專題07經(jīng)典(超越)不等式

一、結(jié)論

⑴對數(shù)形式：無≥1+Inx(x>()),當(dāng)且僅當(dāng)％=1時,等號成立.

⑵指數(shù)形式：e'NX+l(χGR),當(dāng)且僅當(dāng)X=O時,等號成立.

進一■步可得到一組不等式鏈：e*>x+l>x>l+lnx(x>0且XRI)

上述兩個經(jīng)典不等式的原型是來自于泰勒級數(shù)：

Y2n,θx

e'=l+χ+±+…+χL+-^f—χn+l;

2!n?5+1)!

r2r3xn+l

nn+

In(I+x)=X-----d-------+(-D+o(x')i

23n+1

截取片段：

e'≥x+l(x∈R)

ln(l+x)≤x(x>-l),當(dāng)且僅當(dāng)X=O時,等號成立；

進而：Inx≤尤—l(x>0)當(dāng)且僅當(dāng)χ=l時,等號成立

二、典型例題

2--

例題1.(2023?陜西咸陽?校考模擬預(yù)測)已知α=g,8=e5,c=ln5-In4,則()

A?a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【詳解】/(Λ-)=ex-l-x

/(X)=e"-1,則X∈(0,供),/(X)>0,Xe(Y,0),/(X)<0,故函數(shù)/(?)在(e,0)單調(diào)遞減，

(0,+。)單調(diào)遞增，則/(尤)≥/(O)=O

則e'-l-x≥0,即e**l+x

,22

由e*≥l+x,?'?e5>—,故

5

同理可證ln(l+x)≤x

又?ln(l+x)≤x,.1ln5-ln4=ln(l+；)<；,則6>α>c

故選：C.

【反思】對于指數(shù)形式：e'≥x+l(xeA),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立，該不等式是可以變

形使用的：

-^≤→ex≤-

∕2x+l(x∈R)T替換">"'2—x+l,即L≥ll~x

e'-J?∕≥-L

.1—x

注意使用時X的取值范圍；

同樣的還可以如下處理：/Nx+I(XGR)兩邊同時取對數(shù)：x≥ln(x+l)(x>-l),同樣可

以變形使用：

I

x≥ln(x+l)(x>-l)—七?'W'→x-1≥Inx(x>0)—中ai同)以：T?一>l-χ≤-l∏X(X>0)；

1用小替換q”1X-I

l-x≤-lnX(X>0)<?>1-%≤In—(x>0)------4---------->1——<Inx<=>------≤Inx

XXX

注意使用時X的取值范圍.

另外，選擇填空題中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答題中一定要先證

后用.

例題2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-x-l.

(1)證明：/(x)≥0;

⑵證明：0+g)(l+/)(l+^7)<e.

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【詳解】(1).Γ(x)=e'-1,

令∕<x)>0,得*>0；令/'(x)<O,得x<O,

所以f(x)在(-s,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所F(X)的最小值為/(o)=o,所以/(尤)NO.

x

(2)由(1)知，當(dāng)Xe(O,+∞)時，/(x)>/(O)=0,BPe-x-l>0.即e*>x+l,即x>ln(x+l),

令X=?,得In[I+￡)<￡'

所以In((I+)(1+卦(1+口=In(T+ln?++皿+￡)

111?.1.

<-+—÷+—=—^-------1<1,

222*X12n

1—

2

【反思】注意在解答題中e*21+x,x≥l+lnx(x>O)等超越不等式，及其變形式，不能

直接使用，需要證明后才可以使用，才可以進一步變形得到有利于解題的不等式.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

20222023

1.(2023春?浙江?r?三校聯(lián)考開學(xué)考試)設(shè)。=M?=tan-!—?e,c=sin—?e,

202220222023

則()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【詳解】設(shè)/(x)=e*—(x+l),則∕?'(x)=e*-l,在(0,+8)時，∕,(x)>0,在(一甩。)時，

