課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十五）概率1．(2018屆高三·湖北七校聯(lián)考)在數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)相加，和是偶數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：選C在1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)，其結(jié)果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種情況，其中兩個(gè)數(shù)相加，和為偶數(shù)的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4種情況，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2.(2018屆高三·長(zhǎng)沙摸底)某游戲設(shè)計(jì)了如圖所示的空心圓環(huán)形標(biāo)靶，圖中所標(biāo)注的一、二、三區(qū)域所對(duì)的圓心角依次為eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)，eq\f(5π,6)，向該標(biāo)靶內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域二內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7) D.eq\f(3,8)解析：選B三個(gè)區(qū)域所對(duì)的圓心角的比為3∶4∶5，故三個(gè)區(qū)域面積的比也是3∶4∶5，區(qū)域二占總面積的eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故所求概率為eq\f(1,3).3．(2017·云南模擬)在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)生成n個(gè)點(diǎn)，其中在正方形ABCD內(nèi)切圓內(nèi)的點(diǎn)共有m個(gè)，利用隨機(jī)模擬的方法，估計(jì)圓周率π的近似值為()A.eq\f(m,n) B.eq\f(2m,n)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(6m,n)解析：選C依題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則該正方形的內(nèi)切圓半徑為a，于是有eq\f(πa2,4a2)≈eq\f(m,n)，即π≈eq\f(4m,n)，即可估計(jì)圓周率π的近似值為eq\f(4m,n).4．在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則使eq\r(x2＋y2)≤1成立的概率為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,5)解析：選B如圖所示，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成正方形區(qū)域，使得eq\r(x2＋y2)≤1成立的平面區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓的eq\f(1,4)與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的區(qū)域，由幾何概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝eq\f(\f(π,4),1)＝eq\f(π,4).5．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定義映射f：M→N，則從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32) B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：選C∵集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).6．(2017·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＋2eq\o(PA,\s\up7(→))＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：選C如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)閑q\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＋2eq\o(PA,\s\up7(→))＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).7．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b＞0的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：選D設(shè)(x，y)表示一個(gè)基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36個(gè)，a·b＞0，即x－2y＞0，滿足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6個(gè)，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).8．(2017·洛陽(yáng)模擬)將一枚骰子先后拋擲兩次，并記朝上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，m為2或4時(shí)，m＋n＞5的概率為()A.eq\f(2,27) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選D當(dāng)m＝2或4時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)對(duì)(m，n)共有2×6＝12組．當(dāng)m＝2時(shí)，滿足m＋n＞5，即n＞3的點(diǎn)數(shù)對(duì)(m，n)共有3組；當(dāng)m＝4時(shí)，滿足m＋n＞5，即n＞1的點(diǎn)數(shù)對(duì)(m，n)共有5組，因此所求概率P＝eq\f(3＋5,12)＝eq\f(2,3).9.(2018屆高三·湖南五校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點(diǎn)P，△ABP的最大邊是AB的概率是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(3)－1解析：選D分別以A，B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得△ABP的最大邊是AB，易得eq\f(P1P2,CD)＝eq\r(3)－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是eq\r(3)－1.10．四個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著一枚完全相同的硬幣，所有人同時(shí)拋出自己的硬幣．若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著．那么沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(7,16)C.eq\f(1,2) D.eq\f(9,16)解析：選B四個(gè)人按順序圍成一桌，同時(shí)拋出自己的硬幣，拋出的硬幣正面記為0，反面記為1，則總的基本事件為(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)，(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16種情況．若四個(gè)人同時(shí)坐著，有1種情況；若三個(gè)人坐著，一個(gè)人站著，有4種情況；若兩個(gè)人坐著，兩個(gè)人站著，此時(shí)沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)有2種情況．所以沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的情況共有1＋4＋2＝7種，故所求概率P＝eq\f(7,16).11．從eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,7)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B當(dāng)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時(shí)，不能有m<0，n>0，所以方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7種，其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，則m>0，n>0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,7).12．(2017·泉州質(zhì)檢)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)，稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)解析：選C由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個(gè)；由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)；由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)．所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,312,314,412,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”．所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).13．將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率是________．解析：投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)a，b，共有36個(gè)基本事件，圓心(2,0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當(dāng)d<eq\r(2)時(shí)，直線與圓相交，則有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，得b>a，滿足題意的b>a共有15種情況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)14．(2017·張掖模擬)在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)θ，則使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率為_(kāi)_______．解析：由eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，結(jié)合θ∈[0，π]，得θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率P＝eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．從eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，2，3))中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從{－1,1，－2，2}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過(guò)第三象限的概率是________．解析：由題意，基本事件總數(shù)為4×4＝16，其中函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過(guò)第三象限需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,b<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,b<0，))則滿足條件的(a，b)的所有取法有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))，(2，－1)，(2，－2)，(3，－1)，(3，－2)，共6種，所以所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)16．(2018屆高三·鄭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)