第38講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積思維導(dǎo)圖知識梳理eq\a\vs4\al(1.簡單幾何體,1多面體的結(jié)構(gòu)特征)名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形①特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(平行四邊形))eq\x(\a\al(平行,六面體))eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(\a\al(直平行,六面體))eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(矩形))eq\x(長方體)eq\o(→,\s\up7(底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正方體)②多面體的關(guān)系：eq\x(棱柱)eq\o(→,\s\up7(一個底面退化),\s\do5(為一個點(diǎn)))eq\x(棱錐)eq\o(→,\s\up7(用平行于底面的),\s\do5(平面截得))eq\x(棱臺)(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球▲圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l4．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3題型歸納題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1-1】給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D.3【跟蹤訓(xùn)練1-1】下列命題正確的是()A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【跟蹤訓(xùn)練1-2】(多選)給出下列命題，其中真命題是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直C．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D．存在每個面都是直角三角形的四面體【名師指導(dǎo)】辨別空間幾何體的2種方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可題型2空間幾何體的表面積【例2-1】(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．(5＋eq\r(2))π B．(4＋eq\r(2))πC．(5＋2eq\r(2))π D.(3＋eq\r(2))π(2)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為()A．4＋4eq\r(2) B．4＋4eq\r(3)C．12 D.8＋4eq\r(2)【跟蹤訓(xùn)練2-1】在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.【名師指導(dǎo)】求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積題型3空間幾何體的體積【例3-1】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為________．【例3-2】(1)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．【例3-3】如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)【跟蹤訓(xùn)練3-1】如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2eq\r(3)cm，側(cè)面積為8eq\r(3)cm2，則它的體積為________cm3.【跟蹤訓(xùn)練3-2】如圖，已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點(diǎn)，則四棱錐P-AA1C1C的體積為________．【名師指導(dǎo)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計算其體積等體積法一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積題型4與球有關(guān)的切、接問題【例4-1】已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D.eq\r(6)π【例4-2】(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．【跟蹤訓(xùn)練4-1】如圖，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.現(xiàn)分別沿EF，GH將矩形折疊使得AD與BC重合，則折疊后的幾何體的外接球的表面積為()A．2