/'(x)<0,

所以/(x)mi∏=/(O)=°，即e'-(x+l)≥O,所以e*2x+l對任意XeR均成立.取X=壺,

120231?1

有e2儂>_!_+1=------,以-----e20-2>-------

2022202220232022

112022,兩邊取倒數(shù)，即e七<竺”,

再取X=一'If1,e，心>1—

2023202320232022

所以一!一e康<1

20232022,

又當(dāng)x∈(θ,?∣?)時，設(shè)尸(X)=X-SinX,

G(X)=tanX-X,則k(X)=1—cosx>0τ

22

G，(X)=(^?j-l=1-cosXsinX0,即F(X)和G(X)在0,■!均遞增,

——>

COSXCOS2XCOS"X

所以內(nèi)/(O)=0,G(x)>G(O)=O,即XE(O,時，sinx<x<tanx,所以

11?1]

20232023120222022

sin-------e<-------e<------<-------e<tan------e

20232023202220232023

1—

由tanX在Xe(O,制單調(diào)遞增，可得tan120222022

e<tan-------e,βPc<a<b.

20232022

故選：B

02

2.(2023秋?江蘇蘇州?高三常熟中學(xué)?？计谀?a=e,b=Iog78,c=1(‰7,則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【詳解】令/(X)=華+D(X>0)

?nx

xlnx-(Λ?+l)ln(x+l)

則f'M=顯然f'(χ)<0

x(x+l)ln2x

即/(X)單調(diào)遞減，所以也？>"，即Iog67>k)g78,Oh.

InoIn7

令^(?)=ex-x-?(x≥0)

則/(x)=e*-l?0,即g(x)在。+8)上單調(diào)遞增

所以g(x)≥g(0)=0,即e*≥x+l,

所以efλ2>0.2+l=t

令"X)=AInx

In6

?_1

則"(X)=

6XIn6

當(dāng)/(x)>0時，x>￡,即6(x)在(二,+8)上單調(diào)遞增

InoIno

又〃(6)=0,所以當(dāng)x>6時，Λ(x)>Λ(6)=0

所以久7)>人⑹=。，up?-->0

6In6

7

epiog7<-,

6O

又所以bg67<Z<?∣<e°2,即c<a.

6565

綜上：a>c>b.

故選：C.

3.(2023?云南曲靖?統(tǒng)考一模)已知〃=e-2,fe=l-ln2,c=ee-e2,則()

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>hD.c>a>b

【答案】D

【詳解】令f(x)=X-I-InX,x>0,

貝IJf(e)=e-l-lne=e-2=q,/(2)=2-l-ln2=l-ln2=fe,

.?.當(dāng)x>l時，∕,(x)>0,/(χ)單調(diào)遞增,

.?./(e)>∕(2),即

令g(x)=e'-x,貝∣Jg'(x)=e"-1,

J.當(dāng)x>0時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

g(e)>g(2),即e°-e>e2-2,

所以e°-e?>e-2,即c>α.

綜上，c>a>b.

故選：D.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知"=e'"',Z>=sinl,C=Cosl,則()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【詳解】解：當(dāng)x∈(j日,si∏r>cosx,又l?弓)，所以sinl>cosl,故Z>>c

記/(x)=e*-x-l,所以,f'(x)=e*-l,

令得x<0,令用x)>0,得x>0,

所以在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0.+向單調(diào)遞增.

j

所以f(x)≥∕(O)=O,gpe-x-l>O,當(dāng)X=O時取等號.

所以“=es'nl^l>(sinl-1)+1=sinl=?,

所以C<6<".

故選：C.

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知α>A+l>l則下列不等式一定成立的是()

A.妝-α∣>bB.ci—>bT—

ab

.b+?eb..,.

Cr.-------<------D.a+lnb<b+ιna

a-?Intz

【答案】c

【詳解】取。=10*=8,則憐-α∣vb,故A選項錯誤;

取α=3,b=?,a+-=h+^-,則B選項錯誤；

3ab

取α=3,h=?,則α+lnb=3,0+lnα=1+ln3<1+lne?=3,∏Pa+?nb>b+?na,

故D選項錯誤；

關(guān)于C選項，先證明一個不等式：e'≥x+ι,令y=e*7-l,y=et-l,

于是x>o時y'>o,y遞增；XVO時V<o,y遞減；

所以X=O時，y有極小值，也是最小值e°-0-l=0,

于是y=e*-x-l≥O,當(dāng)且僅當(dāng)X=O取得等號，

由e*≥x+l,當(dāng)X>-1時，同時取對數(shù)可得，x≥ln(x+l),

再用x-l替換X,得到X-INlnX,當(dāng)且僅當(dāng)X=I取得等號,

由于?！礪?+1〉1,得到e”>8+l,InaVa-1,\>1>——,即"十1Vf—,

Inaea-??na

C選項正確.

