微專題26探究性問題

高考定位解析幾何中的探究性問題，一般探究某種命題是否正確，某種位置關

系是否成立等，是高考的熱點問題，難度較大.

真題研析類題突破研真題析類題

［高考真題］(2015?全國∏卷改編)已知橢圓Cz9x2÷y=m2(∕π>0),直線/不過原點

。且不平行于坐標軸,/與C有兩個交點4,8,線段48的中點為M若/過點俘〃?)，

延長線段OM與C交于點P,四邊形。4抬能否為平行四邊形？若能，求此時/

的斜率；若不能，說明理由.

解設直線/：y=kx~?~b(k≠O,6≠0),A(x↑,?i),8(x2,y2),M(XM,加).

將y=kx+b代入Ox2+，=/%?得

(∕r+9)x2+2kbx+h2-m2=0,

x↑+x2—kb

故u磯=^T-=百萬

_,,9b

yM=k7xM~vb=「+§.

于是直線OW的斜率kθM=詈=筌,

XMK

9

則直線OM■的方程為y=一爐.

因為直線/過點停，加)，

所以/不過原點且與C有兩個交點的充要條件是左>0,左≠3.

設點尸的橫坐標為XP,

尸^?

Icm2

由得點=

9Λ2+8Γ

,9x2+y2=

H∏士km

即、廣3戶.

將點停，，，的坐標代入/的方程得6=加6”

k(左一3)m

因此XM=3(F+9).

四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段/8與線段OP互相平分，即XP=2XM.

?±kmk(女——3)加

丁三B=2×

3(F+9)

解得心=4一巾，攵2=4+市.

因為">0,ki≠3,Z=I,2,

所以當/的斜率為4—由或4+小時，四邊形OAPB為平行四邊形.

樣題1(2022?長沙適應性考試改編)已知橢圓G：?+?=1，拋物線C2：∕=-4x.

過橢圓G的左頂點。的直線I交拋物線G于43兩點，點。為原點，射線。/,

OB分別交橢圓于C,。兩點，XOCD的面積為Si,AOAB的面積為S2?問：是否

13

存在直線/使得S2=?γS∣?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

解由題意得直線/的斜率不為0,。(一2,0),

設直線/的方程為x=my-2,/(xι,yι),8(x2,yι),C(X3,乃)，O(X4,必)，

X=TMV-2,

由L，

?y=-4x,

得yi-?-4my—8=0,

ΛJ=(4W)2-4×(-8)=16W2+32>0,

川+y2=—4〃?，yιj2=—8.

..-B,

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O??OA??OB?smAAOB

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JOA?-?OB?Jyy?迦」回

~?OC?-?OD?~?yy??y,?-?y^?

=于

Vy?=-4xι,

，直線OA的斜率為1■=—2，

4

即直線。4的方程為》=—mχ,

3X64

得必=

3乂+64'

____gC3X64rC3×643×6432×64

I同I理可行下=3貫+64'比〃=---------X---------=-------------

3j^τ+643J^+64^48W2+12Γ

(?)2_[yι?2∣2_121+48〃/_???

IsTj=My4∣2=-9—=亨，

得加=±1,

13

???存在直線/使得52=ySι,直線/的方程為χ-y+2=0或x+y+2=0,

7

樣題2（2022?武漢模擬改編）已知橢圓G5+∕=l'其上頂點為8，以8為直角

頂點作橢圓的內接等腰直角這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說

明有幾個；若不存在，請說明理由.

解假設能構成等腰直角三角形5MN,其中3（0,1）,

由題意可知，直角邊8Λ√,BN不可能垂直或平行于X軸，故可設所在直線的

方程為y=Ax+l（不妨設Λ>0）,

[y-kx+?,

由21

§+9=1，

得(9F+1)X2+18H=0,

.一18左

?,XM=^9Λ2+1,

,,(18-182」八

故M9d+l,-9λ2+l+1J,

「?好力號[BK=/'

用一;代替上式中的左，

K

*18√?2+1

何BN=t2IO，

18|84標+11隊/乒+1

由得9?2+l=標+9

即Λ3-9^2+9Λ-l=0,

故(左一1)(Λ2-8左+1)=0,

，%=1或％=4±VT^,

故存在三個滿足題設條件的內接等腰直角三角形.

樣題3(2022?重慶診斷改編)已知橢圓C：點+V=I,若P為橢圓C上異于橢圓C

頂點的任意一點，過點。(0,—2)且平行于。P的直線/與橢圓C相交于4,B兩

點(點。為坐標原點)，是否存在實數(shù)人使得逾?3=4必2成立？若存在，求出

2的值；若不存在，請說明理由.

解存在.因為尸是橢圓C上異于橢圓C頂點的任意一點，且/〃0。

所以直線/的斜率存在且不為0.

設過點。(0,—2)的直線/的方程為2,A(x?,??),B(X2,yι).

