專題突破練20直線與圓

一,單項選擇題

1.（2021.全國甲,文5）點（3,0）到雙曲線a一方=1的一條漸近線的距離為（）

2.（2021?湖南湘潭模擬）已知半徑為千>0）的圓被直線y=-2x和y=-2x+5所截得的弦長均為2,則r的

值為（）

5

A.4-B.√2

C.∣D.√3

3.（2021?北京清華附中月考）已知點P與點（3,4）的距離不大于1,則點P到直線3x+4y+5=0的距離的

最小值為（）

A.4B.5

C.6D.7

2222

4.（2021?江西鷹潭一中月考）已知點MN分別在圓C∣I（X-1）+（>>-2）=9與圓C2：U-2）+（y-8）=64上,則

IMNl的最大值為（）

A.√7+lIB.17

C.√37+llD.15

5.（2021?湖北黃岡中學(xué)三模）已知直線∕sx+y+√5,"-l=0與圓％2+γ2=4交于A,B兩點,過A,B分別作/

的垂線與X軸交于CQ兩點,若∣4B∣=2,則∣CD∣=（）

C.2√3D.4

6.（2021.重慶八中月考）己知圓Cx2+γ2-4x-2y+l=0及直線/:y=H-k+2（&CR）,設(shè)直線/與圓C相交所得

的最長弦為MN,最短弦為P。,則四邊形PMQN的面積為（）

A.4√2B.2√2

C.8D.8√2

7.（2021?山西臨汾適應(yīng)性訓(xùn)練）直線x+y+4=0分別與X軸、y軸交于A,8兩點,點P在圓（Λ>4）2+）?2=2

上,則AABP面積的取值范圍是（）

A.∣8,12]

B.[8√2,12√2]

C.fl2,201

D.[12√2,20√2]

8.(2021?山東青島三模)己知直線/:3x+，町，+3=0,曲線Cf+)2+4x+2,町，+5=0,則下列說法正確的是

()

是曲線C表示圓的充要條件

B.當(dāng)"i=3√I時,直線/與曲線C表示的圓相交所得的弦長為1

C.",〃=-3”是直線/與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件

D.當(dāng)m=-2時,曲線C與圓W+V=I有兩個公共點

9.(2021?河北邢臺模擬)已知圓O2)2+(y-l)2=l,圓M(X+2)2+(J+1)2=1,則下列不是MN兩圓公切線

的直線方程為()

A.y=OB.4x-3y=0

C?x-2y+V5=0D,x+2γ-√5=0

二、多項選擇題

10.(2021?廣東潮州二模)已知圓Cx2-2ar+γ2+Gl=O與圓。:/+/=4有且僅有兩條公共切線,則實數(shù),

的取值可以是()

A.-3B.3

C.2D.-2

22z

1L(2O21?海南三亞模擬)已知圓OKX+V-2X-3=0和圓O2,X+y-2y-l^0的交點為A,B,則(

A.圓01和圓。2有兩條公切線

B.直線AB的方程為x-y+l=O

C.圓。2上存在兩點P和。,使得∣PQI>∣AB∣

D.圓Oi上的點到直線AB的最大距離為2+魚

三、填空題

12.(2021?遼寧營口期末)若直線hy=fcr+4與直線b關(guān)于點M(l,2)對稱,則當(dāng)/2經(jīng)過點M。,」)時,點M

到直線I2的距離為.

13.(2021?山東濱州檢測)已知圓Ml+y2-12Λ-14y+60=0,圓N與X軸相切,與圓M外切,且圓心N在直

線x=6上,則圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

14.(2021?山東煙臺二模)已知兩條直線/i：y=2x+〃?,/2：y=2x+〃與圓C:(x-l)2+(y-l)2=4交于A,B,C,D四

點,且構(gòu)成正方形ABCD,則依-川的值為.

15.(2021?河北滄州模擬)已知圓。:/+)2-44-+2〃?.丫+1=0(〃]>0),直線l?y-kx+m與直線x+V3y+l=0垂直,

則k=,直線/與圓C的位置關(guān)系為.

專題突破練20直線與圓

1.A解析由題意,雙曲線的一條漸近線方程為y=%,即3x-4y=0,點(3,0)到該漸近線的距

離為∣jx3-4xθI=卷故選A.

j32+(-4)25

2.C解析直線y=-2x和y=-2x+5截圓所得弦長相等,且兩直線平行,則圓心到兩條直線

的距離相等且為兩條平行直線間距離的一半,故圓心到直線y=-2x的距離d=^x搞=

空,23/2=2Jr2-5=2,解得r=∣.

3.B解析設(shè)點P(x,j),IJl1J(%-3)2+(y-4)2≤1,

圓心(3,4)到3x+4y+5=0的距離為介等+4x4$$,

22

y∣3+4

則點P到直線3x+4y+5=0的距離的最小值為6-1=5.

4.C解析依題意,圓G:(X-I)2+(y-2)2=9,圓心G(l,2),半徑r∣=3.

圓C?(x-2)2+(y-8)2=64,圓心C2(2,8),半徑9=8,

故IMNlmaX=IGC2∣+r∣+卷=商+11.