故選：C.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)α,bf。滿足αc=/,且Q+。+C=In(。+匕)，則

()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【詳解】設(shè)F(X)=InX—x+1,則/")=：一I=9，

當(dāng)x∈(0,l)時，/^x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)X?1,用)時，Γ(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

.?∕(x)≤∕(l)=O,即InX≤工-1,

所以In(I+6)≤o+b-1,所以α+8+c≤α+Z?—1,BPc≤-l,

又ac-Ir>O,所以cι<O,由〃+/?>O,所以。>—ci>O,

所以房>/,即a。a/,所以c<〃，所以c<αQ.

故選：A.

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))若正實數(shù)〃，〃滿足lnα+ln/≥2o+?^-2,則()

2

A.a+2b=V2H—B.ci~2b=—2??∕2

42

C.a>b1D.h2—4a<0

【答案】B

到各不等式取等號的條件，解得。力的值，然后逐一檢驗即可做出正確判斷.

【詳解】先證明熟知的結(jié)論：X-INInX恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)X=I時取等號.

設(shè)〃x)=x—l—Inx,則尸(X)=I-I

在(0,1)上，r(x)<0j(x)單調(diào)遞減;在(1,+8)上，r(x)>0j(x)單調(diào)遞增.

故S,="I)T一>°=°，

/(x)=x-lNInX恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號.

由2ɑ+2-2≥2J2ɑxd-2=2

Nab2-l)≥21n?∣ab2=In?+Ini>2,

2V2

方2

由已知In4+In從≤2〃+-----2,

2

b2

2〃=—

.,.?na+?nh2=2a-?------2,且＜2,

?∣ab2=1

'?

解得「,

?=√2

經(jīng)檢驗只有B正確，

故選：B.

8.（2023,四川南充?四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知成等比數(shù)列，且

aλ+a2+a3+a4=ln(01+02+?).若4>1,則

A.ax<a3,a2<a4B.cιl>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.>a3,a2>a4

【答案】B

【詳解】令/(X)=XTnXT則/(X)=I-L,令/'(X)=O,得x=l,所以當(dāng)x>l時，Γ(x)>0,

X

當(dāng)0<xvl時，f,(x)<O,因此/(x)≥∕(l)=O,.?.XNlnx+l,

若公比4>0,則q+%+/+%>4+/+%>ln(q+出+%)，不合題意；

若公比q≤τ,則α]+α2+α3+α4=4(i+q)(i+q2)≤0,

ΠΛ2

但ln(q+a2+a3)=1[I(1+^+^)]>Inax>O,

即4+4+為+%≤0<ln(4+42+α3),不合題意;

因此一1<4<0國2∈(0,l),

22

/.a]>a]q=a3,a2<a2q=?<O,選B.

二、填空題

9.(2022春?廣東佛山?高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)?？计谥?已知對任意X,都有

xe2x-ax-x≥?+?nx,則實數(shù)Q的取值范圍是.

【答案】(-∞,1]

【詳解】根據(jù)題意可知，x>0,

由x?e”-aX-X≥1+inx,n?^≤e2x-???+?_?(x>(Y)恒成立，

令"x)=e2，一生等一1，則α≤∕(①,,

現(xiàn)證明e`≥x+1恒成立,設(shè)g(x)=e'-x—1,

g'(x)=e'-1,當(dāng)/(x)=0時，解得：x=0,

當(dāng)％VO時,gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0時，g'(χ)<0,g(x)單調(diào)遞增，故X=O時，函數(shù)g(x)取得最小值，g(0)=0,

所以g(x)≥g(0)=0,即產(chǎn)7-拈0<=>6一1+1恒成立，

_/X2*Inx÷1X?c~x—In%—1?

/(x)=∕x--------------1=----------------------],

X