高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)（四十五）變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例

一、選擇題

1.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為.『物+a,若a=5.4,則x每增加1個(gè)單位，y

就（)

X34567

y42.5-0.50.5-2

A.增加0.9個(gè)單位B.減少0.9個(gè)單位

C.增加1個(gè)單位D.減少1個(gè)單位

—1

解析：選B由題意可得x=￡（3+4+5+6+7）=5,

□

—1

y=7(4+2.5-0.5+0.5-2)=0.9,

o

???回歸方程為尸"+a,a=5.4,且回歸直線過(guò)點(diǎn)（5,0.9）,

.??0.9=56+5.4,解得6=—0.9,

每增加1個(gè)單位，y就減少0.9個(gè)單位.

2.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:

X123456

y021334

假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=6x+a,若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)

據(jù)（1,0）和（2,2）求得的直線方程為/=b'x+a',則以下結(jié)論正確的是（）

A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'

C,b<.b',a)a'D.Kb',虱a'

解析：選C過(guò)（1,0）和（2,2）的直線方程為y=2x—2,畫(huà)出六點(diǎn)的散點(diǎn)圖，回歸直線的

3.（2017?山東高考）為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）

的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相

八日—1010—

關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為y=6x+a,已知2＞，=225,工六=1600,人=4.該班某學(xué)生的

?=1/=!

腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為（）

A.160B.163

C.166D.170

解析：選C由題意可知y=4x+a,

又x=22.5,y=160,

因此160=22.5X4+a,解得a=70,

所以y=4x+70.

當(dāng)x=24時(shí)，y=4X24+70=166.

4.為了解高中生對(duì)電視臺(tái)某節(jié)目的態(tài)度，在某中學(xué)隨機(jī)調(diào)查了110名學(xué)生，得到如下

附表:

一（凡）如0.050.010.001

ko3.8416.63510.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“喜歡該節(jié)目與性別有關(guān)”

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“喜歡該節(jié)目與性別無(wú)關(guān)”

C.有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡該節(jié)目與性別有關(guān)”

D.有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡該節(jié)目與性別無(wú)關(guān)”

解析：選C根據(jù)*的值，對(duì)照附表可得網(wǎng)片》如比0.01,

所以有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡該節(jié)目與性別有關(guān)”.

5.某考察團(tuán)對(duì)10個(gè)城市的職工人均工資x（千元）與居民人均消費(fèi)y（千元）進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)

計(jì)，得出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為y=0.6x+L2.若某城市職工人均工資為

5千元，估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為（）

A.66%B.67%

C.79%D.84%

解析：選D與x具有線性相關(guān)關(guān)系，滿足回歸方程y=0.6x+1.2,

該城市居民人均工資為二=5,

.?.可以估計(jì)該城市的職工人均消費(fèi)水平y(tǒng)=0.6X5+1.2=4.2,

...可以估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為U=84%.

O

6.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)兒童記憶能力x和識(shí)圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù):

記憶能力X46810

識(shí)圖能力y3568

*4"

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為y=￡x+a,若某兒童的記憶能力為12,則他的識(shí)圖

□

能力為（）

A.7B.9.5

C.10D.12

4+6+8+10—3+5+6+811

解析：選B由表中數(shù)據(jù)得x=~~4—=7y=4二萬(wàn)'

__4-1

由（x,p）在直線夕=三才+8上，得a=-77?

o1U

-41

即線性回歸方程為尸凝一奇

□10

-41

當(dāng)x=12時(shí)，y=-X12——=9.5,即他的識(shí)圖能力為9.5.

□1U

二、填空題

7.（2018?阜陽(yáng)質(zhì)檢）某班主任對(duì)全班30名男生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表:

認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總計(jì)

喜歡玩電腦游戲12820

不喜歡玩電腦游戲2810

總計(jì)141630

該班主任據(jù)此推斷男生認(rèn)為作業(yè)多與喜歡玩電腦游戲有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率

不超過(guò).

解析：計(jì)算得*的觀測(cè)值kJ。:丁洎/286>3.841,

14XJ10XZUX1U

則推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.

答案：0.05

8.某品牌牛奶的廣告費(fèi)用/與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）4235

銷售額y（萬(wàn)元）49263954

根據(jù)上表可得回歸方程y=6x+a中的8為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售

額為萬(wàn)元.