5.B解析直線過定點(-√5,1),該點在圓上.圓半徑為r=2,且IABl=2,所以AOAB是等邊三

角形,圓心O到直線AB的距離為嘏所以粵*=√3,m=-?

√l+m23

直線斜率為攵=-，W=景傾斜角為θ=^?,

36

所以|C。I=嗎=WT=尊.

cosθCOS?3

O

6.A解析將圓C的方程整理為(x-2)2+S-l)2=4,則圓心C(2,l),半徑r=2.

將直線/的方程整理為y=Z(x-l)+2,則直線/恒過定點(1,2),且(1,2)在圓C內(nèi).

最長弦MN為過(1,2)的圓的直徑,貝IlMNl=4,

最短弦PQ為過(1,2),且與最長弦MN垂直的弦，

：%MN=W'=-1,.：kpQ=1.

I-Z

直線PQ方程為y?2=x.l,即x-y+1=0.

圓心C到直線PQ的距離為d=邑券=√2,∣pρ∣=2√r^d2=2√4^2=2√2.

四邊形PMQN的面積S=^?MN?-?PQ?=^×4×2√2=4√2.

7.C解析直線x+y+4=0分別與X軸、y軸交于A,B兩點4(-4,0入3(0,-4),故IABl=4√Σ

設(shè)圓心(4,0)到直線x+y+4=0的距離為4則J=l4t2±4l=4√2.

V14^1

設(shè)點尸到直線x+γ+4=0的距離為〃,故Amax=J+r=4V2+V2=5V2,∕zmin=J-r=4V2—

√2=3√Σ,故/2的取值范圍為[3√2,5√2],即bABP的高的取值范圍是[3√2,5√2],

又AABP的面積為AR九所以AABP面積的取值范圍為[12,20].

8.C解析對于A,曲線Cκ2+y2+4χ+2my+5=0整理為(x+2)2+(y+m)2="z2-l,曲線C要表

示圓,則機2_1>o,解得m<-l或機>1,所以"機>1”是曲線C表示圓的充分不必要條件,故A

錯誤；

對于B,"2=3H時,直線//+■+1=0,曲線C(x+2)2+(γ+3√3)2=26,

圓心到直線/的距離d=反當(dāng)空空4=5,所以弦長=2√?中=2體多=2,故B錯

誤；

對于C,若直線I與圓相切,圓心到直線I的距離H[m2+3∣=JE,解得加=±3,

√9+m2

所以“〃2=-3"是直線/與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件,C正確；

對于D,當(dāng)m=-2時,曲線C(x+2)2+(y-2)2=3,其圓心坐標(biāo)為(-2,2),r=遮,曲線C與圓

x2+y2=?兩圓圓心距離為J(-2-0)2+(2-O)2=2√Σ>√5+1,故兩圓相離,不會有兩個公共

點,D錯誤.

9.D解析由題意,圓Mr(x-2)2+(jy-l)2=l的圓心坐標(biāo)為M(2,l),半徑為n=l,ffl

N:(X+2)2+(y+1)2=1的圓心坐標(biāo)為M-2,-1),半徑為Γ2=l.

如圖所示,兩圓相離,有四條公切線.

兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點。對稱,則有兩條切線過原點O,

設(shè)切線/:>=3則圓心M到直線/的距離為咨工=1,

解得k=Q或k=^.

故此時切線方程為y=0或4x-3y=0.

另兩條切線與直線MN平行且相距為1,又由加叱產(chǎn)權(quán)

設(shè)切線匕y=%+A則詣=1,解得b=±^?,

此時切線方程為x-2γ+V5=0或x-2y-y[S=0.

結(jié)合選項,可得D不正確.

IOCD解析圓C方程可化為(X-α)2+y2=l,則圓心C(α,0),半徑n=1;

由圓。方程知圓心O(0,0),半徑Γ2=2.

因為圓C與圓。有且僅有兩條公切線,所以兩圓相交.

又兩圓圓心距d=∣磯有2-l<∣α∣<2+l,即l<∣α∣<3,

解得-3<α<-l或1<?<3.

觀察4個選項,可知C,D兩項中的。的取值滿足題意.

U.ABD解析對于A,因為兩個圓相交,所以有兩條公切線,故A正確；

對于B,將兩圓方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程為x-y+l=O,故B正

確；

對于C,直線AB經(jīng)過圓。2的圓心(0,1),所以線段AB是圓。2的直徑,故圓。2中不存

在比AB長的弦,故C錯誤；

對于D,圓Oi的圓心坐標(biāo)為(L0),半徑為2,圓心到直線AB*y+l=O的距離為啜=

√2,

所以圓Oi上的點到直線AB的最大距離為2+√Σ,D正確.

12.√5解析因為直線Ay=日+4恒過定點P(0,4),所以P(0,4)關(guān)于點M(l,2)對稱,所以

P(0,4)關(guān)于點M(1,2)的對稱點為(2,0),此時(2,0)和N(O,-1)都在直線上上,可得直線/2的方

程瑞=慈即∕2y-2=0,所以點M到直線/2的距離為介需=√5.

