1.1.2

余弦定理1.1.2余弦定理

甲乙兩位同學(xué)均住在世博圓的附近，已知甲同學(xué)家距離世博園入口處300米，乙同學(xué)家距離世博園入口處400米，某天，甲乙兩位同學(xué)相約一同參觀世博園，請(qǐng)問，你能求出甲乙兩同學(xué)家相距多少米嗎？甲乙兩位同學(xué)均住在世博圓的附近，已知甲同學(xué)家距離世博園①已知三角形的任意兩角及其一邊；

問題1

運(yùn)用正弦定理能解怎樣的三角形？②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角.

①已知三角形的任意兩角及其一邊；問題1運(yùn)用正弦定理能解問題2

如果已知三角形的兩邊及其夾角，能解這個(gè)三角形嗎？

根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.

從量化的角度來看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個(gè)角？

這就是我們這節(jié)課要講的內(nèi)容.問題2如果已知三角形的兩邊及其夾角，能解這個(gè)三角形嗎？1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.（重點(diǎn)）2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.(難點(diǎn))1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.（重探究點(diǎn)1已知兩邊和它們的夾角,求三角形的另一邊

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c.

由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題.即：如圖，在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和C，求邊c.ABC探究點(diǎn)1已知兩邊和它們的夾角,求三角形的另一邊用正弦定理ABCABC三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即探究點(diǎn)2余弦定理注：利用余弦定理，可以從已知的兩邊及其夾角求出三角形的第三條邊.三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們

這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？式子中共有4個(gè)量.已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，當(dāng)然能由三邊求出一角.這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可二、余弦定理的推論：注:由上述推論,可以由三角形的三條邊求出三角形的三個(gè)角.二、余弦定理的推論：注:由上述推論,可以由三角形的三條邊思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理探究點(diǎn)3余弦定理及其推論的基本作用①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出角.探究點(diǎn)3余弦定理及其推論的基本作用①已知三角形的任意兩邊及例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°

，解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）.解：方法一：根據(jù)余弦定理，

a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2×60×34×cos41o

≈1676.82，所以a≈41(cm).例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A由正弦定理得，因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計(jì)算器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.由正弦定理得，因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用

根據(jù)余弦定理，

a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2×60×34×cos41o≈1676.82，所以a≈41(cm).由余弦定理得所以利用計(jì)算器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.方法二：根據(jù)余弦定理，由余弦定理得所以利用計(jì)算器可注意：一般地，在“知三邊及一角”要求剩下的兩個(gè)角時(shí)，應(yīng)先求最小的邊所對(duì)的角.思考:在解三角形的過程中，求某一個(gè)角時(shí)既可用正弦定理也可用余弦定理，兩種方法有什么利弊呢？注意：一般地，在“知三邊及一角”要求剩下的兩個(gè)角時(shí)，應(yīng)先求最例2在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形（角度精確到1′）.解：由余弦定理的推論得：例2在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8(五下)語文教學(xué)課件-第六單元：第十七課-跳水-人教部編版-1思考：在已知三邊時(shí)，一般先利用余弦定理求哪個(gè)角？然后用正弦定理還是繼續(xù)用余弦定理求角？

在已知三邊時(shí)，一般先利用余弦定理求兩個(gè)較小的角（大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角），然后再由三角形內(nèi)角和求第三角.思考：在已知三邊時(shí)，一般先利用余弦定理求哪個(gè)角？然后用正弦定由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b與c.解三角形的四種基本類型正弦定理余弦定理由余弦定理求出第三邊c，再由正弦定理求出剩下的角.正弦定理由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c邊.可有兩解,一解或無解.余弦定理先由余弦定理求出其中兩個(gè)角,再利用內(nèi)角和為180°求出第三個(gè)角.由A+B+C=180°求角A,由正弦定理解三角形的四種基本類C

C(五下)語文教學(xué)課件-第六單元：第十七課-跳水-人教部編版-1(五下)語文教學(xué)課件-第六單元：第十七課-跳水-人教部編版-1(五下)語文教學(xué)課件-第六單元：第十七課-跳水-人教部編版-1(五下)語文教學(xué)課件-第六單元：第十七課-跳水-人教部編版-1(五下)語文教學(xué)課件-第六單元：第十七課-跳水-人教部編版-12.余弦定理的應(yīng)用范圍：1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例.