4+2+34-57

解析：因?yàn)閤=4=5'

—49+26+39+54?

/=-------:-------=42

由題意可得回歸方程為y=9.4x+a,

因?yàn)榛貧w直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心（7,V）

所以42=9.4xg+a,解得a=9.1,

所以回歸方程為尸9.4x+9.1,

當(dāng)x=7時(shí)，銷售額為y=9.4X7+9.1=74.9（萬(wàn)元）.

答案：74.9

9.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程

和相關(guān)系數(shù)r,分別得到以下四個(gè)結(jié)論：

①y=2.347x-6.423,且「=一0.9284；

②y=-3.476x+5.648,且r=-0.9533；

③y=5.437x+8.493,且r=0.9830；

④y=-4.326x-4.578,且r=0.8997.

其中不正確的結(jié)論的序號(hào)是.

解析：對(duì)于①，尸2.347x—6.423,且「=一0.9284,

線性回歸方程符合正相關(guān)的特征，r>0,.?.①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，y=-3.476x+5.648,且尸=一0.9533,

線性回歸方程符合負(fù)相關(guān)的特征，r<0,.?.②正確；

對(duì)于③，y=5.437x+8.493,且r=0.9830,

線性回歸方程符合正相關(guān)的特征，r>0,...③正確；

對(duì)于④，y=-4.326x—4.578,且r=0.8997,

線性回歸方程符合負(fù)相關(guān)的特征，r<0,④錯(cuò)誤.

綜上，①④錯(cuò)誤.

答案：①④

三、解答題

10.（2018?惠州調(diào)研）在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中，參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)

之比為1：3,且成績(jī)分布在[40,100],分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng).按文、理科用分

層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求a的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表）;

（2）填寫(xiě)下面的2義2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能否認(rèn)為“獲

獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”.

文科生理科生總計(jì)

獲獎(jiǎng)5

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)200

附表及公式:

P(秣》睛0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

__________〃ad-be2

/=

a+bc+da+cb+d'

解：(1)a=,X[1-(0.01+0.015+0.03+0.015+0.005)X10]=0.025,

~=45X0.1+55X0.15+65X0.25+75X0.3+85X0.15+95X0.05=69.

(2)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為40,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為160,2X2列聯(lián)表如

下：

文科生理科生總計(jì)

獲獎(jiǎng)53540

不獲獎(jiǎng)45115160

總計(jì)50150200

,200X5X115-35X45?,八、八

因?yàn)?0X160X50X150?4.167>3.841,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”.

11.某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析

研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)

芽數(shù)，得到如下資料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

溫差x(℃)101113128

發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸方

程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；

(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)

據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程y=6x+a；

(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)2顆，則認(rèn)為

得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)(2)中所得的線性回歸方程是否可靠？

(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(M,%)，(加，㈤，…，(*〃，%),其回歸直線y=6x+a的斜率和

截距的最小二乘估計(jì)分別為

工x,y：-nxy

C7=1cc

b—---------------,a=y—bx.)

n__

十22

工XLnx

2=1

解：(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件4因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情

4

況，每種情況是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況共有4種，所以夕(a=1一訶

=于故選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率為三.

55

——1

(2)由數(shù)據(jù),求得x=$X(11+13+12)=12,

O

一1

y=-X(25+30+26)=27,

3

ZM%=11X25+13X30+12X26=977,

；=i

X^=U2+132+122=434,

/=1

3__

2必必一3X?y

,=1977-3X12X275

所“b=j-=434-3X12-=2'

-5

a=27--X12=-3.

-5

所以回歸直線方程為3.

(3)當(dāng)x=10時(shí)，y=22,|22—23|〈2,同理當(dāng)x=8時(shí)，y=17,|17-16|<2.

所以該研究得到的線性回歸方程是可靠的.

［能力自選題|

某公司為了準(zhǔn)確把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過(guò)去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第

x年與年銷量y(單位：萬(wàn)件)之間的關(guān)系如表所示:

(1)在圖中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)根據(jù)(1)中的散點(diǎn)圖擬合y與x的回歸模型，并用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;

(3)建立y關(guān)于x的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為多少？

參考數(shù)據(jù):

參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程了=@+左中斜

率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為

ZX,—xy-yZ為外一“xy

c7=1/-Ic4

b=-----------------=---------,a=y—bx.

nn

E-22-2