13.(X-6)2+(J-1)2=1解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(*6)2+67)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.

由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,yo).

因為圓N與X軸相切,與圓M外切，

于是圓N的半徑為加從而7-yo=5+yo,解得yo=l.

因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為O6)2+(y-l)2=l.

14.2√10解析由題設(shè)知力〃/2,要使A,8,C,。四點構(gòu)成正方形ABCO,正方形的邊長等于

直線/1,/2之間的距離d,則Q=罕.

√5

若圓的半徑為r,由正方形的性質(zhì)知J=√2r=2√2,

故甯=2√Σ,即有依-川=2√IU.

15.V3相離解析X2+)2?44+2次〉+1=0,即(1?2)2+3+m)2=加2+3,圓心C(2,?∕n),半徑

r=Vm2+3,

因為直線/:尸"+“與直線x+V3γ+l=0垂直,所以k?(-專)=-1，解得k=足.

直線/:)，=岳+機因為，心0,所以圓心到直線/的距離仁曄空皿=√3+w.

因為，=〃22+2遍〃2+3〉m2+3=戶,所以所以直線/與圓C的位置關(guān)系是相離.

專題突破練21圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)

一'單項選擇題

L（2021?湖北華中師大一附中月考）已知拋物線尸Hx2（m>0）上的點（XO,2）到該拋物線焦點廠的距離為

則m的值為（）

O

A.lB.2e?D.7

24

2.（2021?四川成都七中月考）雙曲線≡∣-4=l（α,b>O）的一條漸近線方程為x%=0,則其離心率為（）

ab

A.√3B.yC.√5D.y

3.（2021.新高考/,5）已知Q,&是橢圓若+?=1的兩個焦點,點M在C上,則Igl?∣MF2I的最大值

為（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021?貴州貴陽期末）過拋物線y2=4x的焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,若AB的中點的縱坐標(biāo)

為2,則IABl等于（）

A.4B.6C.8D.10

5.（2021?廣東佛山二模）已知雙曲線c/-A=Im>0力>0）的離心率等于2戶,B分別是雙曲線的左、

右焦點,A為雙曲線的右頂點,P在雙曲線的漸近線上且PFlJ_尸3,若的面積為34,則雙曲線的

虛軸長等于（）

A.√3B,2C.2√3D.4

二,多項選擇題

6.（2021?江蘇南通適應(yīng)性聯(lián)考）已知RtAABC中有一個內(nèi)角為*如果雙曲線E以4,8為焦點,并經(jīng)過點

C,則該雙曲線的離心率可能是（）

A.√3+lB.2C.√3D.2+√3

7.（2021?廣東佛山模擬）己知雙曲線C9x2-16y2=144的左、右焦點分別為BF2,點P為C上的一點,且

IPQl=6,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線的離心率為母

B.雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0

CnPFiB的周長為30

D.點P在橢圓蓋+會=1上

8.（2021?重慶調(diào)研）如圖所示,用一束與平面α成60°角的平行光線照射半徑為√5的球O,在平面α上

形成的投影為橢圓C及其內(nèi)部,則橢圓C的（）

A.長軸長為3B.離心率為2

C.焦距為2D.面積為3π

9.（2021.山東青島三模）已知曲線C:<+也=1,Q,B分別為曲線C的左、右焦點,則下列說法正確的是

ym

（）

A.若,〃=一3,則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為科

B.若曲線C的離心率e=2,貝IJm=-21

C.若機=3,則曲線C上不存在點P,使得NQPF2三

D.若m=3,P為C上一個動點,則APRB面積的最大值為3√Σ

三、填空題

10.（2021?江蘇南通一模）己知拋物線C:），=#上的點例到焦點的距離為5,則點M到），軸的距離

為.

22

11.（2021?湖北十五中學(xué)聯(lián)考體聯(lián)考■+尹1的焦點為F∣,B,點尸在橢圓上,若IPQI=4,則∕F∣P3的

大小為.

12.（2021?湖南懷化模擬）已知橢圓磋+A=13>b>°）的左、右焦點分別為人,尸2,過坐標(biāo)原點的直線

交E于P,。兩點,且PBJ?BQ,且SAPFZQ=聚,|尸尸2|+|&。|=4,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

13.（2021?北京昌平二模）已知拋物線C:）?=4X與橢圓陷+?=l（a>Z>>0）有一個公共焦點廠,則點尸的

坐標(biāo)是;若拋物線的準(zhǔn)線與橢圓交于A,B兩點,0是坐標(biāo)原點,且AAOB是直角三角形,則橢

圓D的離心率e=.

14.（2021?福建廈門外國語學(xué)校月考）點P在橢圓G[+[=1±,C∣的右焦點為E點Q在圓

C2：f+y2+6x-8y+21=0上,則IPQi-IPFl的最小值為.

專題突破練21圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)

1.B解析由題意,知拋物線y=",("z>O)的準(zhǔn)線方程為y=-J-,

4m

根據(jù)拋物線的定義,可得點(M),2)到焦點戶的距離等于到準(zhǔn)線y="-的距離,可得

2+左=W解得*2.

