-2023學(xué)年貴州省貴陽市南明區(qū)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）﹣2的相反數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（3分）如圖所示的圓柱，它的俯視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，直線a、b被直線c所截，a∥b，∠1＝35°，則∠2的大小為（）A．35° B．125° C．145° D．155°4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+bx+2＝0的一個(gè)根為x＝1，則實(shí)數(shù)b的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．（3分）已知點(diǎn)A（2，m），B（5，n）在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．無法確定7．（3分）2023年3月30日上午，第十屆中國網(wǎng)絡(luò)視聽大會(huì)在成都開幕．大會(huì)以“新征程，再出發(fā)”為主題，會(huì)上正式發(fā)布《2023中國網(wǎng)絡(luò)視聽發(fā)展研究報(bào)告》．根據(jù)《報(bào)告》，截止2022年12月，我國網(wǎng)絡(luò)視聽用戶規(guī)模達(dá)10.4億，超過即時(shí)通訊（10.38億），成為第一大互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用．其中“10.4億”用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A．1.04×108 B．0.104×109 C．1.04×109 D．0.104×10108．（3分）如圖，小亮家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，他想檢測(cè)門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測(cè)量門的邊AB和BC的長(zhǎng)，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷∠B是否為直角，這樣做的依據(jù)是（）A．勾股定理 B．三角形內(nèi)角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的兩銳角互余9．（3分）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝60°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（）A．4 B．2 C．2 D．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）計(jì)算：＝．12．（3分）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．13．（3分）4件外觀相同的產(chǎn)品中有2件不合格，現(xiàn)從中一次抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的概率是．14．（3分）如圖，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，則ED2+FD2＝．15．（3分）如圖是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點(diǎn)C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對(duì)折，點(diǎn)B落在⊙O上的點(diǎn)D處（不與點(diǎn)A重合），連接CB，CD，AD．設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E．若AD＝ED，則∠DAE＝度；的值等于．三．解答題（共7小題，滿分75分）16．（10分）計(jì)算：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；（2）．17．（9分）如圖，已知矩形ABCD，AB＞AD，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作AE的垂線交AE于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接BF，若AF＝AB，求證：BF平分∠GBE．為證明BF平分∠GBE，小明的思路是將其轉(zhuǎn)化成證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的定義使問題得到解決．（請(qǐng)根據(jù)小明的思路補(bǔ)全下面的證明過程）證明：四邊形ABCD是矩形，∴，∴∠ABF＝∠BFC．∵AB＝AF，∴，∴∠BFG＝∠BFC．∵，∴∠BGF＝90°．∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴．又∵，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴，∴BF平分∠GBE．18．（10分）某校為了豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球．其中籃球的單價(jià)比足球的單價(jià)多40元，用1500元購進(jìn)的籃球個(gè)數(shù)與900元購進(jìn)的足球個(gè)數(shù)相等．（1）籃球和足球的單價(jià)各是多少元？（2）該校打算用800元購買籃球和足球，恰好用完800元，問有哪幾種購買方案？19．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求線段CF的長(zhǎng)．20．（10分）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝1，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，求證：a＜﹣．21．（12分）如圖，點(diǎn)F是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，過F作FG∥BC，交CD于G，連接FC，H是FC的中點(diǎn)，過H作EH⊥FC交BD于點(diǎn)E．（1）連接EF，EA，求證：EF＝AE．（2）若，①若CD＝2，，求HE的長(zhǎng)；②連接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代數(shù)式表示）22．（14分）如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)A，將直線y＝x向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)B．（1）設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為b，試用只含有字母b的代數(shù)式表示k；（2）若OA＝3BC，求k的值．2022-2023學(xué)年貴州省貴陽市南明區(qū)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）﹣2的相反數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2，故選：A．2．（3分）如圖所示的圓柱，它的俯視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：豎直放置的圓柱體，從上面看圓，俯視圖是圓．故選：A．3．（3分）如圖，直線a、b被直線c所截，a∥b，∠1＝35°，則∠2的大小為（）A．35° B．125° C．145° D．155°【解答】解：如圖：∵a∥b，∠1＝35°，∴∠3＝∠1＝35°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故選：C．4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式2x+1＞3的解集為：x＞1，故選：B．5．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+bx+2＝0的一個(gè)根為x＝1，則實(shí)數(shù)b的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：由題意得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，解得：a＝﹣3，故選：D．6．（3分）已知點(diǎn)A（2，m），B（5，n）在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．無法確定【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x+1中k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，∵2＜5，∴m＜n，故C正確．故選：C．7．（3分）2023年3月30日上午，第十屆中國網(wǎng)絡(luò)視聽大會(huì)在成都開幕．大會(huì)以“新征程，再出發(fā)”為主題，會(huì)上正式發(fā)布《2023中國網(wǎng)絡(luò)視聽發(fā)展研究報(bào)告》．根據(jù)《報(bào)告》，截止2022年12月，我國網(wǎng)絡(luò)視聽用戶規(guī)模達(dá)10.4億，超過即時(shí)通訊（10.38億），成為第一大互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用．其中“10.4億”用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A．1.04×108 B．0.104×109 C．1.04×109 D．0.104×1010【解答】解：10.4億＝1040000000＝1.04×109，故選：C．8．（3分）如圖，小亮家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，他想檢測(cè)門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測(cè)量門的邊AB和BC的長(zhǎng)，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷∠B是否為直角，這樣做的依據(jù)是（）A．勾股定理 B．三角形內(nèi)角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的兩銳角互余【解答】解：若AB2+BC2＝AC2，則△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，故選：C．9．（3分）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖可知，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，把x＝1代入y＝﹣x+3，可得y＝2，故關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，故選：C．