,{y=kx-2,

叫x2+4γ2=4,

消去y得(1+4Λ2)x2—16AX+12=0,

則/=(一16左)2—4X12X(1+4Λ2)>0=>4F>3,

?6k12

,

X∣+X2=]+4FX∣X2=]+4Q'

所以?QA???QB?=y∣1÷Λ2∣xι—xρ∣??∕T÷P∣X2-xρ∣=(1÷^2)∣x∣X2∣.

[y=kxp,4

*Up+?=4,何/b?1+4Q

4

所以IOPI2=(1+d)j?=(1+d)γ不而，

又因為03說=2成2,

所以∣04∣?∣08∣=2∣QP∣2,

所以IXIX2∣=h?,

124

即1+4廬=zT+4^5

解得λ-3.

故存在實數(shù)人使得逸?必=為。辯成立，且％=3.

規(guī)律方法探索性問題的求解步驟：假設滿足條件的元素（點、直線、曲線或參數(shù)）

存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則

元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在，否則，元素（點、直線、曲線或參數(shù)）不存在.

訓練（2022?九江模擬）已知橢圓C：3+*=l（α>b>0）的左、右焦點分別為B，

離心率為3,P是橢圓C上的一個動點.當尸是C的上頂點時,ZSHPE的面積為√i

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設斜率存在的直線尸F(xiàn)2與C的另一個交點為。，是否存在點7（30）,使得IZPl

=?TQ??若存在，求出實數(shù)/的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解（1）設橢圓C的半焦距為c.

因為S?F∣PF2=^×2c×h=√3,

所以bc=?∣3.

又β=~=^,α2=Z>2÷c2,

所以4=2,b=?∣3,c=l.

所以橢圓C的標準方程為Y+q=1.

（2）假設存在點T（t,0）,使得ITPl=I70∣.

由直線P。過尸2（1,0）,設直線尸。的方程為丁=左。-1）,尸（XI,?l）,0（X2,竺），

P0的中點為Mxo,?o）.

當左=0時，f=0,符合題意.

y=k（XT）,

當先#0時，由'止+/=]

得（4M+3）x2-8dx+4>12=0,

/=（一8F）2—4（4壯+3）（4嚴一12）=144F+144>0,

8-4F一12

x∣+x2=4yt2+3,X∣X2=4F+3'

Xl+x24后

所以XO=

2—4Λ2+3'

3k

yo=k(xQ-1)=

4Λ2+3'

4F

即

4F+3'

連接7N,因為ITPl=ITQ

所以TNLPQ,

則kτN-k=-MkTN為直線TN的斜率).

3k

4?2+3

所以---布-?k=-1,

'4F+3

后1

即/=4^+3=~T-

4?

因為4+3%所以UO

綜上可得，實數(shù)，的取值范圍為［θ,?).

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

1.(2022?福州二模)已知橢圓C?+*=l(α>b>O)的離心率e=坐以上頂點和右

焦點為直徑端點的圓與直線x+y—2=0相切.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓C有兩個不同的交點M,N時,

能在直線V=］上找到一點尸，在橢圓C上找到一點Q,滿足萬/=廊？若存在,

求出直線方程；若不存在，說明理由.

解(1)由離心率e=2，得a=^?［^c.

又/=∕>2+c2,從而b=c,

橢圓的上頂點為(0,h),右焦點為(c,0),

22

所以以上頂點和右焦點為直徑端點的圓的方程為Q—&+(廠守=P

圓心為II，D，半徑為當b?

由該圓與直線χ-?-y-2=0相切得，

?b~2?y∣21wrτι

啦=2兒即Ib—2∣=b,

解得b=l,從而C=1,α=√2,

所以橢圓C的標準方程為曰+/=L

(2)不存在.理由如下：

設直線方程為y=2x+/,M(x?,??),JV(X2,”)，P↑X3,Q(X4,必)，

PV=2x+1,

由匕+E,

消去X得9∕-2(y+∕2-8=0,

由/=4?—36(尸—8)>0可得∕∈(-3,3),

0.It

且yi+y2=§，

由廂=庖，

得(xi-X3,yi—∣j=(x4-X2,y^~yι)?,

..,52/5

所以％="+"一§=§一§.

因為r∈(-3,3),

7

所以一]<j?<-1,

但—1,1],所以不存在斜率為2的直線滿足條件.

2.(2022?蘇北四市聯(lián)考)已知點P(l,0)在橢圓C5+∕=l(α>b>0)上，直線y=yo

與橢圓C交于不同的兩點/,B,當次=1時，?AB?=y∣2.

(1)求橢圓C的方程；

⑵直線為，P6分別交y軸于M,N兩點，問：N軸上是否存在點。，使得|OM，

?OQ?,IoNI(O為坐標原點)成等比數(shù)列？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請

說明理由.