2.D解析因為最T=l(α>0力>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,所以

故M答4解得后■所以e岑

3.C解析由題意知IMBl+1MF?∣=2α=6,

則JlMFIHMF2∣≤∣M”∣MF2∣=3,

則IMB∣?∣MF2∣≤9,當(dāng)且僅當(dāng)∣MF∣I=IMF2∣=3時,等號成立.

故2|的最大值為9.

4.C解析拋物線y2=4χ的焦點坐標(biāo)為F(LO),準(zhǔn)線方程l?x--?.

設(shè)AB的中點為M過A,B,M作準(zhǔn)線/的垂線,垂足分別為CQ,N,則MN為梯形

ABDC的中位線,IABI=IAFI+1BFl=IACI+18。|=2∣MNI=2(xo+1).

直線AB過拋物線的焦點憶顯然直線AB的斜率存在且不為0,可設(shè)直線AB的方程

為x=my+l(m為常數(shù))，

代入拋物線的方程,消去X并整理,得產(chǎn)4加)，-4=0.

設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為yι∕2,線段AB的中點M(Xo,yo),則>0=匕^^=2〃?=2,解得加=L

直線AB的方程為X=y+l∕o=yo+l=2+1=3,∣A8∣=2x(3+l)=8.

5.D解析如圖,雙曲線。:馬一馬=13>0力>0)的離心率等于2,e=?s=2,①

CLΔbQ

設(shè)FIF2分別是雙曲線的左、右焦點,雙曲線在第一、三象限的漸近線的斜率為T=

=K,②

A為雙曲線的右頂點,P在雙曲線的漸近線上,且PFil.PF2,

所以P(a,b),APAFi的面積為34,可得,(α+c)?∕2=3α,③

解①②③,可得力=2,所以C的虛軸長等于4.

√3

6.ACD解析當(dāng)NCq時,e=￡^=?=√3;

1-2

當(dāng)ZB=-?e-AB=/一=√3+P

ms3J'*AC-BC√31v3

T'2

1

當(dāng)NA=E時,e=^^=-?-=√3+2.

5∕1C~oC【Vo

IT

7?bcd解析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程噓-￡。=4力=3,則c=5,離心率e=K*A錯誤;

漸近線方程為*±玄=0,即3x±4j=0,B正確；

IPFlI=6<24=8,P在左支上,尸產(chǎn)2|=6+8=14公/7;11尸2的周長為30,C正確；

IPBl+∣Pb2∣=20,因此P在橢圓孺+*1(此橢圓是以RA為焦點,長軸長為20的

橢圓)上,D正確.

由題意知,二。=橢圓長軸

8.BC解析08,4?,088,/a160°,04=—^7]=§=2,C

SinZ-BAO√3

~2

長2α=2OA=4,A錯誤；

橢圓C的短軸長為球。的直徑,即2?=2√3,?=√3,

c=λ∕α2-∕j2=√4-3=l,橢圓C的焦距為2c=2,C正確;

橢圓C的離心率e=[=.B正確;

由圖可知:橢圓C的面積大于球。大圓的面積,又球。大圓的面積S=3τι,故橢圓C

的面積大于3無,D錯誤.

9.ABD解析對于A選項,當(dāng)m=-2>時,曲線若Y=I表示焦點在X軸上的雙曲線,漸

近線方程為產(chǎn)土祟,故漸近線的傾斜角分別為3?1,所以曲線C的兩條漸近線所成的銳

?OO

角為與故A選項正確；

對于B選項,離心率e=2,貝U曲線C為焦點在X軸上的雙曲線,α=3,e=2,故c=6,所以-

m=c2p2=36-9=27,所以機=-27,故B選項正確；

對于C選項,若機=3,則曲線C看+『=1表示焦點在X軸上的橢圓,此時

a2=9,b2=3,C2=6.

設(shè)橢圓C的短軸的一個頂點坐標(biāo)為Mo,國),則CoSNnMb2=之蝶竺=M3<0,

故NTWE2為鈍角,所以曲線C上存在點P,使得NBPBq,故C選項錯誤；

對于D選項,若〃?=3,則曲線C：y+y=l表示焦點在X軸上的橢圓,此時

02=9/2=3,C?=6,P為C上一個動點,則aPFι∕72面積的最大值為Smax=I×2c×h-^×2√6X

V3=3V2,?D選項正確.

10.2√6解析拋物線C的方程可化為x2=8y.

設(shè)M(xo,yo),因為點M到焦點的距離為5,所以點M到準(zhǔn)線y=-2的距離為5,

從而yo=3.將γo=3代入Λ2=8y,可得IXOI=2傷，

所以點M到y(tǒng)軸的距離為2n.

11.?解析由橢圓卷+卷=1可得α=3,∕j=√∑,c=√7.

根據(jù)橢圓定義得IPFll+1PEI=2α=6,尸匹1=2c=2√7,所以4+1PBI=2α=6,解得

IPBI=2.

在中,由余弦定理得=第T

所以N乃PF12號.