10．（3分）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝60°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（）A．4 B．2 C．2 D．【解答】解：由題意可知，OM＝2，點(diǎn)N在直線y＝﹣x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，把x＝2代入y＝﹣x得，y＝﹣，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣），∴ON＝＝．如答圖①所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn．∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC＝∠B0ABn，又∵AB0＝AO?tan60°，ABn＝AN?tan60°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan60°，∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan60°，∴B0Bn＝ON?tan60°＝×＝3．現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．如答圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP，ABi，B0Bi．∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，又∵AB0＝AO?tan60°，ABi＝AP?tan60°，∴AB0：AO＝ABi：AP，∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，∴點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長(zhǎng)度為3．故選：D．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）計(jì)算：＝﹣．【解答】解：＝＝．故答案為：．12．（3分）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≥﹣1且x≠2．【解答】解：根據(jù)題意得：x+1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1且x≠2．故答案為：x≥﹣1且x≠2．13．（3分）4件外觀相同的產(chǎn)品中有2件不合格，現(xiàn)從中一次抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的概率是．【解答】解：把2件合格產(chǎn)品記為A、B，2件不合格記為C、D，畫樹狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的有8個(gè)，∴抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的概率為＝，故答案為：．14．（3分）如圖，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，則ED2+FD2＝25﹣10．【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥EF于點(diǎn)H，∵∠CAB＝30°，AD＝2，∴DH＝AD＝1，AH＝，在Rt△DEH中，ED2＝EH2+DH2，在Rt△DHF中，F(xiàn)D2＝HF2+DH2，∴ED2+FD2＝EH2+1+HF2+1，∵AE＝1，EF＝3，∴EH＝﹣1，∴HF＝EF﹣EH＝3﹣（﹣1）＝4﹣，∴ED2+FD2＝+1＝25﹣10．故答案為：25﹣10．15．（3分）如圖是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點(diǎn)C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對(duì)折，點(diǎn)B落在⊙O上的點(diǎn)D處（不與點(diǎn)A重合），連接CB，CD，AD．設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E．若AD＝ED，則∠DAE＝72度；的值等于．【解答】解：由折疊性質(zhì)知∠BCO＝∠DCO，設(shè)∠BCO＝∠DCO＝α，則∠BCD＝∠A＝2α，∵OB＝OC，，∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α，∴AD＝ED，∴∠DEA＝∠A＝2α，在△ADE中，α+2α+2α＝180°，解得：α＝36°，∴∠DAE＝2×36°＝72°；設(shè)圓半徑為r，∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°，∴△BCE∽△CEO，即，∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD，∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB+OE＝r+OE，∴由得：OE2+r?OE﹣r2＝0，解得：OE＝r，負(fù)值舍去；∵△DAE∽△BCE，∴，而，即．故答案為：72，．三．解答題（共7小題，滿分75分）16．（10分）計(jì)算：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；（2）．【解答】解：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2＝x2﹣4xy﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣4y2；（2）＝÷＝?＝．17．（9分）如圖，已知矩形ABCD，AB＞AD，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作AE的垂線交AE于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接BF，若AF＝AB，求證：BF平分∠GBE．為證明BF平分∠GBE，小明的思路是將其轉(zhuǎn)化成證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的定義使問題得到解決．（請(qǐng)根據(jù)小明的思路補(bǔ)全下面的證明過程）證明：四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC．∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠BFG＝∠BFC．∵BG⊥AF，∴∠BGF＝90°．∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴∠BGF＝∠BCF．又∵BF＝BF，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴∠FBG＝∠FBC，∴BF平分∠GBE．【解答】（1）解：作圖見解析部分；（2）證明：四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC．∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠BFG＝∠BFC．∵BG⊥AF，∴∠BGF＝90°．∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴∠BGF＝∠BCF．又∵BF＝BF，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴∠FBG＝∠FBC，∴BF平分∠GBE．故答案為：AB∥CD，∠ABF＝∠AFB，BG⊥AF，∠BGF＝∠BCF，BF＝BF，∠FBG＝∠FBC．18．（10分）某校為了豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球．其中籃球的單價(jià)比足球的單價(jià)多40元，用1500元購進(jìn)的籃球個(gè)數(shù)與900元購進(jìn)的足球個(gè)數(shù)相等．（1）籃球和足球的單價(jià)各是多少元？（2）該校打算用800元購買籃球和足球，恰好用完800元，問有哪幾種購買方案？【解答】解：設(shè)足球單價(jià)為x元，則籃球單價(jià)為（x+40）元，由題意得：＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60是原分式方程的解，則x+40＝100，答：籃球和足球的單價(jià)各是100元，60元；（2）設(shè)恰好用完800元，可購買籃球m個(gè)和購買足球n個(gè)，由題意得：100m+60n＝800，整理得：m＝8﹣n，∵m、n都是正整數(shù)，∴①n＝5時(shí)，m＝5，②n＝10時(shí)，m＝2；∴有兩種方案：①購買籃球5個(gè)，購買足球5個(gè)；②購買籃球2個(gè)，購買足球10個(gè)．19．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求線段CF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂徑定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB為⊙O的切線，OB是半徑，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．20．（10分）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝1，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，求證：a＜﹣．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，二次函數(shù)，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0≠1，因此不過（﹣1，1）點(diǎn)，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過（﹣2，3）點(diǎn)，故拋物線過點(diǎn)（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，∴a＝﹣2，∴拋物線的關(guān)系式為y＝﹣2（x+1）2；（3）∵二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），，0），∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，∵當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，∴，∴，解得，舍去；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象開口向下，∵x1＜x2時(shí)，y1＞y2，∴，∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴，∴．故．21．（12分）如圖，點(diǎn)F是正方形AB