優(yōu)化等問題。利用線性方程組可以求解平面或空間中的點、直線、平面等幾何問題。03特征值與特征向量特征值設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征多項式設(shè)A是n階方陣，則行列式|λE-A|稱為A的特征多項式。特征方程|λE-A|=0稱為A的特征方程，其根即為A的特征值。特征值與特征向量的定義010203求解步驟1.寫出特征多項式|λE-A|；2.求解特征方程|λE-A|=0，得到特征值λ；特征值與特征向量的求解將每個特征值λ代入方程組(λE-A)x=0，求解得到對應(yīng)的特征向量x。特征值與特征向量的求解02030401特征值與特征向量的求解注意事項特征向量是非零向量；一個特征值可能對應(yīng)多個線性無關(guān)的特征向量；不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。判斷矩陣是否可對角化求矩陣的冪判斷矩陣的相似性在物理學、工程學等領(lǐng)域中的應(yīng)用特征值與特征向量的應(yīng)用如果n階方陣A有n個線性無關(guān)的特征向量，則A可對角化。如果n階方陣A可對角化，且已知其特征值和特征向量，則可以利用特征值和特征向量求出A的任意次冪。如果兩個n階方陣有相同的特征多項式，則它們相似。例如求解振動系統(tǒng)的固有頻率和振型、電路中的諧振頻率等。04二次型與正定矩陣二次型的標準形：通過正交變換，二次型可以化為標準形，即平方項的系數(shù)是特征值。二次型的規(guī)范形：通過配方，二次型可以化為規(guī)范形，即平方項的系數(shù)是1或-1?；涡蜑闃藴市魏鸵?guī)范形的方法：拉格朗日配方法、正交變換法。二次型的標準形與規(guī)范形正定矩陣的判定對于n階實對稱矩陣A，若對于任意非零向量X，都有X^TAX>0，則稱A為正定矩陣。正定矩陣的性質(zhì)正定矩陣的行列式大于0，特征值均大于0，可逆且逆矩陣也為正定矩陣。正定矩陣的判定方法順序主子式法、特征值法、定義法。正定矩陣的判定與性質(zhì)030201二次型的幾何意義二次型的最值問題二次型在優(yōu)化問題中的應(yīng)用二次型可以表示為一個二次曲面，其形狀由二次型的系數(shù)決定。通過求解二次型的標準形或規(guī)范形，可以找到二次型的最值點。在約束優(yōu)化問題中，目標函數(shù)或約束條件可以表示為二次型的形式，通過求解二次型的最值問題可以得到優(yōu)化問題的解。二次型的應(yīng)用05線性變換與矩陣對角化010405060302線性變換的定義：設(shè)V和W是數(shù)域F上的線性空間，T是從V到W的映射，如果T滿足T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)，則稱T是V到W的線性變換。線性變換的性質(zhì)T(0)=0；T(-α)=-T(α)；若k1,k2∈F，α1,α2∈V，則T(k1α1+k2α2)=k1T(α1)+k2T(α2)；線性變換把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組。線性變換的定義與性質(zhì)矩陣對角化的條件與方法矩陣對角化的條件：n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。矩陣對角化的方法求出矩陣A的特征多項式f(λ)，并求出特征值λi；將特征向量正交化、單位化，得到正交矩陣P；計算P^(-1)AP，得到對角矩陣Λ。對于每個特征值λi，求出齊次線性方程組(A-λiE)X=0的基礎(chǔ)解系，得到對應(yīng)的特征向量；01020304圖像處理機器學習量子力學控制論線性變換的應(yīng)用在量子力學中，線性變換可以用于描述量子態(tài)的演化和測量等操作。在機器學習中，線性變換可以用于特征提取和降維等操作，如主成分分析（PCA）和線性判別分析（LDA）等。在圖像處理中，線性變換可以用于圖像的縮放、旋轉(zhuǎn)和平移等操作。在控制論中，線性變換可以用于描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性和能控性等性質(zhì)。06向量組的線性相關(guān)性向量組線性相關(guān)的定義與性質(zhì)定義若向量組中存在一個向量可以由其他向量線性表示，則稱該向量組線性相關(guān)；否則稱該向量組線性無關(guān)。性質(zhì)1若向量組線性相關(guān)，則其中至少有一個向量可以由其他向量線性表示。性質(zhì)2若向量組線性無關(guān)，則其任意兩個向量都不共線。性質(zhì)3若向量組線性無關(guān)，且可以添加一個向量使其線性相關(guān)，則該向量可以由原向量組線性表示。向量組線性相關(guān)性的判定方法觀察法。通過直接觀察向量組中的向量是否共線或共面來判斷其線性相關(guān)性。方法2計算法。通過計算向量組的行列式或秩來判斷其線性相關(guān)性。若行列式為零或秩小于向量個數(shù)，則向量組線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。方法3定理法。利用向量組線性相關(guān)性的定理和性質(zhì)進行判斷。如利用“若n維向量組中向量的個數(shù)大于n，則該向量組一定線性相關(guān)”等定理。方法1應(yīng)用1應(yīng)用2應(yīng)用3應(yīng)用4向量組線性相關(guān)性的應(yīng)用求解方程組。利用向量組的線性相關(guān)性可以判斷方程組是否有解，以及解的唯一性。判斷矩陣的秩。通過計算矩陣列向量組的秩可以得到矩陣的秩，進而判斷矩陣是否可逆等性質(zhì)。