12.?+?=1解析如圖所示,連接PB,QB,因為OP=OQ,0F?=0F2,

4Z

所以四邊形PnQE2是平行四邊形,所以PFx=QFi,PFi=QFx,

又因為PE2，尸2。,所以平行四邊形PBQF2是矩形.

‘τn+幾=20=4,

222解得a=2,

設(shè)PF1=,%PF2=〃,由題意得＜m+n=4c,

11c二√2,

?mn=-α2z,

?Zz

則b2=cr-c2=2,^iE的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+1=L

13.(1,0)孚解析由拋物線的方程,得其焦點坐標(biāo)為(1,0),

所以拋物線C與橢圓。的公共焦點為F(l,0),

且拋物線準(zhǔn)線方程為x=-l,橢圓左焦點為(-1,0),

聯(lián)立x=-c與橢圓等+4=1,可得∣ya∣=∣yB∣=t,

CL^hCL

2

因為AAOB是直角三角形,所以J=。,即b1=ac.

又。2=42_02,所以q2.c2=ac,

左、右同除以標(biāo),可得e2+e∕=o,解得e=芍匹，

又e∈(O,l),所以橢圓。的離心率e=竽.

14.2√5-6解析記橢圓G:[+<=1的左焦點為E(-1,O),

4?

由橢圓的定義可得,∣PE∣+∣Pb∣=2α=4,

所以IPQHPFl=IPQ+∣PE卜4.

由χ2+V+6χ-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,

即圓C2的圓心為(-3,4)泮徑為r=2,作出圖形如下：

X

由圓的性質(zhì)可得,∣PQ∣2∣PC2卜尸=∣PC2卜2,

?PQ?-?PF?=?PQ?+?PE?-4^?PC2?+?PE?-6^?EC2?-6=(-31)2+42-6=2√5-6(當(dāng)且僅

當(dāng)Q,Q,P,E四點共線時,等號成立）.

專題突破練22圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題

l.(2021?河北唐山一模)已知拋物線Ef=4y,點P(l,-2),斜率為Z(Qo)的直線/過點P,與E相交于不同

的兩點A,B.

(1)求Z的取值范圍；

(2)斜率為/的直線m過點P,與E相交于不同的點CQ,證明:直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三

角形.

2.(2021?山東濰坊三模)設(shè)拋物線CΛ2=2Q0>0)的焦點為F點P(W,2)(m>0)在拋物線C上,且滿足

IPFl=3.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點G(0,4)的直線/與拋物線C交于A,B兩點,分別以4,B為切點的拋物線C的兩條切線交于點

。,求APQG周長的最小值.

3.(2021?廣東深圳一模)設(shè)。是坐標(biāo)原點,以F/為焦點的橢圓C:各，=l(a>8>0)的長軸長為2√Σ,

以IFlBl為直徑的圓和C恰好有兩個交點.

(1)求C的方程；

(2)P是C外的一點,過P的直線//均與C相切,且∕∣,∕2的斜率之積為，〃(-1≤m≤J),記〃為IPol的

最小值,求"的取值范圍.

4.(2021?北京通州一模)已知橢圓4+A=l(4>6>0)的短軸長為2,離心率為當(dāng).

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上一點,且在第一象限內(nèi),過P作直線交y軸正半軸于A點,交X軸負半軸于B點,與

橢圓C的另一個交點為E,且PA=AB,點0是P關(guān)于X軸的對稱點,直線QA與橢圓C的另一個交點

為F.

①證明:直線AQ,AP的斜率之比為定值；

②求直線EF的斜率的最小值.

5.(2021.河北唐山三模)在平面直角坐標(biāo)系XO)，中√4(-l,O),8(1,0),C為動點,設(shè)AABC的內(nèi)切圓分別與邊

ACBCAB相切于P,Q,R,且ICPI=I,記點C的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)不過原點。的直線/與曲線E交于M,N,且直線y=-%經(jīng)過MN的中點T,求AOMN的面積的最大

值.

6.(2021?河南九師聯(lián)盟聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中,橢圓+,=l(α>∕>>O)的離心率為苧,短軸的

一個端點的坐標(biāo)為(0,-1).

(1)求橢圓C的方程；

⑵點P為橢圓C的右焦點,過橢圓C上一點A(XI,y∣)(x∣yι≠O)的直線hx∣x+2yιy=2與直線L：x=2交于

點P,直線AF交橢圓C于另一點B,設(shè)A8與OP交于點。.證明：

①NA尸P];

②β為線段AB的中點.

專題突破練22圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題

1.(1)解由題意設(shè)/的方程為y+2=k(x-↑),

與χ2=4y聯(lián)立得,f-4fct+4攵+8=0.

由J>0得F-h2>0,即Z<-l或k>2.

又女>0,所以火的取值范圍是(2,+∞).

(2)證明設(shè)Aα1,y∣),B(x2,y2),C(χ3,y3),Z)(χ4,y4),由⑴可得XI+X2=4A.

由題意設(shè)m的方程為y+2=火X-I),與Λ2=4y聯(lián)立得爐+4區(qū)-4女+8=0,得X3+x4=-4-k.

MC=E=?L=中洞理ABD沖,

χ

×3-l4(X3-XI)44

因為kAC+kBD=xi+x2↑x3+x4=0,

所以直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.

