第17講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思維導(dǎo)圖知識梳理構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．題型歸納題型1移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例1-1】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)－bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個公共點(diǎn)是A(1,1)，且在點(diǎn)A處的切線互相垂直．(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＋g(x)≥eq\f(2,x).【名師指導(dǎo)】一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.題型2構(gòu)造雙函數(shù)，利用“若f(x)min>g(x)max，則f(x)>g(x)”證明不等式【例2-1】已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax.(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＋1>eq\f(1,ex＋1)－eq\f(2,e2x)成立．【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xlnx＋eq\f(a,x)(a≥1)．(1)求f(x)的極值；(2)求證：對任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2)．【名師指導(dǎo)】1.在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題．2．不等式里既有指數(shù)又有對數(shù)，求導(dǎo)后不好處理，通常是把指數(shù)和對數(shù)分開，使得不等式一邊是指數(shù)，另一邊是對數(shù)，分別計(jì)算它們的最值，利用最值來證明不等式.題型3變量代換法證明雙變量函數(shù)不等式【例3-1】若b>a>0，求證：lnb－lna>eq\f(2ab－a,a2＋b2).【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x＋a)(a∈R)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x＋y＋1＝0垂直．(1)試比較20182019與20192018的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－k有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，證明：x1·x2＞e2.【名師指導(dǎo)】證明雙變量函數(shù)不等式的常見