0+*=l,

解(1)由題意得<惇j

j

解得/=2,b2=l,

故所求橢圓C的方程為=L

(2)假設存在點。(0,M)使得IoM，?OQ?,ION成等比數(shù)列,

則IOQF=QNlloM.

因為直線y=yo交橢圓。于4,8兩點，

則/,8兩點關于y軸對稱.

設/(xo,泗)，則8(—Xo,∕)(xo≠z士1),

因為尸(1,0),

則直線的方程為y=Uη^(χ-1),

—VO

令x=0,得"Y=

JXo-I

所以IoM=I??

l?o-?l

直線PB的方程為y=^θψθ(χ-1),

令X=O,得孫=譚?'

所以QN=洲可

因為I。。F=IoNlIOM，

所以.=高.

又因為點/(xo,次)在橢圓C上,

所以M=2(l-χ3).

所以評=2IN)=2

即m=±?∣2,

故存在點。(0,±√2),

使得IOM，?0Q?,|。NI成等比數(shù)列.

3.如圖，橢圓C：5+/=1(4>6>0)經(jīng)過點尸(1,4，離心率e=；,直線/的方程

為x=4.

(1)求橢圓C的方程；

Q)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設直線AB與直線/相交于點M,

記直線山，PB,PW的斜率分別為左k2,心.問：是否存在常數(shù)人使得怎+公

=〃3?若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

r?_9__

了十福=L

解(1)由題意得<C=L

a~T

<?2÷c2=α2,

『2=4,

解得(b2=3,

Ic2=I,

22

故橢圓C的方程為5X+5V=1.

(2)由題意可設直線/8的斜率為k,

則直線/8的方程為y=網(wǎng)X-1),①

代入橢圓方程，并整理，

得(4F+3)%2—8dx+4(F-3)=0,

設/(XI,y?),5(X2,竺)，且XlwX2/1,

則X∣+X2=信P4(M—3)

X|X2=4?2+3,

在方程①中令x=4,得點M的坐標為(4,3k).

33

夕口/一］3k-?

從而左］=Γ,kz=7,ki=^~C=k-2

Xl-IX2-?

因為aF,8三點共線，

所以k=IiAF=IiBF,

即告=占3

33

'2-5

y'-2.2=刃+-2

所以佑+左2=7+

Xi-IX2~~1Xl-1X2~1

3xi+x2-2C

2X?X2—（X1+X2）+1'

將②代入③得,

8尼_

2-2

34Λ+3

h+k2=2f4（廬_3）~=2k-l,

82

1

4F+34P+3

又依=左一］,所以左1+左2=2左3.

故存在常數(shù)2=2符合題意.

二、創(chuàng)新拓展練

2

4.(2022?沈陽模擬)已知點Z(xι,yι),Bg,問在拋物線E：x=2PxP>0)上,∕l,I2

分別為過點/,8且與拋物線E相切的直線，h,/2相交于點M(X0,?o).

條件①：點M在拋物線E的準線上；

條件②：l?A-h;

條件③：直線/8經(jīng)過拋物線的焦點E

(1)在上述三個條件中任選一個作為已知條件，另外兩個作為結論，構成命題，并

證明該命題成立；

(2)若p=2,直線y=x+4與拋物線E交于C,。兩點，試問：在X軸正半軸上是

否存在一點M使得△?)N的外心在拋物線E上？若存在，求N的坐標；若不

存在，請說明理由.

解(1)由題意，拋物線方程化為歹=三，則y=5則八的切線斜率公=段，

乙PPP

所以/|的方程為y—n=二(X—XI),將6=2/和代入，化簡整理得XIX=Pe+y),

同理可得/2的方程為X2X=P3+歹2),

拋物線E：χ2=2Py的準線為尸一多焦點F的坐標為(0,

若選擇①作為條件，②③作為結論，證明如下：

因為點M在拋物線E的準線上，可設點M的坐標為(X0,一切,

又/1,/2相交于點”，

點/,8的坐標滿足方程XoX=W―另，

即直線43的方程為XoX=PQ―胃，進而直線/8經(jīng)過拋物線的焦點40,勻，③

得證.

又

消去y整理得著一首一g=0,

所以X?X2=~p1.

設直線/1,/2的斜率分別為抬，fo,

有心生=紅衛(wèi)=二=_1,

PPP

所以/1_L/2,②得證.

若選擇②作為條件，①③作為結論，證明如下:

因為/山2,設直線八，/2的斜率分別為公，左2,有％1心2=，■亍=—1,

即x?X2=~pr,

又八，/2相交于點M,

所以2?x?=x=PpS(y++γRι),

解得產(chǎn)箸=%

所以點M在拋物線E的準線上，①得證.

設點M的坐標為(Xo,-2J,

進而直線ZB經(jīng)過拋物線的焦點7(0,③得證.

若選擇③作為條件，①②作為結論，證明如下：

直線”經(jīng)過拋物線的焦點A設直線ZB的方程為尸代十多

yC+2,消去N整理得』