2.解⑴由拋物線定義,得IPFl=2+棄3,得p=2,

故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.

(2)設(shè)A(Xl,y∣),8(*2,*),直線/的方程為y=kx+4,

聯(lián)立P^2+4'消去X,得f-4日-16=0,

U=4y,

Δ>0,xι+x2=4k^c↑X2=-16.

設(shè)A,B處的切線斜率分別為%危,則h=^-,k2=^,

2

在點A處的切線方程為y-y?=^-(x-xι),即y=乎-今,①

ZZ4,

2

同理,在點B處的切線方程為產(chǎn)等②

2

由①②得光Q=空電=2匕代入①或②中可得)'Q=bci-2=yi-4-yi=-4,故Q(2k,-4),即點Q

Z4

在定直線y=-4上.

設(shè)點G關(guān)于直線產(chǎn)-4的對稱點為G；則G(0,-12),由⑴知P(2√2,2),

:1PQ+IG。I=IPQ+1GQelGF∣=2√∏,即P,。,G'三點共線時等號成立，

；.?PQG周長的最小值為IGP∣+1G了|=2√∏+2√3.

3.解⑴由題意可得2α=2V∑,故α=V2.

因為以尸|人|為直徑的圓和C恰好有兩個交點,則b=c,

+￠2=2/=/=2,可得b=c=l,因此橢圓C1的方程為^+y2=l.

(2)由題意可知,直線/1,/2的斜率存在且不為零，

設(shè)過點P(XO,yo)的切線l:y-yo=k(x-xo),

'y-y0=K×-χ0),

2

聯(lián)立"2=1,消去y可得(23+1)x2+4k(yo-kxo)x+2(yo-kxo)-2=0,

由于直線/與橢圓C相切,則/=16Rso依o)2-4(2F+l)[2(yHlro)2-2]=O,化簡并整理得

(JO-AXO)2=2?2+1.

整理成關(guān)于k的二次方程得(就-2)F-2xoyoA+y衣-I=O(易知xo≠÷√2),

設(shè)直線/1,/2的斜率分別為h,kι,

易知Zι,%2為關(guān)于人的二次方程(歐-2)d-2χoyoA+羽-1=0的兩根，

y2_1

所以左必=當(dāng)==〃2,詔=根呼+l-2"z,所以,就+yo=(m+l)Xo+l-2m,

Xo-N

故IPOI=J巾+yo=√(m+l)?o+l-2m.

易知當(dāng)Xo=O時,有u=?P0?mm=y∕l-2τn.

因為-1W"zW-g,所以Λ∕Σ<u<V3,

即〃的取值范圍是［a,百］.

(2b=2,

4.⑴解由題意得］￡=彖解得W也，

a2Ib=L

(Q2=人2+￠2,

所以橢圓C的方程為擠+)2=1.

⑵①證明設(shè)P點的坐標(biāo)為(XOJ,0),

因為點。是Pao,yo)關(guān)于X軸的對稱點,PA=A民所以Q(Xo,再)4(0,10).

11

所以直線QA的斜率為依A=空出=學(xué),PA的斜率為M?=生出=3.

%0N%0XQN%O

所以轡=-3.所以直線A。,AP的斜率之比為定值.

kPA

②解設(shè)直線PA的方程為y=kx+m.

y=kx+m,?_CC.`

聯(lián)立方程組%2+2y2-2化筒得(1+2R)X2+4的U+2"Z2.2=0.

設(shè)E點的坐標(biāo)是(XI,yι),所以Xoxi

22

2m-2匕匕［、,2k(m-l)

所以幻二了際?所以

所以E點的坐標(biāo)是(2巾2;22k(mjl)+巾).

zz

?(l+2k)x0(l+2∕c)x0/

由①可知,直線QA的方程是y=-3hc+m.

所以萬點的坐標(biāo)是(2而號-6依嗎1)+前

?(l÷18r)x0(l+18√)x0/

?6k(m2_i)T—

所以直線所的斜率如?=α+呼)辮(乎BO=空

2TΠΔ-22m￡-24K

22

(1+18Y)XO(1+2Y)XO

11/1

6fe+1+>-×2J√26

因為QO,所以?=.,4--4vk-

當(dāng)且僅當(dāng)6心即女邛時刖有最小釁

所以直線所的斜率的最小值是當(dāng)

5解(I)依題意可知,∣CAl+∣C5∣=∣CP∣+∣CQ∣+∣AP∣+∣BQ∣=2∣CP∣+∣AB∣=4>∣45∣,所以曲線E

是以4,B為焦點,長軸長為4的橢圓(除去與X軸的交點),因此曲線E的方程為9+

?=K.y≠0).

(2)設(shè)Mal，￥),可(12,"),顯然直線/的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m(m≠0),

代入亍+.=1,整理得(4?2+3)x2+8fonx+4λn2-12=0,(*)

貝IJXl+&=.8誓j]X2=4yn.12所以+=%(χι+X2)+2∕n=-?-,

4fcz÷34√+34k'+3

故MN的中點T的坐標(biāo)為(坐二段二).

?fcz+34∕cz+3∕

而直線尸基經(jīng)過MN的中點T,得一竽一二J×-華",又用知,所以直線/的斜率k言.

24r+324∕C2+32

故(*)式可化簡為3x2+3mΛ+m2-3=0,

4∕.m2-3

故rXl+X2=-m,X↑X2=^-,

由J=36-3m2>0且∕7z≠0,得-2遮<根<2百且m≠0.

3632

又IMNl=√m?π-x2∣=孚×-3~=^x√I∑方,而點O到直線I的距離

z7.2∣m∣

則AOMN的面積5=∣XI=X??jX√12-m2=+I"?IX√12-m2≤?×

τn2+12-τn2_?^?

當(dāng)且僅當(dāng)機=上乃時,等號成立,此時滿足-2舊<〃2<26且〃/0,所以AOMN的面積的

最大值為次.

6.(1)解設(shè)橢圓C的半焦距為c,因為C的短軸的一個端點的坐標(biāo)為(0,-1),所以A=I,所以

屋/=1.①

因為e=-=噂,所以α=V∑c.②

a2

由①②,得c=l,所以a=y[2,

所以橢圓C的方程為J+y2=l.

(2)證明①將x=2代入XIX+2yιy=2,得2xι+2γιy=2,

解得產(chǎn)宇,所以P(2,簧).

又F(I5O)5A(XiJi),

所以同=(Xl-I,yι),拜=(1,啖)，萬?方=XI-I+yι?守=0,所以必，F(xiàn)P,故N

ΛFP=^T.T

②由直線AB過焦點F(l,0),得直線AB的方程為(x∣-l)y=yι(x-l),代入/+2y2=2,并結(jié)

合好+2yf=2整理,得(3-2xι)y2+2(xι-l加y-資=0.

設(shè)B(X2,>2),貝IJ>1+*=-2；1；；必.

?-z??

設(shè)AB中點為H(X(),yo),則y)=，i：，2=_(：；”

z?-z??

xo=?÷3[-等斗1二獸,即Rm-/)，

y

y1y1L3-2x1J3-2x1?3-2x13-2x1/

所以流=百-(2,土迫)=毒-而

3-2x1?y1/3-2x1

即如與赤共線，

即AB的中點R在直線OP上,從而點R與Q重合，

故。是線段AB的中點.

專題突破練23圓錐曲線中的定點、定值、探索性問題

L(2021?重慶八中月考)已知橢圓CT+5=1的右焦點為F,過點M(4,0)的直線/交橢圓C于A,B兩

點,連接ARBF并延長分別與橢圓交于異于A,B的兩點PQ.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

⑵若而=2同,行=〃而,證明為定值.

2.(2021?河北張家口三模)已知拋物線CV=4px(p>0)的焦點為F,且點M(1,2)到點F的距離比至IJy軸

的距離大p.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/:尤加(γ+2)-5=0與拋物線C交于A,B兩點,問是否存在實數(shù)九使IMAHMBI=64√Σ?若存在,

求出m的值;若不存在,請說明理由.

3.(2021?江蘇南通適應(yīng)性聯(lián)考)已知雙曲線4-?=l(a＞O力＞0)的兩個焦點為尸陋,一條漸近線方程

為y=bxg∈N"),且雙曲線C經(jīng)過點D(√2,l).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)點P在直線x=m()乎土九0＜相＜1,且〃?是常數(shù))上,過點P作雙曲線C的兩條切線PA,PB,切點為

A,8,求證:直線AB過某一個定點.

4.(2021?山東濟南二模)已知橢圓。當(dāng)+察1(心匕＞0)的離心率為與,且經(jīng)過點”(-2,1).

aDN

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點P(-3,0)的直線(不與X軸重合)與橢圓C相交于A,B兩點,直線H4,HB分別交X軸于MN兩點,

點G(-2,0),若麗=亦或而=〃方,求證」+工為定值.

5.(2021?廣東汕頭三模)已知圓CΛ2+(J-2)2=1與定直線/:y=-l,且動圓M與圓C外切并與直線/相切.

(1)求動圓圓心M的軌跡E的方程；

(2)已知點P是直線ky=-2上一個動點,過點P作軌跡E的兩條切線,切點分別為A,B.

①求證:直線AB過定點；

會證:NPCA=/PCA

6.(2021?北京東城一模)已知橢圓諄+3=im>b>0)過點。(-2,0),且焦距為2√5.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點4-4,0)的直線/(不與X軸重合)與橢圓C交于P,Q兩點,點7與點。關(guān)于X軸對稱,直線TP與

X軸交于點H,是否存在常數(shù)九使得∣A0?∣O∕∕∣=2(IAoHoHl)成立?若存在,求出Z的值;若不存在,說明

理由.

專題突破練23圓錐曲線中的定點、定值、探索性問題

1.(1)解由題意知直線/的斜率不為零,故設(shè)其方程為尤=(y+4,與橢圓方程聯(lián)立,消去X得

(3p+4)y2+24<y+36=0,∕=144(∕2-4)>0,解得t<-2或t>2.

故直線/的斜率Zq的取值范圍為(4,0)u(o,?).

⑵證明∕7(l,0),設(shè)A(XI,yι),8(X2,*),P(X3,”),。(%4,丁4),由⑴得6+?=號*/少2=愛果，

3

所以WU2=一翅+").

由兩=4成,得尸3_=產(chǎn)-1)，即產(chǎn)=λx1-λ-l,

(-丫3—1,匕丫3—1-

又點尸在橢圓上,即有3χf+4y2=12,

代入上式得3(2xι-A-1)2+4λ2yf=12,即λ2(3xl+4yl)-6λ(λ+1)ΛI+3(Λ+1)2=12,

又3*+4弁=12,所以12(2+1)(2-1)-6Λ(2+1)xι+3(2+1)2=0.

易知％+l≠0,故％=/—,同理可得μ=-^--.

?-z??5-Z%2

又(5-2xι)(5-2x2)=25-10(x∣+x2)+4%1x2

=25-10[r(>,ι+^2)+8]+4(∕>ι+4)(ty2+4)

所以=—~~~；=1-

2.解(1)由點M到點b的距離比到y(tǒng)軸的距離大p,

得點M到點尸的距離與到直線X=N的距離相等.

由拋物線的定義,可知點M在拋物線C上,所以4=4p,解得P=L

所以拋物線C的方程為)>2=4X.

(2)存在滿足題意的見其值為1或-3.

理由如下：

由I'~(4???Cn得y2-4my-8"2-20=0.

U-m(y+2)-5=0,

因為/=16川+4(8m+20)>0恒成立,所以直線/與拋物線C恒有兩個交點.

設(shè)A(XI,yI),8(x2,y2),則yι+>2=4/〃,y∣>2=-4(2/a+5).

+(yι-2)(*-2)

_州)2+：赳+5)_4(2加+5)一所+5

=0,

所以MALMB,即aMAB為直角三角形.

設(shè)d為點M到直線/的距離,所以IMAHMBl=IA8R∕=√1+τ∏2.[優(yōu)+yz^-^y-^2'

4===4-11+m??J16m2+16(2m+5)=16?11+/?z∣?(m+I)2+4=64-/2,

√l+m2\

所以(/〃+l)4+4("z+1)2-32=0,

解得(m+l)2=4或("z+l)2=-8(舍).

所以m=1或m=-3.

所以當(dāng)實數(shù)加=1或m=-3時MAHMBl=64√Σ

b=b

「1’解得a

3.(1)解由=1,

b=1,

故雙曲線方程為/-V=1.

(2)證明設(shè)A(XI,yι),B(x2j2),直線PA的斜率為k,P(m,yo).

則PAyyI=A(XM,聯(lián)立方程組f；)；王)'

消去可得x2-[Ax+(-Ax∣+γι)]2=l,

整理可?(l-A2)x2-2?(y∣-fccι)x-(yι-Axι)2-l=0.

因為PA與雙曲線相切，

所以Δ=4lc(y]-fccι)2+4(1-F)?(yι-fccι)2+4(1-Z~)=0,

整理得4(yι-Axi)2+4(1-?2)=0.

即k2xl-2kx?y?+yf+1-A2=O,

即(?i-1)?2-2fcr∣yι+(j?+1)=0,

因為好一衣=1,所以好-1=光,比+1=后代入可得比K-2xιy次+好=0,即(y∣Z-x∣)2=0,所

以k="

Vi

故PAyyi=Nx-Xi),即y?y=x?x-1.

y,ι

同理,切線PB的方程為y2y=x2x-l.

因為P(m,yo)在切線PAFB上,所以有｛；：；：::：：：；：

A,B滿足直線方程yoy=mx-L而兩點唯一確定一條直線,

故AB:yoy=nu-l,所以當(dāng)卜一加時,無論yo為何值,等式均成立.

Iy=O

故點，0)恒在直線AB上,故無論P在何處,AB恒過定點,0).

4.(1)解由題意知e=?=Jlf=,則。2=2戶.

又橢圓C經(jīng)過點//(2,1),所以芻+~2~??

ab

聯(lián)立解得標(biāo)=6,〃=3,所以橢圓C的方程為<+<=l?

O?

(2)證明設(shè)直線AB的方程為X=my-3,A(xι,yι),B(x2,y2),

,x=Tny-3,

?'X2y2聯(lián)立消去X,得(m2+2)/2.6"?y+3=0,

?+τ=1

,

所以/=36nr-12(〃P+2)>0,>1+第=^^2,γιp=m^,2由題意知W均不為1.

設(shè)M(XM,0),N(XM0),由H,M,A三點共線知詢與麗共線,所以XmXI=(小)(2x”),化簡

曰%i÷2y

何XM-----1.

由H,N,B三點共線洞理可得XN=罕X

由兩=4所,得(XM+3,0)=%(l,0),即λ=XM+3.

由麗=〃而,同理可得μ=XN+3.

所以工+工=_J__J_=]]=Bi,"=R,

+x+2+x+2,+3

λμXM+3XN+3ly↑,O2y210XrYi+3^2-)2(介1)當(dāng)

ι-yι十